计算方法与误差 实验报告.docx

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计算方法与误差实验报告

方程求根—牛顿迭代法

摘要

通过对牛顿迭代法的编程练习，掌握方程求根的牛顿迭代法的算法，进一步体会牛顿迭代法的特点。

关键字：

牛顿迭代；方程求根；编程；运算次数

1、算法

流程图：

算法：

用迭代法的结构，增设4个工作单元F0,F0’,F1,F1’，并把用作终止迭代的误差控制改为两个|x1-x0|

1.1、准备：

选定初始值x0,计算F0=f（x0）;F0’=f’（x0）,如果F0’=0，则输出“方法失败”并结束。

1.2、迭代：

对k=1,2,…,N，做：

1）x1=x0-F0/F0’，

2）计算F1=f（x1）;F1’=f’（x1）

3）若F1’=0，则输出“方法失败”并结束。

1.3、控制：

若|x1-x0|

1.4、k>N时输出“经N次迭代无满足要求的近似解”结束。

2、实验步骤

1）完成牛顿迭代法的程序设计及录入；

2）完成程序的编译和链接，并进行修改；

3）用书上的例子对程序进行验证，并进行修改；

4）分别输入两组不同的根的误差限，观察运算次数的变化；

5）分别取不同的初时值x0，观察运算结果的变化；

6）完成实验报告。

3、实验结果

3.1、经编译、链接及例子验证结果正确的源程序：

#include

#include

#defineN100

#defineeps5e-6

#definedelta1e-6

voidmain（）

{

floatx0,x1,d,f1;

intk=0;

printf（"请输入迭代初值x0:

"）;

scanf（"%f",&x0）;

printf（"x（0）=%f\n",x0）;

do

{

x1=x0-（x0*x0*x0+x0*x0-3*x0-3）/（3.0*x0*x0+2*x0-3）;

if（k++>N||fabs（3.0*x1*x1+2*x1-3）

{

printf（"\n发散"）;

break;

}

d=fabs（x1）<1?

x1-x0:

（x1-x0）/x1;

x0=x1;

printf（"x（%d）=%f\t",k,x0）;

}

while（fabs（d）>eps&&fabs（x1*x1*x1+x1*x1-3*x1-3）>delta）;

printf（"方程的根为：

%f\n",x1）;

}

3.2、实例验证结果：

1）方程：

f（x）=x3+x2-3x-3=0

2）输入初始参数：

x0=1,EPS=1e-6

3）结果输出：

请输入迭代初值x0:

1.0

x（0）=1.000000

x

（1）=3.000000

x

（2）=2.200000

x（3）=1.830151

x（4）=1.737795

x（5）=1.732072

x（6）=1.732051

方程的根为：

1.732051

Pressanykeytocontinue

3.3、改变初值x0的值为：

x0=1.5,EPS不变，仍为1e-6，其结果为：

请输入迭代初值x0:

1.0

x（0）=1.000000

x

（1）=3.000000

x

（2）=2.200000

x（3）=1.830151

x（4）=1.737795

x（5）=1.732072

x（6）=1.732051

方程的根为：

1.732051

Pressanykeytocontinue

3.4、改变初值x0的值为：

x0=0.1,EPS不变，仍为1e-6，其结果为：

请输入迭代初值x0:

0.1

x（0）=0.100000

x

（1）=-1.087365

x

（2）=-0.989802

x（3）=-0.999899

x（4）=-1.000000

方程的根为：

-1.000000

Pressanykeytocontinue

3.5、改变EPS的值为：

EPS=5e-4,x0不变，仍为1，其结果为：

请输入迭代初值x0:

1.0

x（0）=1.000000

x

（1）=3.000000

x

（2）=2.200000

x（3）=1.830151

x（4）=1.737795

x（5）=1.732072

x（6）=1.732051

方程的根为：

1.732051

Pressanykeytocontinue

3.6.改变EPS的值为：

EPS=1e-3,x0不变，仍为1，其结果为：

请输入迭代初值x0:

1.0

x（0）=1.000000

x

（1）=3.000000

x

（2）=2.200000

x（3）=1.830151

x（4）=1.737795

x（5）=1.732072

方程的根为：

1.732072

Pressanykeytocontinue

4、分析和讨论

1.输入不同的初值x0，迭代次数的变化情况

答：

初值X0越大，迭代的次数越多

2.输入不同的误差限EPS，迭代次数的变化情况

答：

随着误差限EPS的增大，迭代次数会相应的减少。

5、心得

①调试过程中遇到的问题和解决对策；②经验体会等。

答：

通过实验进一步了解牛顿迭代法的计算特点，从而使我对牛顿迭代的知识了解更深。

方程求根——二分法

摘要

通过对二分法的编程练习，掌握方程求根的二分法的算法，进一步体会二分法的特点。

关键词：

求根；二分法；编程；估算次数

1、算法

流程图：

1）准备：

计算f（x）在有根区间[a,b]端点处的值f（a）,f（b）。

2）二分：

计算f（x）在区间中点c=

处的函数值f（c）。

3）判断

•若f（c）与f（a）异号，则根位于区间[a,c]内，以c代替b；

•若f（c）与f（a）同号，则根位于区间[c,b]内，以c代替a；

反复执行步2和步3，直到区间[a,b]长度缩小到允许误差范围之内或f（c）=0，此时区间中点c即可作为所求的根。

2、实验步骤

1）完成二分法的程序设计及录入；

2）完成程序的编译和链接，并进行修改；

3）用书上的例子对程序进行验证，并进行修改；

4）对比估算次数与实际二分次数；

5）输入不同的区间初值a,b，查看二分次数的变化；

6）输入不同的误差限，查看二分次数的变化；

7）完成实验报告。

3、实验结果

3.1经编译、链接及例子验证结果正确的源程序：

#include

#include

#defineeps5e-6

#definedelta1e-6

voidmain（）

{

floata=1,b=2,fa,fb,fab,c,fc;

intn=1;

fa=a*a*a+a*a-3*a-3;

fb=b*b*b+b*b-3*b-3;

fab=fa*fb;

while

（1）

{

if（fab>0）

{

printf（"不能使用二分法"）;

break;

}

c=（a+b）/2;

fc=c*c*c+c*c-3*c-3;

if（fabs（fc）

elseif（fa*fc<0）{b=c;fb=fc;}

else{a=c;fa=fc;}

if（b-a

printf（"%d\t%f\t%f\n",n++,c,fc）;

}

printf（"\n方程的根是：

%f",c）;

}

3.2、实例验证结果：

1）方程：

f（x）=x3+x2-3x-3=0

2）输入初始参数：

a=1,b=2,EPS=5e-6

3）结果输出：

1.改变a,b的值为：

a=0,b=2,EPS不变，仍为5e-6，其结果为：

4.改变EPS的值为：

EPS=5e-4,a,b不变，仍为a=1,b=2，其结果为：

4、分析和讨论

1.估算次数与实际二分次数的分析和讨论

答：

估算的次数与实际二分次数相等,即估算好多次,就二分了好多次

2.输入不同的区间初值a,b，二分次数的变化情况

答：

输入的区间范围越大，要达到相同的精确值，二分次数会相应的增加

3.输入不同的误差限EPS，二分次数的变化情况

答：

随着误差限EPS的增大，二分次数会相应的减少。

5、心得

①调试过程中遇到的问题和解决对策；②经验体会等。

答：

通过二分计算在电脑中的演示更一步了解了二分法的特点:

用对分区间的方法根据分点处函数f（x）值的符号逐步将有根区间缩小,使在足够小的区间内,方程有且仅有一个根.二分法收敛速度较慢,在编程过程中，对变量的定义采用哪种类型，主要是对条件的判断做准确分析，对中断条件的准确把握，在调试过程中，对k值采用哪种类型的定义。

对k值的输出有很大关系，

曲线拟合—最小二乘法

摘要

了解最小二乘法的基本原理，熟悉最小二乘算法；掌握最小二乘进行曲线拟合的编程，通过程序解决实际问题。

关键词：

曲线拟合；最小二乘法；拟合次数

1、算法

1）输入数据节点数n，拟合的多项式次数m，循环输入各节点的数据xj,yj（j=0,1,…,n-1）

2）由xj求S；由xj,yj求T：

Sk=

（k=0,1,2,…2*m）

Tk=

（k=0,1,2,…m）

3）由S形成系数矩阵数组ci,j：

c[i][j]=S[i+j]（i=0,1,2,…m,j=0,1,2,…,m）；由T形成系数矩阵增广部分ci,m+1：

c[i][m+1]=T[i]（i=0,1,2,…m）

4）对线性方程组CA=T[或

]，用列主元高斯消去法求解系数矩阵A=（a0,a1,…,am）T

2、实验步骤

1）完成最小二乘法进行曲线拟合的程序设计及录入、编辑；

2）完成程序的编译和链接，并进行修改；

3）用书上P105例2的例子对程序进行验证，并进行修改；

4）用完成的程序求解下面的实际问题。

5）完成实验报告。

3、实验结果

3.1、经编译、链接及例子验证结果正确的源程序：

#include

#defineN10

#defineM20

#defineDELTA1e-7

#include

voidmain（）

{

intn,m,i,j,S;

intk=0;

floatx[N],y[N],s[2*M]={0},t[M]={0},c[M+1][M+2],z[M],A,q,sum=0;

doublel;

printf（"输入数据节点数n:

"）;

scanf（"%d",&n）;//输入n

printf（"拟合的多项式次数m:

"）;

scanf（"%d",&m）;//输入m

printf（"x[i]:

"）;

for（i=0;i

{

scanf（"%f",&x[i]）;//输入x[i]

}

printf（"y[i]:

"）;

for（i=0;i

{

scanf（"%f",&y[i]）;//输入y[i]

}

printf（"\n"）;

/*-------------------

求s,t

-----------------------*/

for（i=0;i<=2*m;i++）

{

for（j=0;j

{

s[i]=s[i]+pow（x[j],i）;

}

}

for（i=0;i<=m;i++）

{

for（j=0;j

{

t[i]=t[i]+y[j]*pow（x[j],i）;

}

}

for（i=0;i<=m;i++）

{

for（j=0;j<=m;j++）

{

c[i][j]=s[i+j];

}

c[i][m+1]=t[i];

}

/*输出c[i][j]*/

for（i=0;i<=m;i++）

for（j=0;j<=m+1;j++）

{

printf（"%-10.0f",c[i][j]）;

if（j==m+1）

printf（"\n"）;

}

/*用高斯列主元解方程*/

for（j=k,S=k;j

{

A=fabs（c[k][k]）;

for（i=k;i

{

if（A

{

A=fabs（c[i][j]）;S=i;//找出每列最大数

}

}

if（A

{printf（"A奇异，结束程序."）;break;}

if（S!

=k）

{

for（j=k;j<=m+1;j++）

{

q=c[k][j];c[k][j]=c[S][j];c[S][j]=q;//将最大数所在行与第K行的数交换

}

}

for（i=k+1;i<=m;i++）

{

j=k;

l=c[i][j]/c[k][j];//计算消元因子

for（j=k;j<=m+1;j++）

c[i][j]=c[i][j]-l*c[k][j];

}

for（i=0;i

for（j=0;j<=m+1;j++）

{

printf（"%-15f",c[i][j]）;//输出中间过程

if（j==m+1）

printf（"\n"）;

}

j=k;printf（"\n"）;

}

/*回代*/

if（fabs（c[m][m]）

printf（"A奇异，结束程序"）;

else

{

z[m]=c[m][m+1]/c[m][m];

printf（"z[%d]=%-11f\n",m+1,z[m]）;

for（i=m-1;i>=0;i--）

{

for（j=i+1,sum=0;j<=m;j++）

sum=sum+c[i][j]*z[j];

z[i]=（c[i][m+1]-sum）/c[i][i];

printf（"z[%d]=%-11f\n",i+1,z[i]）;

}

}

/*计算误差*/

floatp=0,d,e=0;;

for（i=0;i

{

p=z[0];

for（j=1;j<=m;j++）

{

d=pow（x[i],j）;

p+=d*z[j];

}

e+=（p-y[i]）*（p-y[i]）;

}

printf（"\n误差计算为：

%f.\n",e）;//输出误差

}

3.2、实例验证结果：

1）输入初始参数：

n=9，m=2

X：

1345678910

Y：

1054211234

2）结果输出：

4、实际应用

问题：

作物体运动的观测实验，得出以下实验测量数据，用最小二乘拟合求物体的运动方程。

时间t（秒）

0

0.9

1.9

3.0

3.9

5.0

距离s（cm）

0

10

30

50

80

110

解题步骤：

1）画草图

2）确定拟合方程次数为1：

用完成的程序输入数据，求取拟合方程中的未知数，得出方程：

f（x）=-7.855058+22.253763*x

计算误差：

答：

误差为209.858978

3）确定拟合方程次数为2：

用完成的程序输入数据，求取拟合方程中的未知数，得出方程：

f（x）=-0.583343++11.081374*x+2.248814*（x^2）

计算误差：

答：

误差为23.292877

5、分析和讨论

1.结合实际问题，进行拟合次数的分析和讨论：

答：

通过实验M值取1—9的时候。

m=8的误差最小为0.000015。

m继续增加会使得误差增大。

所以做最小二乘法时应取适当的m值,可以多次实验，去验证最合适的拟合次数。

6、心得

①调试过程中遇到的问题和解决对策；②经验体会等。

答：

编程过程中用到的for循环很多，很容易忘记打大括号，而且在循环输入数组时，加上大括号才对，这个问题没有想通，就数组输入的地方那调试了很久才弄出来。