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数值计算方法练习题.docx

数值计算方法练习题

数值计算方法练习题

习题一

1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。

(1)—1;

(3)[J:

(4)——「;

(5)[-■:

,;

(6);-「'■';

2.

''丨|「,问各近似值分别应取几位有

为使下列各数的近似值的相对误差限不超过效数字?

101

3.设均为第1题所给数据,估计下列各近似数的误差限。

£

(1)〔〔叮;

(2);;;;(3):

4•计算,取■■■.I,利用下列等价表达式计算,哪一个的结果最好?

为什么?

(1):

(2)][二’;(3)I;二

(4):

5.序列阳满足递推关系式

儿T叽iT("L2…)

若「一’“代匚(三位有效数字),计算'「时误差有多大?

这个计算过程稳定吗?

6.求方程-■-;+'II的两个根,使其至少具有四位有效数字(要求利用

7.利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。

1-cosx

«1

;

11-x

|x|«1;

(1)

sinx

(2)

1+2x1+x

(3)

Fl-

X»1

;

(4)

严d/K“a

X|

8.设

具仏求证:

(1)

a

«匕⑺二0」2…)

(2)利用

(1)中的公式正向递推计算时误差增大;反向递推时误差函数减小。

9.设x>O,x*的相对误差为S,求f(x)=lnx的误差限。

10.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。

z;=l1021fx>0.03U>560?

40

11.下列公式如何才比较准确?

(1)

⑵T

12.近似数x*=0.0310,是

位有数数字。

13.计算r_-『取、,禾I」用

式计算误差最小。

四个选项:

1

(-72+1)6

习题二

1.已知-■■-.,求.IJ的二次值多项式。

2.令■'-'-■■i--求:

‘一’的一次插值多项式,并估计插值误差。

3.给出函数「-丄“的数表,分别用线性插值与二次插值求门I■/的近似值,并

估计截断误差。

0.4

0.5

0.6

0.7

sitlA

0.38942

0.47943

0.56464

0.64422

110.71736

5.已知血=*』+齢i,求皿及九2°.2U]的值。

6•根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式,并用其计算」“「和;〔Ijic的近似值。

X

1.615

1.634

1.702

1.828|

L.921—

F(x)

2.41450

2.46459

2.65271

3.03035|

L.34066—

7.已知函数y=/W的如下函数值表,解答下列问题

(1)试列出相应的差分表;

(2)分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。

X

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

f(x)

1.00

1.32

1.68

2.08

2.52

3.00

p=lf\^dx

8.下表为概率积分龙」。

的数据表,试问:

(1)|L■「一时,积分*-

(2):

为何值时,积分;…?

X

0.46

0.47

0.48

0.49

P

0.484655

0.4937452

0.5027498

0.5116683

9.利用「匸匸nl在,-'.=1I.IiI4J各点的数据(取五位有效数字),求方程."J〔在0.3和0.4之间的根的近似值。

10.依据表10中数据,求三次埃尔米特插值多项式。

表10

x

0

1

y

0

1

yC

-3

9

11.依据数表11中数据,利用基函数方法,构造四次埃尔米特插值多项式。

表11

X

0

1

Y

0

-2

3

yC

0

1

12.在-:

'-■上给出的等距节点函数表,用分段线性插值求r的近似值,要使截断误差不超过二’,问函数表的步长h应怎样选取?

13.将区间[盒切分成n等分,求在上的分段三次埃尔米特插值多项式,

并估计截断误差。

14、给定■:

'i.•.的数值表

0.4

0.5

0.6

0.7

Lnx

-0.916291

-0.693147

-0.510826

-0.35(675

用线性插值与二次插值计算In0.54的近似值并估计误差限

15、在-4

的近似值,要使误差不超过「’,函数表的步长h应取多少?

16、若/(©=*+*+弘+1,求⑵妙…0]和/[霞就…公]

17、若y図⑵=(旷暗)(「可)…(kfj码(“°丄…卫)互异,求

“「二,二—的值,这里pwn+1.

工旳=3厂

18、求证■■-

19、已知’「一的函数表

0

0.20

0.30

0.50

工Xj)

0

0.20134

0.30452

0.52110

求出三次Newton均差插值多项式,计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差

20、给定f(x)=cosx的函数表

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

O.d

100000

0.99500

0.981007

0,95534

0.3210fi

0.87758

0.82534

用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差.

21.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足:

11_-■11-1t3_}1-1■-7--1

Sjt(A)=—^―卫>0,SM

22.令…称为第二类Chebyshev多项式,试求的表达式,并证

明匸是[-1,1]上带权--的正交多项式序列.

Xi

19

25

31

38

44

19.0

32,3

49』

73.3

57.8

24、填空题

⑴满足条件■■1■'1■:

'■-的插值多项式p(x)=().

(2)心厂…;6则f:

1,2,3,4]=(),f:

1,2,3,4,5]=().

丈讥(0)

(3)设为互异节点,「:

为对应的四次插值基函数,则匸=(),

4工(兀:

+2北(x)■-1=().

(4)

p(x)=x的最高项系数为

d()

i的正交多项式

设〔」是区间[0,1]上权函数为

f(x)dx

序列,其中■1,则=(),

习题三

1.给出数据如下表所示,试用最小二乘法求一次和二次拟合多项式。

X

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

y

-0.2209

0.3295

0.8826

1.4392

0

0.25

0.50

0.75

1.00

2.0003

2.5645

3.1334

3.7061

4.2836

2.用最小二乘法求下列不相容方程组的近似解。

 

3.用最小二乘法求一个形如"-■■■的经验公式,使它与下表中的数据相拟合,并计

算均方误差。

X1

19

31|

卜1

IL4I

Y|

19.0|

〔32.3

49.0|

73.3

97.8|

4.在某次实验中,需要观察水份的渗透速度,测得时间t与水的重量W的数据见下表。

设已知t与W之间的关系为匸-用',试用最小二乘法确定参数a、s。

t(秒)

1

2

4

8

p~1

32

64

W(克)

4.22

4.02

3.85

4.59

13.44

3.02

2.59

5.试构造点集:

■''11■•TI.=丨上的离散正交多项式系

i.--';.--I-■■■..-.I■■■'o并利用所求的离散正交多项式系,对第二题中的数据求二次拟合多项

式。

6.现测量长度'1和心八鳥米、I一」米,为了提高测量的可靠性,又测量到

并指明所构造出的求积公式具

-您)]

习题四

1.确定下列求积公式中的特定参数,使其代数精度尽量高,有的代数精度。

([)J:

血必心丿(#)+4/(0)+A㈣;

(2)I:

金站扎JZ)+妬他+A㈣;

/("如扣(T)+2伦)+3怒)]

(3)M3;

字y⑷+爪)]+盹乜円广仞

(4)几2

 

2.用辛甫生公式求积分

■1

p=Jf(4r

[:

的值,并估计误差

 

3.分别用复化梯形法和复化辛甫生法计算下列积分:

■rrfir

(3)Rm点,8等分积分区间;(4)]严6等分积分区间。

4.用复化梯形公式求积分,问将积分区间[a,b]分成多少等分,才能保证误

差不超过e(不计舍入误差)?

5.导出下列三种矩形公式的项

(“Jbd)改宙0-住)『依)

(2)血洱

(1)」圧;

(2)」任;

(3)兀I2丿

11。

提示:

利用泰勒公式。

6.用龙贝格公式计算下列积分,要求相邻两次龙贝格值的差不超过

(1)

7.根据等式

.K

用sin—=圧一

.K

/jsin-

以及:

-当n=3,6,12时的三个值,利用外推算法求'的近似值。

-dz

8.分别用下列方法计算积分hx,并比较结果精度(积分准确值

(1)复化梯形法,n=16;

(2)

(3)龙贝格算法,求至R2;

(4)

(5)五点咼斯一勒让德公式。

三点高斯一勒让德公式;

复化辛甫生法,n=8;

9•试确定下面求积分式的待定参数,使其代数精度尽可能高。

■1

/w=

1

丄厂在x=1.0,1.1,1.2处的一

u

10.已知f(x)的值见表6-13。

用三点公式求函数阶导数值,并估计误差。

f(x)=

11.用二阶三点公式求函数'-;'在x=1.2处的二阶导数值(利用数表6-13)。

X

1.0

1.1

1.2

f(X)

0.25000

0.22676

0.20661

12.用中点公式的外推算法求「匸-匸在x=2处的一阶导数值,取h=0.8开始,加速

二次。

13、分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分

14、用Simpson公式求积分

,并估计误差

15、确定下列求积公式中的待定参数,数精确度•

使其代数精确度尽量高,

并指明求积公式所具有的代

问区间",

应分为多少等分

⑶\\'二—匸°丨「.「

16、计算积分:

'",若用复合Simpson公式要使误差不超过要分为多少等分?

若改用复合梯形公式达到同样精确度,区间

17、用Romberg求积算法求积分一,取

18、用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分

I=j;「严

19、用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分'''■'

习题五

1.用列主元素法解下列方程组

<2可-5x2+2a3=-1

⑴xL+2巧+6x^=9

(1)

(2)两题观察每步消元结果的系数矩阵有何特点,右下方矩阵是否对称,列主元在何处,消元过程是否符合上题结论。

2.用追赶法解下列方程组

-1

(1)

(2)

-1

2

-1

2

-1

2

 

3.求第1题及第2题中系数矩阵A的LU分解,并用此分解法解对应的线性方程组。

-400

z=(l,(H-WT^=0

4.给定L0

4-4

02,求枕及||观9・12对。

 

5、用Gauss消去法求解下列方程组

9

8

卩2兀一3也+3x3=15

4-18巧+3x2十3x3=-15

6用列主元消去法求解方程组〔兀1+乜+堀=6并求出系数矩阵A的行

列式detA的值.

7、用Doolittle分解法求习题5

(1)方程组的解.

8、下述矩阵能否作Doolittle分解,若能分解,分解式是否唯

1

2

3

1

1

1

2

6

A=

2

4

1

tB=

2

2

1

A

2

5

15

4

6

7

3

3

1

15

46

9、用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中

■'

2

-1

-1

2

A=

0

-1

0

0

0

■'

0

「16

4

10、用平方根法解方程组

3

0

0

0

P■

1

-1

0

0

0

2

-1

0

=

0

-1

2

-1

0

0

-1

2

0

4

二4

5

-4

=

3

-4

22

10

A=

12、设

060.5'

°-1计算A的行范数,列范数及F-范数和2范数.

13、

设M为「上任一种范数,皿是非奇异的,定义

14、求下面两个方程组的解,并利用矩阵的条件数估计M

^240

-179

切0

-179.5

壽][:

;H;]即g

爲mi即■■1■「'■

15、是非题(

若"是"在末尾()填+,"不是"填-):

题目中

X=(JCp—XB)rE疋僅二(嗚)ER和

则II■■-■■■-':

是「上的一种向量范数

1-rri^是一种范数矩阵

(1)若A对称正定,-丁

(2)

定义

(3)

定义

F2s1^3

』是一种范数矩阵

(4)

上三角阵

只要

,则a总可分解为a=LU其中

L为单位下三角阵,

U为非奇

(5)

只要

血白工°,贝U总可用列主元消去法求得方程组Ax=h的解

(7)

对任何U-都有.■:

■:

'll()

(8)

若A为正交矩阵,贝U…•厂』」()

若A对称正定,则A可分解为」,其中L为对角元素为正的下三角阵

习题六

1.对下列方程组考察用雅可比迭代法与高斯一塞德尔迭代法是否收敛?

若收敛,写出其

迭代格式;若下收敛,能否将方程变形,使之用雅可比迭代法或高斯一塞德尔迭代法时收敛?

X】+0.4x3+0.4x3=1

*0.4码+可+0.8x3=2

(3)

(4)』.4码+0&2+码三3•

5次求线性方程组的解(取初值

2•试分析用雅可比迭代法和塞德尔迭代法连续迭代

=-4

-Xj+10x2--x4=12

-Xj-+10x4=34

3.用雅可比迭代法解下列方程组。

20^+2^2十3x3=24

[可+8xa+心=12

(1)

2首-3j2+15x3=30

L

気-+2x3=5

取牌=(o帅F,并判别此迭代是否收敛?

4.用塞德尔迭代法解方程组。

20^十2z2十3x3=24

4孔+女2+也=12

2筍-3xa+15x3=30

L

取/(°>=(0帅)『,并判别此迭代是否收敛?

TA—A2丄才...

5.证明对于任意的矩阵A,序列‘I-'■:

收敛于零矩阵.

6.方程组

比+2x2+x3=-12-z1++2巧=20

2^1-3x3+10^3=3

(1)考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.

⑵写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以计算到—%估为止.

7.设方程组

I切內+旳2可・切

证明:

解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散

8.下列两个方程组Ax=b,若分别用J法及GS法求解,是否收敛?

'12-2

A=111

221

[10

A=b10b

9.设1°”打,detA工0,用住,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收

敛的充分必要条件.

10.用SOF方法解方程组(分别取3=1.03,3=1,3=1.1)

4才]-Xj=1

i+Ax2-=4

-帀+4花=-3

L==

精确解八「I',要求当/7;1L时迭代终止,并对每一个3值

确定迭代次数•

11.对上题求出SOF迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度,并求J法与GS法的渐近收敛速度•若要使卩r纠L'那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?

12.填空题

A=

(1)L

101

12

■■

已知方程组

0.321

n■

■1■

,则解此方程组的Jacobi迭代法是否收

0

可要使黑才应满足()

敛().它的渐近收敛速度R(B)=()

A=

设方程组Ax=b,其中

'2

1

-1

1•习其J法的迭代矩阵是().GS法的迭

代矩阵是().

+吒■4

(4)用GS法解方程组_J,其中a为实数,方法收敛的充要条件是a满足().

'1門卜]■卜]

(5)给定方程组卜①lA]a为实数.当a满足(),且0V3V2

时SOR迭代法收敛.

 

习题七

1.判断下列方程有几个实根,并求出其隔根区间。

X1.

sm兀一一+—=QAv

(1):

-;

(2)

(3)「二J-J;(4)I]丄丨1

2.方程■■1-:

■'11■"在区间(3,4)中有一实根,若用二分法求此根,使

其误差不超过丨丨',问应将区间对分几次?

并请用二分法求此根。

3.下列方程各有一实根,判别能否直接将其写成迭代格式而后求解?

如不能,将方程变

形,给出一个收敛的迭代格式。

(2)..+T

x=-(cosj+suix)

(1)•:

4.求方程I=■■的隔根区间,对方程的下列四种等价变形,判断各迭代格式的

收敛性,选一种收敛最快的迭代格式,求出具有四位有效数字的近似根。

⑵■■

6.用牛顿法求出的方程I根的迭代结果见表2-6,试估计所求根的重数。

表2-6

k

Xk

XLXl1

0

0.75

1

0.752701

0.00270

2

0.754795

0.00208

3

0.756368

0.00157

4

0.757552

0.00118

5

0.7584441

0.000889

7.用二分法求方程'■-I-'的正根,使误差小于0.05.

8.求方程厂-「-〔在'=1.5附近的一个根,将方程改写成下列等价形式,并建立相应迭代公式.

X-1+-V伽十吉

⑴■■,迭代公式.

i

⑵宀1+戸,迭代公式血+

11

—Xk+1_i亍’

⑶"1,迭代公式

试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根.

9.设方程亠m上":

-『的迭代法

2夠=4+

(1)证明对■■-'',均有「其中」为方程的根.

(2)取=4,求此迭代法的近似根,使误差不超过.:

并列出各次迭代值.

(3)此迭代法收敛阶是多少?

证明你的结论.

10.给定函数AX),设对一切x,n存在,而且0

的任意常数」,迭代法■■-f-均收敛于方程-|的根.

11.用Steffensen方法计算第12题中⑵、⑶的近似根,精确到一」

12用Newton法求下列方程的根,计算准确到4位有效数字.

⑴"---•:

在’=2附近的根.

⑵1;:

'■";;-''在’=1附近的根.

13.应用Newton法于方程―—,求立方根•■的迭代公式,并讨论其收敛性.

_4

1

A的特征值的界。

习题八

32

人=23

10

1•已知矩阵—

试用格希哥林圆盘确定

2.设xFx^x?

...,X3)T是矩阵A属于特征值X的特征向量,若1,珀=Xi,

n

丸—aii兰送aij

j=i

试证明特征值的估计式

j式

232]

A=1034

3.用幕法求矩阵361-

的强特征值和特征向量,迭代初值取y("二(1,1,1^。

6

A=2

4•用反幕法求矩阵J

(0)T

y=(1,1,1)。

2们

31

11一最接近6的特征值和特征向量,迭代初值取

5•设A^Rn>n非奇异,A的正交分解为A=QR,作逆序相乘Ai=RQ,试证明

(1)若A对称则Ai也对称;

(2)

6•设矩阵

A」一1

若A是上Hessenberg阵,贝UAi也是上Hessenberg阵。

(1)任取一非零向量作初始向量用幕法作迭代,求A的强特征值和特征向量;

(2)用QR算法作一次迭代,求A的特征值;

(3)用代数方法求出A的特征值和特征向量,将结果与

(1)和

(2)的结果比较。

201〕

A=02-1

7•设矩阵」一11J

(1)用Householder变换化A为对称三对角阵A1。

(2)用平面旋转阵对A1进行一步QR迭代计算出A2。

8.用带位移的QR方法计算下列矩阵的全部特征值。

421310

(1)A=010,

(2)A=121

023卫11一

9.设ARnn,且已知其强特征值‘1和对应的特征向量x

(1),

(1)证明:

若构造Householder阵H使Hx⑴二ke1(常数k=0心=(1,0,...,0)丁■R),

1x

HAH=|1

则必有「°A_

(n-J)(n4)1(nd)

其中A^R,x•R,且a的其余n-1个特征值就是A1的特征值。

\17

M1T

一2为例,已知’i=4,x

(1)=(2,1)t,用以上方法构造H阵,并求出A

的第二个特征值’2。

10.对以下的实对称阵用QR方法求其全部特征值。

3

1

0〕

[

4-1

1〕

(1)A=

1

4

2

(2)A=

-1

3

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