高中数学排列组合及概率统计习题.docx
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高中数学排列组合及概率统计习题
高中数学必修排列组合和概率练习题
一、选择题（每小题5分，共60分）
⑴已知集合A=｛1,3,5,7,9,】1｝,B=｛1,7,】7｝.试以集合A和B中各取一个数作为点的坐标，在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是C
（D）36
（A）32（B）33（C）34
解分别以｛1,3,5,7,9,11｝和｛1,7,11｝的元素为'和y坐标，不同点的个数为以・厅
分别以｛1,3,5,7,941）和（1,7,11）的元素为），和x坐标，不同点的个数为P；・P；
不同点的个数总数是4'・4'+E：
・R'=36,其中重复的数据有（1,7）,（7,1）,所以只有34个
（2）从】，2,3,9这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作直数，则可以得到不同的对
数值的个数为
（A）64（B）56（C）53（D）51
1从】，2,3,9这九个数学中任取两个的数分别作底数和直数的“对数式”个数为2P；；
21不能为底数，以1为底数的“对数式”个数有8个，而应减去；
31为直数时，对数为0,以】为直数的“对数式”个数有8个，应减去7个；
警拦。
鬼=21。
&2=1心蓦
1。
&3=1。
&9iog23=log49
所示求不同的对数值的个数为2C,8-7-4=53（个）
四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名站在一起，但三名女生不能全排在一起，则不同的排法数有
（D）2880
（A）3600（B）3200（C）3080
1三名女生中有两名站在一起的站法种数是P；；
2将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是段,其中的三名女生排在一起的站法应减去。
站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列，排列数为P；,站在一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列，故三名女生排在一起的种数是P；P；o
符合题设的排列数为：
/>2（A>6-/>1^5）=6x（6x5x4x3x2-2x5x4x3x2）=24x5x4x3x2=2880（#）
我的做法用插空法，先将4个男生全排再用插空=2880
（4）由（妊+扼严展开所得x多项式中，系数为有理项的共有
（A）50项（B）17项（C）】6项（D）15项
解（屈+扼）,00=（4）（屈）M扁Mx）g（*）「+.•M'SSy00
__100-rr3（】（）0-r）2r300-r
可见通项式为：
％（屈严>-'（咨）「==%6一^+*岫"=%6W00-'
旦当^,6,12,18,...,96时，相应项的系数为有理数，这些项共有17个，故系数为有理项的共有17个.
（5）设有甲、乙两把不相同的锁，甲锁配有2把钥匙，乙锁配有2把钥匙，这4把钥匙与不能开这两
把锁的2把钥匙混在一起，从中任取2把钥匙能打开2把锁的概率是
（A）4/15（B）2/5（C）1/3（D）2/3
解从6把钥匙中任取2把的组合数为P：
若从中任取的2把钥匙能打开2把锁，则取出的必是甲锁
.资料....
的2把钥匙之一和乙锁的2把钥匙之一。
假设分二次取钥匙，第一次取到甲锁的钥匙，第二次取到乙锁的钥匙，取法的种数为巴•巴；当然，第一次取到乙锁的钥匙，第二次取到甲锁的钥匙，取法的种数也为P；・P；。
这二种取法都能打开2把锁。
故从中任取2把钥匙能打开2把锁的概率是：
2RS4
（6）在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是
（A）5/6（B）4/5（C）2/3（D）1/2
解①所有两位数的个数为90个；
②能被2或3整除的二位数的个数60个:
能被2整除的二位数的个数是有90xA=45（个），能被3
整除的二位数的个数为有24个（从3,6,9中选2的排列P；个，1,2、1,5、1,8、2,4、2,7、4,5、4,857、7,8九组中各选2的排列有9/V个），能被3整除的二位数中有9个（12、18、24、4254、72、48、84、78）也能被3整除,故能被2或3整除的二位数的个数是45-9+^+9号=60个；
所有的两位数中，能被2或3整除二位数所占比例是因此，在所有的两位数中，任取一个
2
数，则这个数能被2或3整除的概率是了
（7）先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是
（D5/8
（A）1/8（B）3/8（C）7/8
I1多
解恰好出现一次正面的概率为P
（1）=C；（-）,（l--）3-,=-
ZZ<5
1i3恰好出现二次正面的概率为P
（1）=C；（p2（i—
ZZo
恰好出现三次正面的概率为P
（1）=C；（：
）3（1-扩3=：
2Zo
3317至少出现一次正面的概率是P=o+o+o=o
OOOO
（8）在四次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A
在一次试验中发生的概率中的取值范围是
（0,0.6）（D[0.6,1）
（A）[0.4,1）（B）（0,0.4]（C）
设事件A在一次试验中发生的概率为A-,由题设得
C：
（x）i（D"yC；（x）2（l-x）4-24x-4x2<6x35x2-2x>0
对于5b-2x=0,有X]=0,=0.4
对于5尸一2工20,有Xj<0,x2>0.4
根据概率的性质，x的取值范围为[0.4,1]
（9）若（2X+75）心*0+岫+矣乂2+--+a100x100,则（。
0+。
2+。
4+…+。
100）：
（。
|+。
3+…+6）2的值为
（A）1
（B）・1（C）0（D）2
解
（10）从集合a{a-|1（A）19/68（B）13/35（C）4/13（D）9/34
（11）
从集合a｛』1取到的数含3或6时，其余二数为12、15、24、27、45、57,能被3整除的数的个数为6P；.2P；;
取到的数不含3或6和能被3整除的三个数是1、4、7,取法种数有P；种；
工个5土以6P-2P；+耳12x2x3+613x613
因此，所求概率为：
二蛆一=-、（v=厂，飞=衣P；7x6x57x6x535
某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元70元的单片软件和盒装磁盘，
根据需要至少买3片软件，至少买2盒磁盘，则不同的选购方式共有
（C）7种D）8种
（A）5种
（B）6种
（12）
设选购a•片软件，y盒磁盘，贝ij：
[500-60x〜°
——>2（%>3）
500%，解得：
——N3（）N2）
6>a>3
2软件和磁盘数重的选购方式分别为（3,2）、（3,3）（3,4）（4,2）（4,3）（5,2）（6,2）,共7种。
已知AyvO,旦x+y=l,而（x+y）9按x的降幕排列的展开式中，T2144
（A）（q,-）（B）+co）（C）（l,+oo）（D）（一8,-二]
JJJ
二、埴空题（每小题4分，共16分）
（13）已知A、B是互相独立事件，C与A、B分别是互斥事件，已知P（A）=0.2,P（B）=0.6,P（C）=0.14,则A、B、C至少有一个发生的概率P（A+B+C）
解A、B同时发生的概率P（AeB）=P（A）xP（B）=0.2x0.6=0.12
A发生而B没有发生的概率P（A.B）=P（A）xP（B）=0.2x0.4=0.08
A没有发生而B发生的概率P（A.B）=P（A）xP（B）=0.8x0.6=0.48
C发生的概率P（C）=0.14
A、B、C至少有一个发生的概率
P（A+B+C）=P（A•巨）+P（A・B）+P（A・B）+P（C）=O.12+0.08+0.48+0.14=0.82
（14）（lxl+二-2）3展开式中的常数项是-20,
Ixl
解仲岫-2）'
+（-2）%估-2）+3（吉）（时-2）+12（|x|+吉）+61"吉x（-2）]
3/1
—X十i7
（IF
一8+3|x|一6田2+令一§+12|x|+背一12
（15）求值：
%%+...+=
二
解cio-一把o+...+籍
=c10--c9+lcs--C7+lc6--C5+lc6-ic7+-C^c9+—c10—io2103104io5io6i°7〔°gio9—10]01°]|10
_厂101厂9.1z-mS1厂？
.1厂61z-»6.1z-i71厂8.1z-i9z-ilO.1z-xlO
=^10""2^101亍1|。
_彳1|。
’_$Jo+aJo_彳Jo十^■Jo_jo十口Jo
1pio1
=TTc-=h
_〃，+1c"+i
重要：
5席=6C*"〃一"
厂m_1厂吹+1
m+1〃一m
（16）5人担任5种不同的工作，现需调整，调整后至少有2人与原来工作不同，则共有多少种不同的调整方法？
解法一设该5人分别为ABCDE,调整前的工作分别是abcde,当他们的排列为BACDE时，工作也分别是abcde,^有二人调换工作，故他们的每一排列可表示他们的工作的一种安排情况，他们的全排列可表示工作的全部安排情况.全排列数减去1即为不同的调整方法.故不同的调整方法种数为：
段-1=119（种）
解法二设该5人分别为ABCDE,调整前的工作分别是。
阮次。
1求恰有2人调整工作的种数:
C；=10（种）
2求恰有3人调整工作的种数：
从5人中选3人的组合数为C；=10,这10组及它们的排列数与工作调整的方式数分别如下:
ABC：
ABC,
ACB,BAC,BCA,
CAB.
CBA,
有2种调整方式.
ABD：
ABD,
ADB,BAD,BDA,
DAB,
DBA,
有2种调整方式
ABE：
ABE,
AEB,BAE,BEA,
EAB.
EBA,
有2种调整方式
BCD：
BCD,
BDC,CBD,CDB,
DBC,
DCB,
有2种调整方式
BCE：
BCE,
BEC,CEB,CBE,
EBC,
ECB.
有2种调整方式
CDE：
CDE,
CED,DCE,DEC,
ECD,
EDC,
有2种调整方式
CDA：
CDA,
CAD,ACD.ADC,
DCA
DAC
有2种调整方式
DEA：
DEA,
DAE,EDA,EAD,
ADE,
AED,
有2种调整方式
DEB：
DEB,
DBE,EDB,EBD,
BDE,
BED,
有2种调整方式
DEC：
DEC,
DCE,CED,CDE,
DCE,
DEC,
有2种调整力•式
恰有3人调整工作的种数：
2xl0=20（种）［P；（寿-*=20）］
3求恰有4人调换工作的种数：
从5人中选4人的组合数为C；=5,这10组及它们的排列数与工作调整的方式数分别如下:
ABCD<
BCDES
ABCD：
BCDA：
CDAB：
DABC：
BCDE：
CDEB：
DEBC：
EBCD：
ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCBl
BCDA,
CDAB,
DABC,
BCAD,
CDBA.
DACB,
BACD,BADC,BDCA,BDAC
CADB,CABD,CBDA,CBAD
DBAC,DBCA,DCAB.DCBA
有9种调整方式
CDEA<
CDEA：
DEAC：
EACD：
ACDE：
DEAB《
EABC《
DEAB：
EABD：
ABDE：
BDEA：
EABC：
ABCE：
BCEA：
CEAB：
BCDE,
BCED,
BDEC,
BDCE,
BECD,
BEDC
CDEB.
CDBE,
CBDE,
CBED,
CEDB,
DCBE,
CEBD
厂有9种调整方式
DEBC,
DECB,
DBCE,
DBEC,
DCEB
EBCD,
EBDC,
ECBD,
ECDB,
EDBC,
EDCB
CDEA,
CDAE,
CADE,
CAED,
CEAD,
CEDA
DEAC,
DECA,
DACE.
DAEC,
DCAE,
DCEA
EDCA
，有9种调整方式
EACD,
EADC,
ECAD.
ECDA,
EDAC,
ACDE,
ACED,
ADCE,
ADEC,
AECD,
AEDC
DEAB,
DEBA,
DABE,
DAEB,
DBAE,
DBEA
EABD,
EADB,
EBAD,
EBDA,
EDAB,
EDBA
，有9种调整方式
ABDE,
ABED,
ADBE,
ADEB,
AEBD,
AEDB
BDEA,
BDAE,
BADE,
BAED,
BEAD,
BEDA
EABC,
EACB,
EBAC,
EBCA,
ECAB,
ECBA
ABCE,
ABEC,
ACBE,
ACEB,
AEBC,
AECB
►
有9种调整方式
BCEA,
BCAE,
BAEC,
BACE,
BEAC,
BECA
CEAB,
CEBA,
CABE,
CAEB,
CBAE,
CBEA
•
恰有4人调换工作的种数:
9x5=45（种）［P；（寿-£+§=45）］
BCDEA：
BCDEA,
BCDAE,
BCADE,
BCAED,
BCEAD,
BCEDA
Bxxxx-
BDEAC：
BDEAC,
BDECA,
BDACE,
BDAEC.
BDCAE.
BDCEA
BEACD：
BEACD,
BEADC,
BECAD.
BECDA.
BEDAC,
BEDCA
BACDE：
BACDE,
BACED,
BADCE,
BADEC,
BAECD,
BAEDC
C换任A的工作的排列：
CDEAB：
CDEAB,
CDEBA,
CDABE,
CDAEB,
CDBAE,
CDBEA
CEABD：
CEABD,
CEADB.
CEBAD,
CEBDA,
CEDAB,
CEDBA
1XXXX
CABDE：
CABDE,
CABED,
CADBE,
CADEB,
CAEBD,
CAEDB
CBDEA：
CBDEA,
CBDAE,
CBADE,
CBAED,
CBEAD,
CBEDA
D换任A的工作的排列：
DEABC：
DEABC,
DEACB,
DEBAC,
DEBCA,
DECAB,
DECBA、
Dxxxx<
DABCE：
DABCE,
DABEC,
DACBE,
DACEB,
DAEBC,
DAECB
DBCEA：
DBCEA,
DBCAE.
DBAEC.
DBACE,
DBEAC,
DBECA
DCEAB：
•
DCEAB,
DCEBA,
DCABE,
DCAEB,
DCBAE,
DCBEA
E换任A的工作的排列：
rEABCD：
EABCD,
EABDC,
EACBD,
EACDB,
EADBC.
EADCB
Exxxx*
EBCDA：
EBCDA,
EBCAD.
EBACD,
EBADC,
EBDCA,
EBDAC
ECDAB：
ECDAB,
ECDBA,
ECADB,
ECABD,
ECBDA,
ECBAD
EDABC：
EDABC,
EDACB,
EDBAC,
EDBCA,
EDCAB,
EDCBA
④求恰有5人调换工作的种数:
B换任A的工作的排列:
H种调整方式
11种调整方式
11种调整方式
11种调整方式
恰有5人调换工作的种数共有34=44（种）踞*§-§=44］
故后至少有2人与原来工作不同工作的调整方法的种数是：
10+20+45+44=119（种）
三、解答题
（17）
在二项式（折-士）”的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列
求展开式的第四项；
求展开式的常数项；
求展开式中各项的系数和，
（ID
（III）
二项式（折-
“II—矿[矿
S=c：
（x）亍（-方寸尸=（-*ye#"3",尸=o,i,z3,…,〃
〃[=8
“2=1（舍去）
由已知得：
（*V，G）c：
（|）2C;成等差数列
2xlc'=l+|c„2,/z=l+^pl2,n2-972+8=0,解得＜
（I）7＞（-*）3%宇=—；、^^二—7盘
（ID由7；h=（一；）'C：
x宇知：
当生二=U^=0,即r=4时，7；为常数项
7；=（-l）4C"=—x^-Z2S^=2^.
52；8164!
8
（III）令工=1,则展开式的各项（也即各项系数）为：
（一*）。
C?
（一事C；,（一*）2C：
（—?
）3C；,（一（一!
）知,（一步C：
（一步亡,（一*）七；
各项系数和为：
（一尉c?
+（-b'c'+（-|）2c；+（一|）3c/+（—*七:
+（-*七；+（一+（-l）7c；+（-：
）七;
=r°-Ir^-C2-lr3+—C4C3+—C2一c」〔.C°
%28488a16832g648128g2568
=1_4+7_7+2-2+-L一±+^-=^~
841616256256
（18）设有编号为】，2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内
（I）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？
（II）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
（III）每个盒子内投放一球，并旦至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？
解（I）从5个盒子中任选4个来放球（其中的任1个盒放2个球），有P；种选法；从5个球中任选2个球（不分先后）的选法有C；,故盒子的P；种选法中的每一种都有C；种放球的方法。
因此投放方法种数为：
5x/[
（?
泌=F、5x4x3x2=1200（种）
（ID5个球的全排列中减去球号与盒号相同的一种排列即为所求：
P；—1=119（种）
（III）1,2,3,45五个球分别放在1,2,3,45五个盒子中，则球的球的编号与盒子编号全部相同；
1,2,3,4,5五个球分别放在2,134,5五个盒子中，则有2个球的编号与盒子编号不相同。
所以
球号与盒号相同度情况分类如下：
1111
1没有相同的（也即5个全部不同），后*（至-+-）=44种[参考第（16）题分析];
2有1个相同（也即有4个不同），有度（*—=+*=45种；
3有2个相同（也即有3个不同），有/>2xl=10种；
4有3个相同（也即有2个不同），有/>\1-1）=20种；
5有5个相同（也即没有不相同的），有^°xl=l种；
VZ•
本小题求的是③、④、⑤这三类的相同数这种之和，或者说是①〜⑤各类的总数减去①〜②
二类之和。
因此，如每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的投放方法的种数是：
10+20+1=31（种）或罗-44-45=31（种）
（19）掷三颗骰子，试求：
（I）没有一颗骰子出现1点或6点的概率;
（II）恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率。
1_
解设A,表示第i颗骰子出现1点或6点，i=l,2,3，则A,互相独立，P（4）=z，4与A之间也互相独立。
2228
（I）尸0瓦瓦）=P0）P（瓦）P（瓦）=［1"（4）］［（1一户（盅）】［（1一尸（4）］=孑守彳=万
（II）掷一颗骰子出现】点或6点的概率为P,将掷三颗骰子看作掷一颗骰子三次，根据公式⑸
4（k）=CF（l—P）i,可知恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率是：
/>
（1）=C»P*（1-P）3-1=3X1X（1-1）2=
也可以这样解：
设A,表示“第i颗骰子出现1点或6点”，D表示“恰好一颗骰子出现1点或6点〉则
D=A]A?
A3+A1A?
A3+A1A2A3,因A]AzA3,AiA2A3,AjA2A3互斥，故
P（D）=P（A]A2A3+A1A2A3+A1A?
AJ
=P（A,A2As）+P（AiA2A3）+P（AiA2A3）
=P（Aj）P（A2）P（A3）+P（瓦）P（A2）P（A3）+P（A,）P（A2）P（A3）
=3x-x（-）-JJ
=4
=9
（20）已知A={x|l（I）从集A及B中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？
（II）从A\JB中取出三个不同元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数共有多少个？
（III）从集A中取一个元素，从B中取三个元素，可以组成多少个无重复数字旦比4000大的自然数.
解A={3,4,5,6,7},B={4,5,6,7,8},AUB={3,4,5,6,7,8"Af）B={4,5,6,7},
（I）从集人及8中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标组成不同的点，就是从集合AUB中任选2个元素排列分别作点的坐标组成点与从集合AAB中任选1个元素既作x坐标又作y坐标组成点，所求不同的点的点数为：
於+4=34（个）
（II）三个不同元素组成三位数有6个，其中从左到右的数字要逐渐增大的三位数只有1个,故所求三位数的个数是：
生=3=20（人），345,346,347,348,356,357,358,367,368,378）
~6~=6="（456,457,458,467,468,478,567,568,578,678」
（III）①A中取3,而3不能排头，只能排在第二、三、四位，即有3种（活）站位；8中5选3,有P；种选法.故人中取元素3,B中取三个元素的取法有种；
②A中分别取4,5,5,6,7,则B中不能取4,5,5,6,7,A中可取的元素与B中可取的元素总是456,7,8。
从4,5,6,7,8中任取4个元素的排列是P；
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