第25讲巧用乘法原理与加法原理解题.docx

第25讲巧用乘法原理与加法原理解题.docx

《第25讲巧用乘法原理与加法原理解题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第25讲巧用乘法原理与加法原理解题.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第25讲巧用乘法原理与加法原理解题

第25讲巧用乘法原理与加法原理解题

巧点晴——方法和技巧

乘法原理：

如果完成一件事需要n个步骤，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法…做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有m1×m2×…×mn种方法。

由于上述的各个步骤彼此互不影响，因此各个步骤安排的先后顺序不同并不影响结果。

这就使我们可以选择适当顺序来研究它们，以使问题简便地得到解决。

加法原理：

如果所要计数的对象有n类，第一类有m1种，第二类有m2种…第n类有mn种，那么这些对象总计有m1＋m2＋…＋mn种。

应用加法原理的关键是将所有计数的对象依据同一标准，分为不重、不漏的若干类。

巧指导——例题精讲

A级冲刺名校·基础点晴

【例1】王芳、小华、小花三人约好每人报名参加学校运动的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项比赛中的一项，问报名的结果会出现多少种不同情形？

分析三人报名参加比赛，彼此不受影响，可看做分三步完成。

首先王芳报名，她可以报四个项目的任何一项，有4种不同情形；再由小华报名，仍可报四项中的任何一项，也有4种不同情形；最后小花报名，同样有4种不同情形；再由小华报名，仍可报四项中的任何一项，也有4种不同情形；最后小花报名，同样有4种不同情形。

根据乘法原理，共有不同情形

4×4×4=64（种）

做一做有5件不同的上衣，3条不同的裤子，4顶不同的帽子，从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束，最多有多少种不同的装束？

【例2】从3名男生、2名女生中选出优秀学生干部3人，要求其中至少有一名学生，一共有多少种不同选法？

分析与解所有不同的选法可以分为两类：

第一类是恰好选出一名女生；第二类是选出两名女生。

第一类的选法可以分两步：

首先从2名女生中选出1人，有2种选法；其次再从3名男生中选出2人，有3种选法。

根据乘法原理，第一类方法共有2×3=6（种）。

第二类的选法也可分两步：

首先从2名女生中选2名女生，只有唯一选法；再从3名男生中选出1名，有3种选法。

根据乘法原理，第二类方法共有1×3=3（种）。

当然，第二类方法也可以直接判断出来。

根据加法原理，共有6＋3=9（种）不同选法。

做一做23名男生、2名女生排成一行照相，女生不站两头，且女生站在一起，问有多少种不同站法。

【例3】用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少没有重复数字的三位数？

分析与解根据题意，百位上可取1，2，3，4这4个数字，有4种取法；百位数字确定后，十位上的数字可从余下四个数字中任取一个，有4种取法；个位数字从余下的三个数字中任取一个，有3种取法。

根据乘法原理，能组成4×4×3=48（个）没有重复数字的三位数。

做一做3有五张卡片，分别写着数字1,2,4,5,8。

现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，如123。

问：

可以组成多少个不同的偶数？

B级培优竞赛·更上层楼

【例4】地图上有A，B，C，D四个国家，如右图所示。

现用红、蓝、黄、绿四种颜料给地图染色，使相邻国家的颜色不同。

问：

有多少种不同的染色方法？

分析与解对于任一种符合要求的染色方案，

比如，A着红，B着绿，C着黄，D着红，可以看

做是按A，B，C，D的顺序着色的，也就是说第一步给A差红色，第二步给B着绿色，第三步给C着黄色，第四步给D着红色，所以我们可把给地图着色分成四个步骤。

第一步给A着色有4种选择；第二步给B着色，因A，B相邻，只有3种着色方法；第三步给C着色，C与A，B相邻，只能有2种方法；第四步给D着色，D与B，C相邻，也只有2种方法。

根据乘法原理，不同的染色方法共有

4×3×2×2=48（种）

做一做4如右图所示的地区内有六个国家，A，B，C，D，E，F，现对每个国家用红、黄、蓝、绿、紫这五种颜色中的一种进行着色，并使得相邻国家必须着不同颜色，那么一共有多少种不同的着色方法？

【例5】从1到400的所有自然数中，不含数字3的自然数有多少个？

分析从1到400的自然数可分为三类：

一位数、两位数和三位数。

一位数中不含数字3的有72个。

这是因为十位上的数字有1，2，3，5，6，7，8，9这样8种取法，个位上的数字有1，2，4，5，6，7，8，9，0这种9种取法，根据乘法原理应有不含数字3的两位数8×9=72（个）

三位数中不含数字3的有163个。

除去400外，因百位上有1，2两种取法，十位上与个位上均有0，1，2，4，5，6，7，8，9这样9种取法，根据乘法原理，百位是1，2而十位和个位均不含3的三位数共有

2×9×9=162（个）

根据加法原理，从1到400自然数中不含数字3的有

8＋72＋163=243（个）

这道题还可以这样考虑：

把一位数前面添两个零，两位数前面添一个零，比如2写成002，45写成045，这样一来全变成了“三位数”。

除去400外，考虑不含数字3的这样的“三位数”的个数。

百位上可以取0，1，2有3种情形，十位与个位均可以取0，1，2，4，，5，6，7，8，9，各有9种情形。

根据乘法原理，这样的数共在

3×9×9=243（个）

但是需要特别注意，数“000”不合要求，另外还需要补上符合要求的数字400，这样，恰好仍有243反而不含数字3的“三位数”，再重新删去添加在前面的零，得到的结果仍不变。

做一做5从1到1000自然数中，一共有多少个数字0？

【例6】从19，20，21……，92，93，94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？

解从19到94共计76个不同的整数，其中有38个奇数，38个偶数。

若选取两数之和为偶数，必须且只需选取的两个数有相同的奇偶性，所以选取的方法数分为两类：

第一类，选取两个不同偶数的方法数；第二类，选取两个不同奇数的方法数。

依加法原理，这两类方法数的总和即为所求的方法数。

第一类是从38个偶数中选取两个不同偶数的方法数，先取第一个偶数有38中方法，从其余37个偶数中选择第二个有37中方法，依乘法原理，共有（38×37）中不同的方法。

但注意选取第一个数比如30，选取第二个数比如32，与选第一个数32，再选第二个数30，是同一组，所以总的选法数应该折半，即共有

种不同的选法。

第二类是从38个奇数中选取两个不同奇数的方法数，与上述方法相同，也有

种不同的选法。

所以，选法总数是

+

=38×37=1406（种）

做一做6有大小两个正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6。

将两个正方体投掷在桌面上。

向上的一面数字之和为偶数的情形有多少种？

C级勇夺冠军

【例7】假如电子计时器所显示的十个数子是“0126093028”这样一串数，所表示的是1月26日9时30分28秒。

在这串数里，“0”出现了3次，“2”出现了2次，“1”、“3”、“6”、“8”、“9”各出现1次，而“4”、“5”、“7”没有出现。

如果在电子计时器所显示的这串数里，“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”、“7”、“8”、“9”这十个数字都只能出现一次，称它所表示的时刻为“十全时”，那么2003年一共有个这样的“十全时”。

解

（1）容易验证在1、2、10、11、12月内没有“十全时”。

（2）3月中只有形式0321□□符合条件。

其中两个方格中可以填入4或5，四条横线上可以填6、7、8、9中的一个，于是共有2×（4×3×2×1）=48（个）“十全时”。

同理4、5月内也分别各有48个“十全时”。

（3）6月里有两种形式符合条件：

061□□①,0621□□②

对于形式①，两个方格中可以填4或5，三条横线上可以填7或8或9，于是共有2×（3×2×1）=12（个）“十全时”。

形式②两个方格中可以填3或4或5中的任意两个数，三条横线上可以填7或8或9及3、4、5中余下的某一个数。

于是共有（3×2）×（4×3×2×1）=144（个）“十全时”。

所以6月里共有“十全时”12+144=156（个）。

同理7、8、9月内也分别各有156个“十全时”。

综上所述，2003年一共有48×3＋156×4=768（个）“十全时”。

做一做7在1，2，3……，100这100个自然数中，取两个不同的数，使得它们的和是7的倍数，共有种不同的取法。

巧练习——温故知新（二十五）

A级冲刺名校·基础点晴

1.四个好朋友去看电影，电影院有3个入口，他们进入电影院有多少种走法？

2.一次作文竞赛有20篇范文，老师要从中选出两篇寄到《小学生作文》杂志社去，有多少种选法？

3.从3，5，7，11，13，17这六个数中，取两个数构成真分数，这样的真分数有多少个？

4.12321，90009，41014有一共同的特征，它们倒过来还是原来的数。

这样的五位偶数有多少个？

5.从1到500的数中，不含数字0和1的数有多少个？

B级培优竞赛·更上层楼

6.将一个正方形分割成4个小正方形，用5种颜色染色，要求每个小正方形染同一种颜色，相邻（即有公共边的）小正方形染不同的颜色。

问：

有多少种不同的染色方法？

7.自然数115中含有两个数字1，那么从1到1000这1000个自然数中一共有多少个数字1？

8.数1447，1005，1231有一些共同的特征，它们都以1开头，含有两个相同数字，且都是四位数。

问：

这样的数共有多少个？

9.今有壹角币、贰角币、伍角币各1张，壹元币4张，伍元币2张，用这些纸币任意付款，可以付出多少种不同的金额？

10.在4000到7000之间有多少个四个数字均不相同的偶数？

C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军

11.如图，一块圆形的纸片分成4个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形，共有几种不同的涂法？

12.平面上有7个不同直线上的点，任意三点都不在同一直线上。

以这7个点为顶点作三角形，使得任何两个三角形至多只有一个公共顶点，问：

最多可以作出多少个满足条件的三角形？

13.李明有壹角人币4张，贰角人民币2张，壹元人民币3张。

如果李明从中至少取一张（至多取9张），那么他取出的总钱数可有多少种不同情形？

14.甲、乙两地相距999千米，沿路设有标志着距甲地及乙地路程的里程碑。

试问：

有多少个里程碑上只有两个不同的数码？

15.在8×8的棋盘上剪下一个由四方小方格组成的凸字形（如下图），有多少种不同的剪法？

巧总结

本节我的收获是：

。

不足之处有：

。