的近似值，要使误差不超过「’，函数表的步长h应取多少？
16、若/（©=*+*+弘+1,求⑵妙…0］和/［霞就…公］
17、若y図⑵=（旷暗）（「可）…（kfj码（“°丄…卫）互异，求
“「二,二—的值，这里pwn+1.
工旳=3厂
18、求证■■-
19、已知’「一的函数表
爲
0
0.20
0.30
0.50
工Xj）
0
0.20134
0.30452
0.52110
求出三次Newton均差插值多项式，计算f（0.23）的近似值并用均差的余项表达式估计误差
20、给定f（x）=cosx的函数表
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
O.d
100000
0.99500
0.981007
0,95534
0.3210fi
0.87758
0.82534
用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差.
21.求一个次数不高于四次的多项式p（x）,使它满足:
11_-■11-1t3_}1-1■-7--1
Sjt（A）=—^―卫>0,SM
22.令…称为第二类Chebyshev多项式，试求的表达式，并证
明匸是［-1,1］上带权--的正交多项式序列.
Xi
19
25
31
38
44
19.0
32,3
49』
73.3
57.8
24、填空题
⑴满足条件■■1■'1■:
'■-的插值多项式p（x）=（）.
（2）心厂…；6则f:
1,2,3,4]=（）,f:
1,2,3,4,5]=（）.
丈讥（0）
（3）设为互异节点，「:
为对应的四次插值基函数，则匸=（）,
4工（兀：
+2北（x）■-1=（）.
（4）
p（x）=x的最高项系数为
d（）
i的正交多项式
设〔」是区间[0,1]上权函数为
f（x）dx
序列，其中■1,则=（）,
习题三
1.给出数据如下表所示，试用最小二乘法求一次和二次拟合多项式。
X
-1.00
-0.75
-0.50
-0.25
y
-0.2209
0.3295
0.8826
1.4392
0
0.25
0.50
0.75
1.00
2.0003
2.5645
3.1334
3.7061
4.2836
2.用最小二乘法求下列不相容方程组的近似解。
3.用最小二乘法求一个形如"-■■■的经验公式，使它与下表中的数据相拟合，并计
算均方误差。
X1
19
卜
31|
卜1
IL4I
Y|
19.0|
〔32.3
49.0|
73.3
97.8|
4.在某次实验中，需要观察水份的渗透速度，测得时间t与水的重量W的数据见下表。
设已知t与W之间的关系为匸-用'，试用最小二乘法确定参数a、s。
t（秒）
1
2
4
8
p~1
32
64
W（克）
4.22
4.02
3.85
4.59
13.44
3.02
2.59
5.试构造点集：
■''11■•TI.=丨上的离散正交多项式系
i.--'；.--I-■■■..-.I■■■'o并利用所求的离散正交多项式系，对第二题中的数据求二次拟合多项
式。
6.现测量长度'1和心八鳥米、I一」米，为了提高测量的可靠性，又测量到
并指明所构造出的求积公式具
-您）]
习题四
1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，有的代数精度。
（[）J：
血必心丿（#）+4/（0）+A㈣；
（2）I：
金站扎JZ）+妬他+A㈣；
：
/（"如扣（T）+2伦）+3怒）]
（3）M3；
字y⑷+爪）]+盹乜円广仞
（4）几2
2.用辛甫生公式求积分
■1
p=Jf（4r
[:
的值，并估计误差
3.分别用复化梯形法和复化辛甫生法计算下列积分:
■rrfir
（3）Rm点，8等分积分区间；（4）］严6等分积分区间。
4.用复化梯形公式求积分,问将积分区间［a,b］分成多少等分，才能保证误
差不超过e（不计舍入误差）？
5.导出下列三种矩形公式的项
（“Jbd）改宙0-住）『依）
（2）血洱
（1）」圧；
（2）」任；
（3）兀I2丿
11。
提示：
利用泰勒公式。
6.用龙贝格公式计算下列积分，要求相邻两次龙贝格值的差不超过
（1）
7.根据等式
.K
用sin—=圧一
.K
/jsin-
以及:
-当n=3,6,12时的三个值，利用外推算法求'的近似值。
-dz
8.分别用下列方法计算积分hx，并比较结果精度（积分准确值
（1）复化梯形法，n=16；
（2）
（3）龙贝格算法，求至R2；
（4）
（5）五点咼斯一勒让德公式。
三点高斯一勒让德公式;
复化辛甫生法，n=8；
9•试确定下面求积分式的待定参数，使其代数精度尽可能高。
■1
/w=
1
丄厂在x=1.0,1.1,1.2处的一
u
10.已知f（x）的值见表6-13。
用三点公式求函数阶导数值，并估计误差。
f（x）=
11.用二阶三点公式求函数'-；'在x=1.2处的二阶导数值（利用数表6-13）。
X
1.0
1.1
1.2
f（X）
0.25000
0.22676
0.20661
12.用中点公式的外推算法求「匸-匸在x=2处的一阶导数值，取h=0.8开始，加速
二次。
13、分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分
14、用Simpson公式求积分
，并估计误差
15、确定下列求积公式中的待定参数，数精确度•
使其代数精确度尽量高,
并指明求积公式所具有的代
问区间",
应分为多少等分
⑶\\'二—匸°丨「.「
16、计算积分：
'"，若用复合Simpson公式要使误差不超过要分为多少等分？
若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间
17、用Romberg求积算法求积分一，取
18、用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分
I=j;「严
19、用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分'''■'
习题五
1.用列主元素法解下列方程组
<2可-5x2+2a3=-1
⑴xL+2巧+6x^=9
对
（1）
（2）两题观察每步消元结果的系数矩阵有何特点，右下方矩阵是否对称，列主元在何处，消元过程是否符合上题结论。
2.用追赶法解下列方程组
-1
（1）
（2）
-1
2
-1
2
-1
2
3.求第1题及第2题中系数矩阵A的LU分解，并用此分解法解对应的线性方程组。
-400
z=（l,（H-WT^=0
4.给定L0
4-4
02,求枕及||观9・12对。
5、用Gauss消去法求解下列方程组
9
8
卩2兀一3也+3x3=15
4-18巧+3x2十3x3=-15
6用列主元消去法求解方程组〔兀1+乜+堀=6并求出系数矩阵A的行
列式detA的值.
7、用Doolittle分解法求习题5
（1）方程组的解.
8、下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯
1
2
3
1
1
■
1
卩
2
■
6
A=
2
4
1
tB=
2
2
1
A
2
5
15
4
6
7
3
3
1
15
46
■
9、用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中
■'
2
-1
-1
2
A=
0
-1
0
0
0
■'
0
「16
4
10、用平方根法解方程组
3
■
0
0
■
0
P■
1
-1
0
0
0
2
-1
0
=
0
-1
2
-1
0
0
-1
2
■
0
4
二4
5
-4
=
3
-4
22
10
■
■
A=
12、设
060.5'
°-1计算A的行范数，列范数及F-范数和2范数.
13、
设M为「上任一种范数，皿是非奇异的，定义
14、求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计M
^240
-179
切0
-179.5
壽］［:
;H；］即g
爲mi即■■1■「'■
15、是非题（
若"是"在末尾（）填+,"不是"填-）:
题目中
X=（JCp—XB）rE疋僅二（嗚）ER和
则II■■-■■■-'：
是「上的一种向量范数
1-rri^是一种范数矩阵
（1）若A对称正定,-丁
（2）
定义
（3）
定义
F2s1^3
』是一种范数矩阵
（4）
上三角阵
只要
，则a总可分解为a=LU其中
L为单位下三角阵,
U为非奇
（5）
只要
血白工°，贝U总可用列主元消去法求得方程组Ax=h的解
（7）
对任何U-都有.■：
■：
'll（）
（8）
若A为正交矩阵，贝U…•厂』」（）
若A对称正定,则A可分解为」,其中L为对角元素为正的下三角阵
习题六
1.对下列方程组考察用雅可比迭代法与高斯一塞德尔迭代法是否收敛？
若收敛，写出其
迭代格式；若下收敛，能否将方程变形，使之用雅可比迭代法或高斯一塞德尔迭代法时收敛？
X】+0.4x3+0.4x3=1
*0.4码+可+0.8x3=2
（3）
（4）』.4码+0&2+码三3•
5次求线性方程组的解（取初值
2•试分析用雅可比迭代法和塞德尔迭代法连续迭代
）
=-4
-Xj+10x2--x4=12
-Xj-+10x4=34
3.用雅可比迭代法解下列方程组。
20^+2^2十3x3=24
［可+8xa+心=12
（1）
2首-3j2+15x3=30
L
気-+2x3=5
取牌=（o帅F，并判别此迭代是否收敛？
4.用塞德尔迭代法解方程组。
20^十2z2十3x3=24
4孔+女2+也=12
2筍-3xa+15x3=30
L
取/（°>=（0帅）『，并判别此迭代是否收敛？
TA—A2丄才...
5.证明对于任意的矩阵A,序列‘I-'■:
收敛于零矩阵.
6.方程组
比+2x2+x3=-12-z1++2巧=20
2^1-3x3+10^3=3
（1）考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.
⑵写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以计算到—%估为止.
7.设方程组
I切內+旳2可・切
证明：
解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散
8.下列两个方程组Ax=b,若分别用J法及GS法求解，是否收敛？
'12-2
A=111
221
[10
A=b10b
9.设1°”打，detA工0,用住,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收
敛的充分必要条件.
10.用SOF方法解方程组（分别取3=1.03,3=1,3=1.1）
4才］-Xj=1
i+Ax2-=4
-帀+4花=-3
L==
精确解八「I',要求当/7；1L时迭代终止，并对每一个3值
确定迭代次数•
11.对上题求出SOF迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度•若要使卩r纠L'那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次？
12.填空题
A=
（1）L
101
12
■■
已知方程组
0.321
n■
■1■
，则解此方程组的Jacobi迭代法是否收
0
可要使黑才应满足（）
⑵
敛（）.它的渐近收敛速度R（B）=（）
A=
设方程组Ax=b,其中
'2
1
-1
1•习其J法的迭代矩阵是（）.GS法的迭
代矩阵是（）.
+吒■4
（4）用GS法解方程组_J,其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足（）.
'1門卜］■卜］
（5）给定方程组卜①lA］a为实数.当a满足（），且0V3V2
时SOR迭代法收敛.
习题七
1.判断下列方程有几个实根，并求出其隔根区间。
X1.
sm兀一一+—=QAv
（1）:
-；
（2）
（3）「二J-J；（4）I］丄丨1
2.方程■■1-：
■'11■"在区间（3，4）中有一实根，若用二分法求此根，使
其误差不超过丨丨'，问应将区间对分几次？
并请用二分法求此根。
3.下列方程各有一实根，判别能否直接将其写成迭代格式而后求解？
如不能，将方程变
形，给出一个收敛的迭代格式。
（2）..+T
x=-（cosj+suix）
（1）•:
；
4.求方程I=■■的隔根区间，对方程的下列四种等价变形，判断各迭代格式的
收敛性，选一种收敛最快的迭代格式，求出具有四位有效数字的近似根。
⑵■■
6.用牛顿法求出的方程I根的迭代结果见表2-6，试估计所求根的重数。
表2-6
k
Xk
XLXl1
0
0.75
1
0.752701
0.00270
2
0.754795
0.00208
3
0.756368
0.00157
4
0.757552
0.00118
5
0.7584441
0.000889
7.用二分法求方程'■-I-'的正根，使误差小于0.05.
8.求方程厂-「-〔在'=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.
X-1+-V伽十吉
⑴■■，迭代公式.
i
⑵宀1+戸,迭代公式血+
11
—Xk+1_i亍’
⑶"1，迭代公式
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根.
9.设方程亠m上"：
-『的迭代法
2夠=4+
（1）证明对■■-'',均有「其中」为方程的根.
（2）取=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过.：
并列出各次迭代值.
（3）此迭代法收敛阶是多少？
证明你的结论.
10.给定函数AX）,设对一切x,n存在，而且0的任意常数」,迭代法■■-f-均收敛于方程-|的根.
11.用Steffensen方法计算第12题中⑵、⑶的近似根，精确到一」
12用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字.
⑴"---•:
在’=2附近的根.
⑵1;:
'■"；；-''在’=1附近的根.
13.应用Newton法于方程―—,求立方根•■的迭代公式，并讨论其收敛性.
_4
1
A的特征值的界。
习题八
32
人=23
10
1•已知矩阵—
试用格希哥林圆盘确定
2.设xFx^x?
...,X3）T是矩阵A属于特征值X的特征向量，若1，珀=Xi，
n
丸—aii兰送aij
j=i
试证明特征值的估计式
j式
232]
A=1034
3.用幕法求矩阵361-
的强特征值和特征向量，迭代初值取y（"二（1,1,1^。
6
A=2
4•用反幕法求矩阵J
（0）T
y=（1,1,1）。
2们
31
11一最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取
5•设A^Rn>n非奇异，A的正交分解为A=QR，作逆序相乘Ai=RQ，试证明
（1）若A对称则Ai也对称；
（2）
6•设矩阵
A」一1
若A是上Hessenberg阵，贝UAi也是上Hessenberg阵。
（1）任取一非零向量作初始向量用幕法作迭代，求A的强特征值和特征向量；
（2）用QR算法作一次迭代，求A的特征值；
（3）用代数方法求出A的特征值和特征向量，将结果与
（1）和
（2）的结果比较。
201〕
A=02-1
7•设矩阵」一11J
（1）用Householder变换化A为对称三对角阵A1。
（2）用平面旋转阵对A1进行一步QR迭代计算出A2。
8.用带位移的QR方法计算下列矩阵的全部特征值。
421310
（1）A=010,
（2）A=121
023卫11一
9.设ARnn，且已知其强特征值‘1和对应的特征向量x
（1）,
（1）证明：
若构造Householder阵H使Hx⑴二ke1（常数k=0心=（1,0,...,0）丁■R）,
1x
HAH=|1
则必有「°A_
（n-J）（n4）1（nd）
其中A^R,x•R，且a的其余n-1个特征值就是A1的特征值。
以
\17
M1T
一2为例，已知’i=4,x
（1）=（2,1）t，用以上方法构造H阵，并求出A
的第二个特征值’2。
10.对以下的实对称阵用QR方法求其全部特征值。
■
3
1
0〕
[
4-1
1〕
（1）A=
1
4
2
（2）A=
-1
3
升级会员 