人教版初中数学《第3章一元方程》竞赛专题复习含答案1.docx

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人教版初中数学《第3章一元方程》竞赛专题复习含答案1

第3章一元方程

3.1一元一次方程

3.1.1★已知下面两个方程

，①

②

有相同的解，试求的值．

解析本题解题思路是从方程①中求出的值，代入方程②，求出的值．

由方程①可求得，所以．由题设，也是方程②的解，根据方程解的定义，把代入方程②时，应有

，

，

所以，．

3.1.2★解方程：

．

解析本题将方程中的括号去掉后产生，但整理化简后可以消去，也就是说，原方程实际上仍然是一个一元次方程．

将原方程整理化简得

，

即．

⑴当时，即时，方程有唯一解

；

⑵当时，即或．若，即，时，方程无解；若，即时，方程有无数多个解．

评注含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围，解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．

3.1.3★★若，解方程

．

解析因为，所以原方程可变形为

．

化简整理为

，

，

，

所以，为原方程的解．

评注像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．

3.1.4★★已知关于的方程

．

且为某些正整数时，方程的解为正整数，试求正整数的最小值．

解析由原方程可解得

．

因为为正整数，所以应是大于的整数．所以，即．

又因为为正整数，要使为整数，必须是10的倍数，而且为使最小，所以应取．

所以

．

所以满足题设的正整数的最小值为2．

评注本题实际上是求的最小正整数解．

3.1.5★★已知关于的方程有两个不同的解，求的值．

解析一元一次方程或者有一个解，或者有无数个解，或者无解，本题中的一元一次方程有两个解，所以我们可以证明它有无数个解，进而可以确定、．

设方程的两个不同的解为、，则有

，①

，②

②①，得．

因为，所以．

把代入①式，得．

所以，．

3.1.6★已知关于的方程无解，求的值．

解析将原方程变形为．由已知该方程无解，所以

解得，所以即为所求．

3.1.7★★已知关于的方程有无限多个解，求、的值．

解析原方程变形为

．

解得，．

3.1.8★为何正数时，方程的解是正数？

解析按未知数整理方程得．要使方程的解为正数，需要

．

不等式的左端

．

因为，所以只要或时上式大于零，所以当或时，原方程的解是正数，所以或即为所求．

3.1.9★★若、、是正数，解方程

．

解析原方程两边乘以，得到方程

．

移项、合并同类项得

，

因此有

．

因为，，，所以，于是

，

即为原方程的解．

3.1.10★★★设为正整数，表示不超过的最大整数，解方程

．

解析由于是整数，是整数，所以必为整数，故，所以原方程可化为

，

合并同类项得

，

故有．

所以，为原方程的解．

3.2一元二次方程

3.2.1★若方程与方程至少有一个相同的实数根，求实数的值．

解析假定这个相同的实数根为，则将它代入两个方程，得到两个关于、的等式，视它们为关于、的方程组，即可求出的值．

设是两个方程相同的根，则有

，．①

两式相减，得，即

．

所以或．

当时，两个方程都是．这个方程无实根，故不合题意．

当时，代入①式中任何一式，都可解得．所以所求的的值为2．

3.2.2★已知实数，且满足，．求的值．

解析、是关于的方程

的两个根，整理此方程，得

，

由于，，．

故、均为负数．因此

．

3.2.3★★已知是方程的一个根，求的值．

解析因为是所说方程的根，所以，故

，

由此得到

．

．

求也可用下面的方法：

因，将两边同除以，易得到

，

故．

3.2.4★★三个不同实数、、使得方程和有一个相同的实数根，且使得方程和也有一个相同的实数根，求的值．

解析因为方程和有一个相同的实数根，所以

，

，

两式相减得．

又方程和也有一个相同的实数根，所以

，

，

两式相减得（显然）．

于是，故也是方程的根，所以．

由和得，或者（此时，无实根，舍去），所以，，，于是．

3.2.5★★对于一切不小于2的整数，关于的一元二次方程的两个根记作、，求的值．

解析由根与系数的关系数得，，所

，

则

，

．

3.2.6★★已知互不相等的实数、、满足，求的值．

解析由得，代入得

，整理得

．①

又由可得，代入①式得

，即，又，所以，所以．

验证可知：

，时，，时．

因此，．

3.2.7★如果、都是质数，且，，求的值．

解析当时，；

当时，、为方程的两个根，所以．因为、都是质数，故、的值只可能是和11，所以

．

3.2.8★★已知三个关于的一元二次方程

，，

恰有一个公共实数根，求的值．

解析设是它们的公共实数根，则

，，，

把上面三个式子相加，得

，

因为，所以，，于是

．

3.2.9★★设实数和满足方程，，并且和的积不等于1，求的值．

解析因为，所以，第一人方程可以变形为：

．

又因为，所以，、是一元二次方程的两个不同的实根，所以

，，

即，．

所以．

3.2.10★★★已知方程的两个根、也是方程的根，求、的值．

解析利用一元二次方程根的概念，用、表示和，再结合、之间的关系（这里用到韦达定理），从而可解出、．

由条件，可知，即，于是

．

结合可知，

．①

同理，

．②

①、②两式相加，并利用，有

．

①、②两式相减，有

．

注意到，，故，，进而，．

评注运用根的概念解题这一方法是处理一元二次方程时容易忽视的技巧，这里巧妙利用根的概念，对与予以降次，将高次问题予以简化，题中、的求值问题迎刃而解．

3.2.11★已知方程的大根为，方程的小根为，求的值．

解析先求出、的值．

由观察知，是方程

的一个根，于是由韦达定理知，另一个根为，所以．

又从观察知，是方程的根，从而由韦达定理知，方程的另一个根为，所以，．故

．

评注对于方程，若，则是方程的根；若，则是方程的根．

3.2.12★★设是给定的非零实数，解关于的方程

．

解析由观察知，是方程的根．又原方程等价于

．

由韦达定理知，，所以，方程和另一根为．

3.2.13★★已知、是方程的两实根，求的值．

解析不是、的对称式，所以很难用乘法公式把它化为和的表达式．我们先把“降次”．

因为是方程的根，所以，故．于是

，

，

所以．

3.2.14★★设一元二次方程的两个实根的和为，平方和为，立方和为，求的值．

解析设、是方程的两个实根，于是

，

所以．

评注本题是最“自然”的解法是分别用、、来表示、、，然后再求的值．当然这样做运算量很大，且容易出错．下面我们再介绍一种更为“本质”的解法．

因为、是方程的两个实根，所以

，

于是．①

同理．②

将①、②两式相加便得

．

一般地，记，则有

．

证明方法同上，读者不妨一试．

3.2.15★★★设抛物线的图象与同只有一个交点，求的值．

解析1由题设

，

即．

所以

，

，

，

．

又．

因为，所以，即，所以

．

故

．

解析2由可得，所以，且，所以

，

，

，

，

所以

．

3.2.16★★若方程的两个不相等的实数根、满足，求实数的所有可能的值之和．

解析由一元二次方程的根与系数的关系可得，，所以

，

．

又由得，所以

，

所以，

解得，，．

代入检验可知：

，均满足题意，不满足题意．

因此，实数的所有可能的值之和为

．

3.2.17★★★设、是方程的两个根，、是方程的两个根．记，用表示．

解析由韦达定理，得，，，．

所以．

于是原式

．

3.3判别式及其应用

3.3.1★已知方程没有实数根，其中是实数．试判定方程有无实数根．

解析因为方程无实数根，所以

，

即．

则

，

所以方程有两个不相等的实根．

3.3.2★★已知常数为实数，讨论关于的方程

的实数根的个数情况．

解析当时，原方程为，，即此时方程积有一个实根．

当时，原方程为一元二次方程，其判别式

，所以，当且时，原方程有两个不同的实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程没有实数根．

评注对于一个二次项系数含参数的方程，要按照二次项系数为零或不为零来讨论根的情况，前者为一次方程，后者为二次方程，不能一上来就用判别式．

3.3.3★★若对任何实数，关于的方程

都有实数根，求实数的取值范围．

解析根据判别式容易写出关于、的不等式．为了求出的取值范围，可以分离、，写成或的形式，那么不大于的最小值，或不小于的最大值．

按题意，

对一切实数成立．即

对一切实数成立．

显然，当时取最小值，故，．

所以的取值范围为．

3.3.4★★已知关于的二次方程无实根，其中为实数，试判断二次方程

的实根情况．

解析因为无实根，即无实根，所以，故．

方程，

即．

因为，所以，，上述方程是实系数二次方程，它的判别式

．

由，得，，，，从而，故无实根．

3.3.5★★、、是不全相等且都不为零的实数，求证：

，，这三个一元二次方程中，至少有一个方程有两个不相等的实数根．

解析本例即要证明三个方程的判别式至少有一个大于零．但由于、、不是具体数值，很难确定哪一个方程的判别式大于零，因此可考虑三个判别式的和．

因为、、都不是零，所以三个方程都是实系数一元二次方程，它们的判别式顺次记为、、，则

．

因为、、不全相等，所以，从而、、中至少有一个大于零，即三个二次方程中至少有一个方程两个不相等的实数根．

3.3.6★对于实数、，定义一种运算“*”为：

*．

若关于的方程*有两个不同的实数根，求满足条件的实数的取值范围．

解析由*（*），得

，

依题意有

解得，，或．

3.3.7★若方程

有实根，求、的值．

解析因为方程有实根，所以它的判别式

，化简后得

，

所以，

从而

解得，．

评注在本题中，只有一个不等式而要求两个值，通常是通过配方把这个不等式变形为“若干个非负数之和小于等于零”，从而可以得到一个方程组，进而求出要求的值．

3.3.8★的一边长为，另两边长恰是方程

的两个根，求的取值范围．

解析设的三边长分别为、、，且，由

得．此时由韦达定理，，，即，并且不等式

，

即．

综上可知，．

3.3.9★求方程的实数解．

解析先把看作是常数，把原方程看成是关于的一元二次方程，即

．

因为是实数，所以判别式

，化简后整理得

，

即，从而，将代入原方程，得

，

故．所以，原方程的实数解为，．

评注⑴本题也可以把看作常数，把方程写成关于的一元二次方程，再用判别式业求解．

⑵本题还可以用配方的方法，把原方程变形为

，从而，．

3.3.10★★解方程组

解析引入待定系数，由①②得

，或写成

．③

如果③式左端是一个关于和的完全平方式，则

．

由此解得，．将值代回③式得

，

，

即，．

由于，，由上两式开方后，就可以求出方程组的唯一解：

3.3.11★★设为实常数，方程有两个不同的实数根、．

⑴证明：

；

⑵求的最小可能值，并求取最小值时的值．

解析由条件可知，

，故或．

⑴利用条件为方程的根，可知，于是，结合，有

．

⑵与⑴作类似处理，可得

．

等号成立的条件是：

，这时，或，结合，可知应舍去．

综上可知，的最小值为2，并且取最小值时，．

评注本题中，用到了一个基本不等式：

若、为正实数，则．这一点由展开后移项可得．

3.3.12★★★设不小于的