清华大学自主招生试题含答案.docx

1、清华大学自主招生试题含答案1.设复数 z=cos -3+isin(A)0 (B)1 (C)2冲13，则仁(D) 3211 z22.设数列aj为等差数列,p,q,k, l为正整数，则p+qk+l ”是“ apaqak al ”的()条件既不充分也不必要(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)3.设A、B是抛物线y=x2上两点，0是坐标原点，若 OAL 0B,则()(A)|OA| |OB| 2 (B)|OA|+|OB| (C)直线AB过抛物线y=x2的焦点(D)O至煩线AB的距离小于等于4.设函数f(x)的定义域为(-1,1)，且满足：X yf (x) 0,x (-1,0)； f (

2、X) + f (y) = f ( ) , X、y 1xy(-1,1)，则 f (x)为(A)奇函数(B)偶函数(C)减函数(D)有界函数5.如图，已知直线 y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点，则 F(x)= f (x) - kx有(/ C=，且 sinC+sin(B - A) - 2sin2A=0,则有(3(A)b=2 a (B) ABC的周长为2+2-. 3 (C) ABC的面积为一空(D) ABC的外接圆半径为 37.设函数 f(x) (x2 3)ex，则( )(A) f (x)有极小值，但无最小值 (B) f (x)有极大值，但无最大值(C)若方程f (x) =b恰有一个实根，则

3、b-6| (D)若方程f (x) =b恰有三个不同实根，则 0be e8.已知 A=(x,y) 1 x22 2y r ,B=(x,y) 1 (x2 2 2a) (y b) r ,已知 An B=(x1,yJ,( X2,y2),则( )(A)0 a2 b2 4(C)若D为三角形，则0k /2 2|X1 | 丄=2,正确;|X1 |答案(B),|OA|+|OB| 2.|OA|OB| 2 .2,正确；答案(C),直线 AB 的斜率为2 22=X2x2 x1X1程为 y- xj =( x11)(x-x1),焦点(0, 1)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB：(4X11)x-y+ 仁0X1的距

4、离d=w 1,正确。选ABD(X1 Jr 14.【解析】x=y=O f (0) =O,y=-x f ( x) f(x), f(x)为奇函数，(A)正确；f(x). 0, (B)错误;f (xi) f(X2) f (x) J ,(C)正确;Xi X2 , f (xj - f(X2) = f(xi) + f( X2) = f 空 01 xi屜f(x)=-tan x满足已知条件，但无界，(D)错误。选A,C25.【简解】将直线平移知：斜率为 k的直线，与曲线y= f (x)至多有五个公共点，其中在此直线先下方后 上方的两个区间，先上方后下方的三个区间，故 F(x)有三个极大值点，两个极小值点。选 B

5、C6.【解析】2R=2 _R= 、3,D 正确;3又 sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosA cosA=0 或 sinB=2sinA A=或20 A = 0 b=2 a ; A=时，b= J3 , a = J3 ,周长为 2+ J3 ,面积为一J3 ; b=2 a 时，2 3 3 32 2 2c =a b 2ab cosC2 a =一J3 ,B=:,冋样有周长为2+.3，面积为2 & 选BCD3 237.【简解】f (x)=(x+3)(x-1)e , f极大(x)6f ( 3),ef极小(x) f(1) -2e,作出

6、其大致图象，如图选BD8.【解析】已知即半径相等的两圆O2 2 2 2 2 2O： x y r与O C： (x a) (y b) r交于相异的两点一 一 2 2 2 2 2 2垂直且平分，(B)(C)正确；a b =2axi 2byi (a Xi) (b yi) Xi yi |CR | |0R|, (D)正确。总之，选BCD作图知d 2 a b -3=2 | a |b | cos( a, b )-3=2 . 13 cos( a, b)-3,(a,b)最大值是b与OY夹角，此时d213 L -3=3。选C4(1 qn)1 qm 1 1 qnag m1 1 q常数，也不可能；答案(C), an S

7、n Sn 1 = am at,满足要求；答案q(D), an = Sm=at，并非对所有数列成立。选 AC时,qz 110.【解析】答案(A)，常数列0,0,0, 满足要求；答案(B),公比q=1时因na1 z a1,结论假,11.【简解】答案甲乙丙不能保证只有一个正确，故选 D12.等体积法，选B13.【解析】如图：不等式组表示过点 P(-1,-2)的直线的下方与正方形 ABCD围成的面积图形4,故S=4只有一解，(A)正确； RAB P3P4D的面积分别5特别的x,y 0,1时，DE为三角形的中线，此时分成两部分面积比值为1当x,y (0,1)时， ADE面积S= ADX AEsinA=

8、- xABX yACsinA=xy,D、G E三点共线 存在实数入，使22UULT 得DGuuurUULTUULTuuurUULT uuurUULT=(1-入)AD + 入UUUuuuUULTDEAGAD=入(AEAD ) AG：AE=(1-入)x AB+入y AC ,又UULTAG =-1 uuu 1 uuur AB + AC(1)x131消去入得到11 11=3,因_ _ 2.厂12,SS2 S3 3y13xy x yVx y34 2 4 5 -,等号成立当且仅当x=y= DE/ BC,故S最小值为一，1-S的最大值为；故两面积比值有最小值9 3 9 945-，最大值-。选BD5417.【

9、解析】先看一个顶点处构成钝角的三角形个数，加设此点为 A,从A逆时针方向的点依次记为Ak(k=1,2,3,7),顺时针方向的顶点依次记为 Ak(k=1,2,3,7) , A.AA m要构成以A为钝角的钝角三角形，则 n+mc7,有1+2+3+6=21个。于是共可构成 15X 21=315个钝角三角形。选 C18.【简解】正数点关于 x轴、y轴对称，故一定是 4的倍数。选 ACD1 2 2 4 1 219.【简解】设x=x+yi(x,y R),代入化简得到(x丄)2 y2 4，表示以(-,0)为圆心，以-为半径的3 9 3 3圆及其内部，根据图形，选 ACDr 1 r 120.【解析】a1 a2

10、是一个数值，不是向量，(A)错；r 1 r 1 . . . . .a2 b2 =ncos cos nsin sin =、. mn cos = .mn cos,(B)正确；2 2 2 2 2 2r 1 r 1| a2 b212 = (、mcos 、n cos)2 + (、msin ,n sin)2 =m+n-2 . mn cos2 2 2 2m+n-2m ncos 2 m n( 1-cos )= 4 , m nsin2,(C)正确;2 2 4同理(D)正确选BCD21.【简解】 亠1 ,迭乘得到 an=(n+2)(n+1)n ； a. (n 1)3 n(n+2) 0, g极小值(x)二g()=0

11、,(A)正确；|f (x) | c 22 1x x |.作图象知成立,(B)正确；x= 是其一条对称轴，(C)正确；2f (a x) f (a x)不可能为常数，故(D)错误。选ABC24.【简解】A+B a-B sinAsin( -B)=cosB,tanAtan(2 2 2-B)=cotB,(A)(B) 正确；锐角三角形,2定有a22 2b c , (C)正确；三角形三边长为0.5,0.9,1时，满足锐角三角形条件，但3 30.5 0.90.854 0,存在3 0,当|x|3 时，| f(x) f(0)-1| x(1-x )+1 f (x) 0,知在0附近存在区间,f(X)0,(B)正确；对

12、于函数 y=x+1，(D)不正确。总之，选 ABC2 126.解析】将所有的|sin / ARBs in / APj B|，按从小到大排序，共有 C：个，其中最小者不大于 ，最31 2大为2，于是-Cn 2,n的最小值为4.选B327.【解析】设 x=rcos 0 ,y=rsin 0 , 0 0, .2x+y=1 r= ,x+ . x2 y2 =rcos2 2cos sin+r= cos 1，记作 T ；去分 母得到 Tsin 0 +(2T-1)cos 0 =1, , T2 (2T2cos sin2T 1 4+arctan )=1 w 、 T2 (2T 1)2 ,解得 T ,等号成立当且仅当

13、0 +arctanT N 53+arctan = , (A)正确；当0 =0时T=2,0 =一时T=1，最大值为 2, (C)正确。选 AC42 228.简解】黑球先放好，放白球，选 A1)2 sin(2T 1T29.【解析】先从五个数字中，将这三个数字中选出来，有3C5种方法，如选了 123;在确定不重复用的数字，有C3种方法，如选3;对数字3安排有A；种方法，余下的对数字 1安排有C：种方法，剩下的两位安排 2; 有 c5 c3 a1 C42 =900.选 C30.简解】解方程得到 y2 x2 1 4x2 1 ，易知它关于两坐标轴及原点都对称,(A)(B)正确;x2 y2 = 4x2 1 1 w 1有-3 wxw 3条件，但已知中无此条件，故(C)错误；设2x=tan 0 , 0 ( ,2 2 21 3 11 1),y2 =- sec2 +sec 0 -一，当 sec 0 =2 时，y2max= , - w y w ,(D)正确。选 ABD2 4 4 4 2 2