九年级数学特殊平行四边形同步练习.docx

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九年级数学特殊平行四边形同步练习

3.2特殊平行四边形

（时间100分钟满分：

100分）

教材跟踪训练

（一）填空题（共16分）

1.（2分）矩形除了具备平行四边形的性质外，还有一些特殊性质：

四个角，对角线.

2.（1分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若，则.

3.（1分）已知菱形一个内角为，且平分这个内角的一条对角线长为8cm，则这个菱形的周长为.

4.（3分）矩形的两条对角线把这个矩形分成了四个三角形.菱形的两条对角线把这个菱形分成了四个三角形.正方形的两条对角线把这个正方形分成了四个三角形.

5.（2分）如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L”型图案，则,.

6.（2分）正方形的边长为，则它的对角线长，若正方形的对角线长为，它的边长为.

7.（1分）边长为的正方形，在一个角剪掉一个边长为的正方形，则所剩余图形的周长为.

8.（4分）顺次连接四边形各边中点，所得的图形是.顺次连接对角线的四边形的各边中点所得的图形是矩形.顺次连接对角线的四边形的各边中点所得的四边形是菱形.顺次连接对角线的四边形的各边中点所得的四边形是正方形.

（二）选择题（每小题2分，共14分）

1.正方形具备而菱形不具备的性质是（）

A.对角线互相平分B.对角线互相垂直

C.对角线相等D.每条对角线平分一组对角

2.下列命题是真命题的是（）

A.有一个角是直角的四边形是矩形B.有一组邻边相等的四边形是菱形

C.有三个角是直角的四边形是矩形D.有三条边相等的四边形是菱形

3.从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（）

A.B.C.D.

4.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）

①平行四边形②菱形③等腰梯形④对角线互相垂直的四边形

A.①③B.②③C.③④D.②④

5.在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一个点，使该点到各顶点距离相等的图形是（）

A.平行四边形和菱形B.菱形和矩形C.矩形和正方形D.菱形和正方形

6.矩形的边长为10cm和15cm，其中一个内角的角平分线分长边为两部份，这两部份的长为（）

A.6cm和9cmB.5cm和10cmC.4cm和11cmD.7cm和8cm

7.如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，AFBE于点F，交BD于点G，则下述结论中不成立的是（）

A.AG=BEB.△ABG≌△BCEC.AE=DGD.∠AGD=∠DAG

（三）解答题（每小题3分，共21分）

1.已知：

如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.

求证：

四边形CEDF是正方形.

2.已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.

求证：

四边形AEDF是菱形.

3.求证：

顺次连接一个等腰梯形的各边中点，所得到的四边形是菱形.

4.如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点.

（四）求证：

FM⊥DE.

5.如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P.

求证：

AP＝AB.

6.如图，已知点F是正方形ABCD的边BC的中点，CG平分∠DCE，GF⊥AF.

求证：

AF=FG.

7.菱形周长为40cm，它的一条对角线长10cm.

⑴求菱形的每一个内角的度数.

⑵求菱形另一条对角线的长.

⑶求菱形的面积.

综合应用创新

（一）学科内综合题（共14分）

1.（1分）矩形的对角线相交构成的钝角为120°，短边等于5cm，则对角线的长为.

2.（1分）菱形的面积为24cm2，边长为5cm，则该菱形的对角线长分别为.

3.（2分）已知中对角线AC的垂直平分线交AD于点F，交BC于点E.

求证：

四边形AECF是菱形.

证明：

∵EF是AC的垂直平分线（已知）

∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）.

老师说小明的解答不正确

⑴你能找出小明错误的原因吗？

请你指出来.

⑵请你给出本题的证明过程.

4.（3分）如图，四边形ABCD是一个正方形.

⑴请你在平面内找到一个点O，并连接OA、OB、OC、OD使得到△OAB、△BOC、△COD、△OAD都是等腰三角形.

⑵这样的点，你能找到多少个？

⑶试写出你找到的等腰三角形的顶角的度数.

5.（5分）已知，对角线AC、BD相交于点O.

⑴若AB=BC，则是.

⑵若AC=BD，则是.

⑶若∠BCD=90°，则是.

⑷若OA=OB，且OA⊥OB，则是.

⑸若AB=BC，且AC=BD，则是.

6.（2分）如图，已知AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE交BD、BC于点E、F，AC、BD相交于点O.

求证：

OF＝CE.

（二）综合创新应用题（共14分）

1.（2分）⑴四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图1所示.它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13.每个直角三角形两直角边的和为5，求中间小正方形的面积.

⑵现在一张长为6.5，宽为2的纸片，如图2，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形.（要求：

先在图2中画出分割线，再画出拼成的正方形草图并标明相应数据）

2.（3分）请你画出把下列矩形的面积两等分的直线，并且根据你所画的直线回答下列问题.

⑴在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有多少条？

它们必须都经过哪个点？

⑵你认为还有具有这个性质的四边形吗？

如果有，请你找出来.

⑶你认为具有此性质的四边形应该具有什么特征的四边形呢？

3.（3分）木匠师傅要检查一下一扇窗是否是矩形的，可是他身上只带一把卷尺，你能说明一下木匠师傅可以用什么样的方法进行检验吗？

请你说明这样操作的依据是什么？

4.请阅读如下材料.（共3分）

如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD于点O，E是AC上一点，AG⊥BE，垂足为G.求证：

OE=OF.

证明：

∵四边形ABCD是正方形.

∴∠BOE=∠AOF=90°,且OA=OE.

又∵AG⊥BE，∴∠1+∠3＝90°＝∠2+∠3，即∠1＝∠2.

∴Rt△BOE≌Rt△AOF,∴OE=OF.

⑴（2分）根据你的理解，上述证明思路的核心是利用使问题得以解决，而证明过程中的关键是证出.

⑵（1分）若上述命题改为：

点E在AC的延长线上，AG⊥BE交EB的延长线于点G，延长AG交DB的延长线于点F，如图，其他条件不变.

求证：

OA=OE.

5.（3分）某乡镇四个村庄A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划由四个村庄联合架设一条线路，现设计了四种架设方案.如图中实线部分，请你帮助计算一下，哪种方案最省电线.

（三）中考模拟题（共12分）

1.（6分）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行.

⑴先截出两对符合规格的铝合金窗（如图①）使AB＝CD，EF＝GH；

⑵摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学是：

；

⑶将直角尺靠窗框一个角（如图3）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4）说明窗框合格.这是窗框是形.根据的数学道理是：

.

2.（1分）如图，的对角线交于点O，且ADCD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，如果△CDM的周长为，那么平行四边形ABCD的周长是.

3.（2分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别是AB和AD上的点.已知CE⊥BF，垂足为点M.

求证：

⑴∠EBM=∠ECB；⑵EB=AF.

4.（2分）如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9cm，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为和.

5.（2分）已知在矩形ABCD中，E为DC边上一点BF⊥AE于点F，且BF＝BC.

求证：

AE＝AB.

6.（2分）已知菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF.

求证：

⑴△ABE≌△ADF；⑵∠AEF=∠AFE.

7.（6分）如图，把边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形.请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形.（全部用上，互不重叠且不留空隙）并把你的拼法依照图1按实际大小画在方格纸内（方格纸为1×1）.

⑴不是正方形的菱形（一个）；

⑵不是正方形的矩形（一个）；

⑶梯形（一个）；

⑷不是矩形和菱形的平行四边形（一个）；

⑸不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）；

⑹与以上画出四边形不全等的凸四边形（画出的图形互不全等，能画几个画几个，至少三个）.

3.2特殊平行四边形

教材跟踪训练参考答案

（一）填空题

1.都是直角，相等2.40°3.32cm

4.等腰，直角，等腰直角5.90°，45°6.，7.8.平行四边形，互相垂直，相等，互相垂直且相等

（二）选择题

1.C2.C3.C4.D5.C6.B7.D

（三）解答题

1.∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°

又∵∠ACB＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴矩形DECF是正方形.

2.∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA=∠FAD，∵∠EAD=∠FAD，∴∠EAD=∠EDA,∴EA=ED，∴AEDF是菱形.

3.提示：

运用三角形中位线定理及等腰梯形两对角线相等.

4.连接MD、ME.∵Rt△CBD中M为BC的中点，∴MD＝BC，∵Rt△CBE中M为BC的中点，∴ME＝BC，∴MD=ME，∵F是DE的中点，∴FM⊥DE.

5.提示：

延长CF、BA交于点M，先证△BCE≌△CDF，得BE=CF.

再证：

△CDF≌△AMF得BA＝MA，由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，可得Rt△MBP中AP=BM，即AP=AB.

提示：

取AB的中点M,连接FM，由∠FAM=∠GFC，AM=FC，∠AMF=∠FCG=135°，可证△FAM≌△GFC，即得AF=FG..

7.⑴60°和120°

⑵另一条对角线长10cm

⑶菱形面积为50cm2

综合应用创新

（一）学科内综合题

1.10cm2.6cm和8cm

3.⑴小明错在AC和EF并不是互相平分的，EF垂直平分AC，但AC并不平分EF，需要通过证明得出.

⑵∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠FAC＝∠ECA.

在△AOF与△COE中

∴△AOF≌△COE，∴EO=FO

∴四边形AECF是菱形.

4.⑴如图所示，九个黑点就是所求的点

⑵这样的点共有九个

⑶这些等腰三角形的顶角可能是30°，60°，90°，150°

5.⑴菱形⑵矩形⑶矩形⑷正方形⑸正方形

6.提示：

取AE的中点M连接OM，则OM＝CE,再证△OFM是等腰三角形，那得OF＝CE.

（二）综合创新应用题

1.⑴设直角三角形的长边为，短边为，则解之得，∴小正方形的面积为.

⑵如图所示.

2.⑴有无数条，它们必须都经过对角线的交点.

⑵正方形、菱形、平行四边形也都是具有这种性质的四边形.

⑶具有此性质的四边形就是中心对称图形的四边形.（答成都是平行四边形也可以）

3.提示：

可以先用卷尺测量一下这个四边形的两组对边是否相等，如果相等，那么这个四边形就是平行四边形，再用卷尺测量这个四边形的两条对角线是否相等，如果相等那么这个平行四边形就是矩形.

4.⑴三角形全等，∠1＝∠2

⑵∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOF＝∠BOE＝90°