第25讲巧用乘法原理与加法原理解题.docx

1、第25讲巧用乘法原理与加法原理解题第25讲 巧用乘法原理与加法原理解题巧点晴方法和技巧乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有m1m2mn种方法。由于上述的各个步骤彼此互不影响，因此各个步骤安排的先后顺序不同并不影响结果。这就使我们可以选择适当顺序来研究它们，以使问题简便地得到解决。加法原理：如果所要计数的对象有n类，第一类有m1种，第二类有m2种第n类有mn种，那么这些对象总计有m1m2mn种。应用加法原理的关键是将所有计数的对象依据同一标准，分为不重、不漏的若干类。巧指导例题精讲A级 冲刺名校基础点晴【例1】王

2、芳、小华、小花三人约好每人报名参加学校运动的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项比赛中的一项，问报名的结果会出现多少种不同情形？分析 三人报名参加比赛，彼此不受影响，可看做分三步完成。首先王芳报名，她可以报四个项目的任何一项，有4种不同情形；再由小华报名，仍可报四项中的任何一项，也有4种不同情形；最后小花报名，同样有4种不同情形；再由小华报名，仍可报四项中的任何一项，也有4种不同情形；最后小花报名，同样有4种不同情形。根据乘法原理，共有不同情形444=64（种）做一做 有5件不同的上衣，3条不同的裤子，4顶不同的帽子，从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束，最多有多少种不同的装束？

3、【例2】从3名男生、2名女生中选出优秀学生干部3人，要求其中至少有一名学生，一共有多少种不同选法？分析与解 所有不同的选法可以分为两类：第一类是恰好选出一名女生；第二类是选出两名女生。第一类的选法可以分两步：首先从2名女生中选出1人，有2种选法；其次再从3名男生中选出2人，有3种选法。根据乘法原理，第一类方法共有23=6（种）。第二类的选法也可分两步：首先从2名女生中选2名女生，只有唯一选法；再从3名男生中选出1名，有3种选法。根据乘法原理，第二类方法共有13=3（种）。当然，第二类方法也可以直接判断出来。根据加法原理，共有63=9（种）不同选法。做一做2 3名男生、2名女生排成一行照相，女生

4、不站两头，且女生站在一起，问有多少种不同站法。【例3】用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少没有重复数字的三位数？分析与解 根据题意，百位上可取1，2，3，4这4个数字，有4种取法；百位数字确定后，十位上的数字可从余下四个数字中任取一个，有4种取法；个位数字从余下的三个数字中任取一个，有3种取法。根据乘法原理，能组成443=48（个）没有重复数字的三位数。做一做3 有五张卡片，分别写着数字1,2,4,5,8。现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，如1 2 3 。问：可以组成多少个不同的偶数？B级 培优竞赛更上层楼【例4】地图上有A，B，C，D四个国家，如右图所示。现用红、蓝、黄

5、、绿四种颜料给地图染色，使相邻国家的颜色不同。问：有多少种不同的染色方法？分析与解 对于任一种符合要求的染色方案，比如，A着红，B着绿，C着黄，D着红，可以看做是按A，B，C，D的顺序着色的，也就是说第一步给A差红色，第二步给B着绿色，第三步给C着黄色，第四步给D着红色，所以我们可把给地图着色分成四个步骤。第一步给A着色有4种选择；第二步给B着色，因A，B相邻，只有3种着色方法；第三步给C着色，C与A，B相邻，只能有2种方法；第四步给D着色，D与B，C相邻，也只有2种方法。根据乘法原理，不同的染色方法共有4322=48（种）做一做4 如右图所示的地区内有六个国家，A，B，C，D，E，F，现对每

6、个国家用红、黄、蓝、绿、紫这五种颜色中的一种进行着色，并使得相邻国家必须着不同颜色，那么一共有多少种不同的着色方法？【例5】 从1到400的所有自然数中，不含数字3的自然数有多少个？分析 从1到400的自然数可分为三类：一位数、两位数和三位数。一位数中不含数字3的有72个。这是因为十位上的数字有1，2，3，5，6，7，8，9这样8种取法，个位上的数字有1，2，4，5，6，7，8，9，0这种9种取法，根据乘法原理应有不含数字3的两位数89=72（个）三位数中不含数字3的有163个。除去400外，因百位上有1，2两种取法，十位上与个位上均有0，1，2，4，5，6，7，8，9这样9种取法，根据乘法原

7、理，百位是1，2而十位和个位均不含3的三位数共有299=162（个）根据加法原理，从1到400自然数中不含数字3的有872163=243（个）这道题还可以这样考虑：把一位数前面添两个零，两位数前面添一个零，比如2写成002，45写成045，这样一来全变成了“三位数”。除去400外，考虑不含数字3的这样的“三位数”的个数。百位上可以取0，1，2有3种情形，十位与个位均可以取0，1，2，4，5，6，7，8，9，各有9种情形。根据乘法原理，这样的数共在399=243（个）但是需要特别注意，数“000”不合要求，另外还需要补上符合要求的数字400，这样，恰好仍有243反而不含数字3的“三位数”，再重新

8、删去添加在前面的零，得到的结果仍不变。做一做5 从1到1000自然数中，一共有多少个数字0？【例6】 从19，20，21，92，93，94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？解 从19到94共计76个不同的整数，其中有38个奇数，38个偶数。若选取两数之和为偶数，必须且只需选取的两个数有相同的奇偶性，所以选取的方法数分为两类：第一类，选取两个不同偶数的方法数；第二类，选取两个不同奇数的方法数。依加法原理，这两类方法数的总和即为所求的方法数。第一类是从38个偶数中选取两个不同偶数的方法数，先取第一个偶数有38中方法，从其余37个偶数中选择第二个有37中方法，依乘法原理，

9、共有（3837）中不同的方法。但注意选取第一个数比如30，选取第二个数比如32，与选第一个数32，再选第二个数30，是同一组，所以总的选法数应该折半，即共有种不同的选法。第二类是从38个奇数中选取两个不同奇数的方法数，与上述方法相同，也有种不同的选法。所以，选法总数是+=3837=1406（种）做一做6 有大小两个正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6。将两个正方体投掷在桌面上。向上的一面数字之和为偶数的情形有多少种？C级 勇夺冠军【例7】 假如电子计时器所显示的十个数子是“0126 093 028”这样一串数，所表示的是1月26日9时30分28秒。在这串数里，“0”出

10、现了3次，“2”出现了2次，“1”、“3”、“6”、“8”、“9”各出现1次，而“4”、“5”、“7”没有出现。如果在电子计时器所显示的这串数里，“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”、“7”、“8”、“9”这十个数字都只能出现一次，称它所表示的时刻为“十全时”，那么2003年一共有 个这样的“十全时”。解 （1）容易验证在1、2、10、11、12月内没有“十全时”。（2）3月中只有形式032 1 符合条件。其中两个方格中可以填入4或5，四条横线上可以填6、7、8、9中的一个，于是共有2（4321）=48（个）“十全时”。同理4、5月内也分别各有48个“十全时”。（3）6月里有

11、两种形式符合条件：061 , 062 1 对于形式，两个方格中可以填4或5，三条横线上可以填7或8或9，于是共有2（321）=12（个）“十全时”。形式两个方格中可以填3或4或5中的任意两个数，三条横线上可以填7或8或9及3、4、5中余下的某一个数。于是共有（32）（4321）=144（个）“十全时”。所以6月里共有“十全时”12+144=156(个)。同理7、8、9月内也分别各有156个“十全时”。综上所述，2003年一共有4831564=768（个）“十全时”。做一做7 在1，2，3，100这100个自然数中，取两个不同的数，使得它们的和是7的倍数，共有 种不同的取法。巧练习温故知新（二十

12、五）A级 冲刺名校基础点晴1.四个好朋友去看电影，电影院有3个入口，他们进入电影院有多少种走法？2.一次作文竞赛有20篇范文，老师要从中选出两篇寄到小学生作文杂志社去，有多少种选法？3.从3，5，7，11，13，17这六个数中，取两个数构成真分数，这样的真分数有多少个？4.12 321，90 009，41 014有一共同的特征，它们倒过来还是原来的数。这样的五位偶数有多少个？5.从1到500的数中，不含数字0和1的数有多少个？B级 培优竞赛更上层楼6.将一个正方形分割成4个小正方形，用5种颜色染色，要求每个小正方形染同一种颜色，相邻（即有公共边的）小正方形染不同的颜色。问：有多少种不同的染色方

13、法？7.自然数115中含有两个数字1，那么从1到1 000这1 000个自然数中一共有多少个数字1？8.数1 447，1 005，1 231有一些共同的特征，它们都以1开头，含有两个相同数字，且都是四位数。问：这样的数共有多少个？9.今有壹角币、贰角币、伍角币各1张，壹元币4张，伍元币2张，用这些纸币任意付款，可以付出多少种不同的金额？10.在4 000到7 000之间有多少个四个数字均不相同的偶数？C级 （选学）决胜总决赛勇夺冠军11.如图，一块圆形的纸片分成4个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形，共有几种不同的涂法？12.平面上有7个不同直线上的点，任意三点都不在同一直线上。以这7个点为顶点作三角形，使得任何两个三角形至多只有一个公共顶点，问：最多可以作出多少个满足条件的三角形？13.李明有壹角人币4张，贰角人民币2张，壹元人民币3张。如果李明从中至少取一张（至多取9张），那么他取出的总钱数可有多少种不同情形？14.甲、乙两地相距999千米，沿路设有标志着距甲地及乙地路程的里程碑。试问：有多少个里程碑上只有两个不同的数码？15.在88的棋盘上剪下一个由四方小方格组成的凸字形（如下图），有多少种不同的剪法？巧总结 本节我的收获是： 。 不足之处有： 。