数学归纳法及其应用教案.docx

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数学归纳法及其应用教案

数学归纳法及其应用

山东省惠民地区教研室王学贤

作者简历

　　王学贤山东潍坊人，1960年毕业于淄博师范专科学校数学系，同年留校任教，后在博兴一中任数学教师．1980年被评为中学特级教师，1988年被评为中学高级教师．现任山东惠民地区教研室副主任，山东省中学数学教学研究会副理事长．

　　教学目的

（1）了解归纳法的意义，培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而培养学生创造性思维的能力．

（2）使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤，会用数学归纳法证明有关自然数的命题．

　　教学过程

一、引入新课

　　师：

四边形、五边形、六边形分别有多少条对角线？

你是怎样考虑的？

　　[提出问题，让学生在解答的过程中发现规律．]

　　生：

四边形、五边形、六边形分别有两条对角线、5条对角线和9条对角线．以六边形为例，每个顶点可引3条，六个顶点可引18条，但因每条对角线都计算了两次，所以六边形实际有9条对角线．

　　师：

n边形（n≥4）有多少条对角线？

为什么？

　　[由特例到一般问题的提出，符合由特殊到一般，由具体到抽象的认识过程．]

　　师：

这一公式适合四边形、五边形、六边形吗？

　　[由一般再回到特殊，特例的正确性提高了学生探索问题的积极性，增强了猜想的信心．]

　　生：

适合．

　　师：

观察等差数列的前几项：

　　a1=a1＋0d，

　　a2=a1＋1d，

　　a3=a1＋2d，

　　a4=a1＋3d，

　　你发现了什么规律？

试用a1、n和d表示an．

　　生：

an=a1＋（n－1）d．

　　师：

像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法．用归纳法可以帮助我们从特殊事例中发现一般规律．但是，由归纳法得出的一般结论并不一定可靠．

　　例如，一个数列的通项公式是

an=（n2－5n＋5）2，

　　请算出a1，a2，a3，a4．你能得到什么结论？

　　生：

由a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，可知an=1．

　　师：

由an=（n2－5n＋5）2计算a5．

　　[由a5=25≠1，否定了学生的猜想．举出反例是否定命题正确性的简单而基本的方法．]

　　师：

由归纳法得到的一般结论是不一定可靠的．法国数学家费尔马曾由n=0，1，2，3，4得到22n＋1均为质数而推测：

n为非负整数时，22n＋1都是质数，但这一结论是错误的．因为数学家欧拉发现，n=5时22n＋1是一个合数：

225＋1=4294967297=641×6700417．

　　[数学史例使学生兴趣盎然，学习积极性大为提高．至此，归纳法作为一种发现规律的推理方法的教学已告结束．]

　　师：

既然由归纳法得到的结论不一定可靠，那么，就必须想办法对所得到的结论进行证明．对于由归纳法得出的某些与自然数有关的命题P（n），能否通过一一验证的办法来加以证明呢？

　　生：

不能．因为这类命题中所涉及的自然数有无限多个，所以无法一个一个加以验证．

　　[新问题引导学生思考：

既然对于P（n0）、P（n0＋1）、P（n0＋2）、…的正确性无法一一验证，那么如何证明P（n）（n≥n0）的正确性呢？

至此，数学归纳法的引入水到渠成．]

二、新课

　　师：

我们将采用递推的办法解决这个问题．同学们在电视中可能看到过“多米诺”骨牌的游戏，由于骨牌之间特殊的排列方法，只要推倒第一块骨牌，第二块就会自己倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下，……如此传递下去，所有的骨牌都会倒下．这种传递相推的方法，就是递推．

　　从一个袋子里第一次摸出的是一个白球．接着，如果我们有这样的一个保证：

“当你这一次摸出的是白球，则下一次摸出的一定也是白球”，能否断定这个袋子里装的全是白球？

　　生：

能断定．

　　[为数学归纳法的两个步骤提供具体生动的模型，帮助学生理解数学归纳法的实质．]

　　师：

要研究关于自然数的命题P（n），我们先来看自然数有什么性质．自然数数列本身具有递推性质：

第一个数是1；如果知道了一个数，就可知道下一个数．有了这两条，所有自然数尽管无限多，但我们就可全部知道了．类似地，我们可采用下面的方法来证明有关连续自然数的命题P（n）：

先验证n取第一个值n0时命题正确；再证明如果n=k（k≥n0）时命题正确，则n=k＋1时命题正确．只要有了这两条，就可断定对从n0开始的所有自然数．命题正确．这就是数学归纳法的基本思想．

　　[先通俗了解数学方法的基本思想，对深刻理解数学方法的实质至关重要！

]

　　师：

用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题P（n）的步骤是：

（1）证明当n取第一个值n0（如n0=1或n0=2等）时结论成立，即验证P（n0）正确；

（2）假设n=k（k∈N，且k≥n0）时结论正确，证明n=k＋1时结论正确．即由P（k）

　　由

（1）和

（2），就可断定命题对于从n0开始的所有自然数n都正确．

　　这两步实质上是证明P（n）的正确具有递推性．

（1）是递推的始点；

（2）是递推的依据．

　　步骤

（1）是一次验证，步骤

（2）是以一次逻辑推理代替了无限次验证过程．步骤②用的是演绎推理．

　　由

（1）与

（2）可知，递推的过程是：

　　正确→…

　　上述无穷“链条”一环扣一环，形象地说明了用数学归纳法证明P（n）正确性的过程．

　　[先明确步骤，然后在运用中加深理解数学归纳法的实质．]

　　师：

用数学归纳法证明等差数列通项公式an=a1＋（n－1）d对一切n∈N都成立．

　　（证明由学生完成，并得出：

　　师：

至此，对等差数列通项公式的“观察——猜想——证明”的研究结束．观察特例，归纳一般结论，用数学归纳法证明，这是解答有关连续自然数命题的有效途径．

　　下面，我们来看教材中的例题：

证明

1＋3＋5＋…＋（2n－1）=n2．

　　请同学们自己完成，然后将自己的证明与教材中的证明对照，如发现错误，找出错误的原因．

　　师：

用数学归纳法证明

1＋3＋5＋…＋（2n－1）=n2，

　　如采用下面的证法，对吗？

（1）n=1时，通过验证，等式成立；

（2）假设n=k时等式成立，即

1＋3＋5＋…＋（2k－1）=k2．

　　则

1＋3＋5＋…＋（2k－1）+[2（k+1）-1]

　　这就是说，当n=k＋1时等式也成立．由

（1）和

（2），可知对任何n∈N等式都成立．

　　生甲：

证明是对的．

　　生乙：

证明方法不是数学归纳法．因为第二步证明时，未用到归纳假设．

　　[指出错误，并分析出错原因，是澄清学生模糊认识的有效方法．]

　　师：

从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n=k＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．数学归纳法的核心，是在验证n取第一值n0正确的基础上，由P（k）正确证明P（k＋1）正确．也就是说，核心是证明命题的正确具有递推性．因此，今后用数学归纳法证明时，第二步必须由归纳假设

　　归纳假设，是用数学归纳法证题的关键．

　　[教师的概括与强调，能使学生运用数学归纳法证题的思路进一步清晰和明确，不再机械地套用两个步骤，而且能深入理解实质及两个步骤之间的内在联系．]

　　师：

用数学归纳法证明命题的两个步骤中，仅有第一步骤验证而没有第二步骤递推性的证明是不行的．那么，没有第一步行吗？

　　[新的问题引起学生新的思索．]

　　生甲：

第一步仅是验证当n取第一个值n0时结论正确．其实，这是显然的，可以省略．

　　生乙：

第一步是第二步递推的基础，没有第一步是不行的．

　　师：

让我们举一个例子来看一下：

　　试问等式2＋4＋6＋…＋2n=n2＋n＋1成立吗？

　　设n=k时成立，即

2＋4＋6＋…＋2k=k2＋k＋1，

　　则2＋4＋6＋…＋2k＋2（k＋1）

　　=k2＋k＋1＋2k＋2=（k＋1）2＋（k＋1）＋1．

　　这就是说，n=k＋1时等式也成立．若仅由这一步就得出等式对任何n∈N都成立的结论，那就错了．事实上，当n=1时，左边=2，右边=3，左边≠右边．可能有的同学已经看出，该式左边总是偶数，而右边总是奇数，因此对任何n∈N，该式都是不成立的．

　　因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据．缺了第一步，递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去．

三、练习

四、小结

　　师：

本节课主要讲了数学归纳法及其应用，应掌握下列几个要点：

（1）数学归纳法证题的步骤：

　　①验证P（n0）成立；

　　②假设P（k）成立（k∈N且k≥n0），推证P（k＋1）成立．

（2）数学归纳法的核心，是在验证P（n0）正确的基础上，证明P（n）的正确具有递推性（n≥n0）．第一步是递推的基础或起点，第二步是递推的依据．因此，两步缺一不可．证明中，恰当地运用归纳假设是关键．

　　（3）数学归纳法适用的范围是：

证明某些与连续自然数有关的命题．

　　（4）归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．

　　（5）“观察——猜想——证明”是解答与自然数有关命题的有效途径．

五、布置作业

　　略．

　　自我评述

（1）现行中学数学教材，主要是演绎推理的体系．对定理和公式，多偏重于证明，很少研究其发现过程．本节课第一次明确介绍归纳法，应充分利用教材提供的素材，通过实例，引导学生观察，在此基础上进行归纳推理．本节课利用“观察———归纳——证明”这一思维方法解答问题．对思路进行概括，有助于培养学生发现问题、解决问题的能力，也有助于培养学生创造思维的能力．

（2）在教学中，先通过实例，形象生动地说明数学归纳法的基本思想，然后讲解数学归纳法的两个步骤，最后揭示两个步骤的内在联系，逐步深入，使学生对数学归纳法的认识由表及里，深化理解．

　　（3）提出反例，说明运用数学归纳法没有第二步不行；再提出反例，说明没有第一步也不行．由此得到结论：

两步缺一不可．构造反例，是否定命题正确的基本而重要的数学方法．

　　本节课针对学生仅从形式上运用数学归纳法的通病，设计出不用归纳假设进行论证的例子让学生找出错误的原因．这有助于学生从实质上理解数学归纳法，进而正确加以运用．

　　（4）教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程．因此，教师应及时提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪其智慧，求得问题的解决．一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直至完成本节课的教学任务．总之，本节课的教学方法是，让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态．思维的浪花随着问题的深入起伏跳跃．

　　本节课练中有讲，讲中有练，讲与练结合．在讲与练的相互作用下，使学生的思维逐步深化．教师提出的问题和例题，先由学生自己解答，然后教师分析与概括．在教师讲解新课中，又不断提出问题让学生解答和练习，以求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包办代替的做法．