两次植树的比较与思考.docx
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两次植树的比较与思考
两次“植树”的比较与思考
张卫星
2015年9月，我参加浙江省信息技术应用提升工程培训，选择的项目是“小学数学交互式教学的初级水平”。
11月底，培训进入教学实践环节。
根据要求，我校至少有一位数学教师要拍摄40分钟的教学视频，其余教师只要拍摄15分钟就可以了。
由于我调到白塔二小担任分管教学的副校长不足三个月，为了营造教研氛围，我决定承担40分钟教学视频拍摄这一任务。
选什么内容呢？
我思索了好几天，最后确定执教人教版数学五年级上册的“植树问题”第一课时。
一、汲取营养
“植树问题”并不陌生，我在2008年11月就上过这一节课，并在2008年12月台州市小学教科室主任实务培训中作了题为“简约充实与数学建模的完美整合”的专题讲座。
在此基础上撰写的《“植树问题”教学设计与说明》在《教学与管理》上发表；撰写的《小步子推进：
数学建模的有效策略》在《教学月刊》上发表，后被中国人民大学主办的《小学各科教与学》杂志全文转载。
可以说，2008年的那次教学比较成功。
当年最让我心动的是如下这一幕。
课例1：
“植树问题”
在学生经历第一次模拟植树（每隔5米）后，我对学生说：
“如果让你来植树，同样全长20米，还可以每隔几米栽1棵？
”一位学生马上说：
“还可以是2米、4米、10米和20米。
”我说：
“为什么？
”他立即说：
“因为20除以它们，能除完。
”我不得不佩服这位学生。
于是我马上出示学习任务——每小组选取其中一种方案进行画图研究，看看间隔数和棵数之间到底有什么关系？
在经历一番探究与交流后,课件呈现如表1所示:
表1“植树问题”探讨一
全长（米）
间隔长度（米）
两端都栽
间隔数（个）
棵数（个）
20
5
4
5
4
5
6
10
2
3
20
1
2
2
10
11
这个时候，我又追问：
“除了路长是20米，还可以是几米？
怎么种？
下面请同学们用自己喜欢的方式去植树，路的全长与间隔长度由你们自己决定，不过每小组只能确定一种方案去植树。
”
学生再次展开探究，结果汇报如表2所示：
表2“植树问题”探讨二
全长（米）
间隔长度（米）
两端都栽
间隔数（个）
棵数（棵）
60
20
3
4
80
10
8
9
160
10
16
17
最后，我问道：
“观察这两张表格，你发现了什么？
”一个学生马上说：
“棵数＝间隔数＋1；间隔数＝棵数－1。
”另一个学生也抢着说：
“间隔长度×间隔数＝全长。
”预设的答案如期而至，我不得不赞叹学生的聪明才智。
“除了这两个发现，还有新的发现吗？
”我及时追问。
教室里顿时安静下来。
这时，一位小男孩突然举手说：
“老师，我有新的发现！
”“你来谈谈！
”我鼓励他。
“老师，我发现间隔数增加8－3＝5个，棵树也增加9－4＝5个。
间隔数增加16－8＝8个，棵数也增加17－9＝8棵！
”小男生的回答出乎我的意外，这个结论我事先都没想到。
我只能微笑着说：
“此时，应该有……”旋即，教室里响起一片掌声。
“老师，老师，我也有新的发现！
”一个小女生轻轻地说！
我示意大家安静下来，小女生说：
“间隔长度都是10米，全长由80米扩大到160米，扩大了2倍，结果间隔数也扩大了16÷8＝2倍！
”教室再次掌声如潮……
那么，当初为什么会有这样精彩的一幕呢？
原来，当初为了突出“分散建模”这一主题，在教学时做了两个处理。
一是对教学内容进行了简化。
关于一条线段的植树问题有三种情形，但我为了突出基本模型的构建，只教学第一种情形——两端都种。
这样一来，学生就有了足够的时间和空间进行建模体验。
二是充实建模过程。
为了让学生真正理解植树问题的基本模型，我把建模过程分成八小步进行，可以说达到了充分细化。
其建模的主要过程如下：
创设原型，理解间隔与间隔数；解读问题中蕴含的数学信息；教师模拟栽树；学生第一次利用泡沫和牙签模拟栽树；学生利用画线段图的方式第二次模拟栽树；学生第三次模拟栽树；信息汇总，植树问题基本模型水到渠成；解释植树模型中“1”的含义。
而上述这一幕其实就是这八步当中的五、六、七三步，前面四步的经历也为这三步的成功做好了铺垫。
二、再展风采
七年后重新执教这一课，不可能重走老路。
七年前我也曾经想过用“整体建模”来教学这一课，但自己说服不了自己，最终选择了分散建模。
七年后，我的经历更加丰富，理应给自己一个挑战。
于是，我决定用整体建模的策略演绎这一课。
（一）纸上谈兵：
预设整体建模思路
整体思路已定，如何展开？
如果在一节课内同时构建植树问题的三种基本模型，肯定要创设一个集中的探究平台。
而要让这个探究平台有效，只能选择一种模拟植树的方法，否则时间无法保证。
经再三斟酌，决定采用画线段图的方式来模拟植树。
而要让学生经历画线段图的模拟过程，又必须要解决间隔、间隔数、棵数等基本概念，还要让学生事先感受三种植树类型的特征。
经过这样一个层次一个层次的推考，整体建模的思路就理顺了。
（二）牛刀小试：
检验预设是否可行
纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。
事先预设思路是否可行，终究要经过课堂检验。
于是，第一次试教便开始了。
当教学进行到学生画线段图探索三种植树规律时，却发现很多学生的思维出现混乱，找到的植树规律偏差较大。
这样一来，笔者只能一个模型一个模型轮流着讲过去，结果得出三个模型后，下课铃就响了。
事先我已经引导学生解读过棵数、间隔数，也示范过画线段图，为什么还会出现这样的结果呢？
我百思不得其解，只得私下向几个学生了解情况，原因渐渐明朗，主要有两个：
一个是学生不知道如何画线段图，不知道该画几个间隔；另一个是学生不知道在一端栽一端不栽和两端不栽的情况下，棵数和间隔数如何确定。
找到了问题，就要想办法破解。
针对第一个原因，我专门做了一张动态模拟画线段图的幻灯片，让学生模仿着画。
针对第二个问题，我在教学植树三种情况时，就让学生亲身经历数间隔数和棵数的过程，让学生明白其中的奥秘。
可见，实践是检验真理的手段！
只有经过实践，才能知道问题出在哪里，才能找到补救的措施。
（三）真枪实弹：
正式拍摄教学视频
由于时间紧，任务重，一次试教后，正式教学视频拍摄便开始了。
课前忐忑不安，课后却成功满满，我不得不为自己点个赞。
其中最引以为豪的是如下这一幕。
课例2：
再次“植树”
在学生厘清了植树类型及经历模拟植树后，我及时抛出任务：
在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵，有几种栽法？
请在表格内用线段图表示出来，同时完成表格其它任务。
接着，我又提出四个要求：
⑴先想一想要画几个间隔才是20米；⑵每个间隔尽量一样长；⑶独立完成后小组交流；⑷线段图要求用直尺画。
学生都开始动起来，认认真真地画线段图并努力思考相关任务，不到5分钟就有学生完成了任务。
不一会儿，教室便由静转动，大家争着要发言。
我先让一位小女生来解说展台上的作品。
对于我的提问，小女生自信地一一解答，解释了所画线段图的含义和类型，第一条线段图“两端都有一棵树，属于两端都栽”。
教师追问“棵树和间隔树之间又有什么关系”，她又准确地回答道：
““棵树＝间隔数＋1。
”教室里的掌声此起彼伏……
“那第二条线段图属于哪种类型？
棵树和间隔树之间又有什么关系？
”我趁势继续问道，并把问题简化了。
有学生抢着回答：
“第二条线段属于两端不栽，棵树＝间隔数－1。
”
“那栽法3有什么特点？
”我继续补问，进一步简化问题。
学生有条理地回答：
“栽法3是一端栽一端不栽，棵数＝间隔数。
”
接着，我又和学生一起验证这三个模型，结果准确无误。
最后，课件呈现如图1所示：
图1“植树问题”3种栽法总结
（四）及时反思：
分析建模成功原因
为什么学生能够这样有效地整体建构出这三个模型呢？
其实，经过第一次试教后，我重新思考对策，做足了功课。
我有意识地让学生经历三个阶段模拟植树的过程。
第一阶段是教师模拟。
教学伊始，我形象地展示出的第一次模拟植树的全过程，让学生直观地认识间隔及间隔数。
第二次模拟重在让学生认识植树的类型及特点。
第三次模拟重在让学生学会如何用画线段图的方式模拟植树，为下面学生的模拟做好准备。
第二阶段是学生模拟。
由于有前面三次的示范，学生基本上能完成模拟任务。
“想一想，画几个间隔才是20米？
”这样的问题让学生的模拟更高效。
在模拟的基础上，学生自主提炼出三个植树模型。
对于这样的模型，学生记忆特别深刻。
第三阶段是模拟验证。
学生提炼出的模型是着眼于一种情况的，能否通用必须要经历验证的过程。
为此，我在学生得出模型后，借助课件和学生一起验证这三种模型。
经历验证后，学生对这三个模型深信不疑。
可见，整体建模前需要做足功课。
三、聚沙成塔
虽然间隔七年，但两次教学都比较成功，而我更喜欢后一次教学，因为后一次一节课就完成了三节课的教学任务。
静下心来思索，我发现后一次教学与前一次相比，主要有如下三个改变：
一是教学策略的改变。
前一次的教学策略是分散建模，主要建构一个模型，后一次教学的策略是整体建模，也就是说在第一节课整体建构三种植树模型。
事实表明，在教师的引导下同时建构三种模型，学生能够领悟，而且对植树类型及相应的模型印象深刻。
二是探究内容的改变。
前一次教学主要探究两端都栽的情况下，路长、植树棵数、间隔长度和间隔数之间的关系。
而后一次教学却探究三种类型的植树情况下，路长、植树棵数、间隔长度和间隔数之间的关系。
因此，用线段图画出相应类型的植树模型是后一次教学的难点所在。
由于有事先的示范模拟，学生基本能画出。
特别是探究表格的设计，让学生的探究思路更加清晰。
同时，为了让学生相信自己得出的三个模型，教学时还安排了一个交互式的验证环节，让学生对自己的发现深信不疑。
三是教学媒体的改变。
前一次教学主要借助简易多媒体，后一次教学主要借助电子白板。
为此，我苦练课件制作水平。
特别是模拟植树这一环节，我一开始就想制作动态植树的课件，但一直找不到窍门。
后来无意间想到用插入文本框的方法，从而制作出模拟植树的动态课件，使得课堂教学更加高效。
为了充分尝试交互式教学，我还努力钻研电子白板的使用方法，并设计了以前从未设计过的流程图（略）。
可以说，教学媒体的改变促使我信息技术应用能力的快速提升。
三个改变中最为重要的是教学策略的改变。
与分散建模教学相比，整体建模更强调学习资源的整合与生成，着眼于学习的实践性，重视学生学的过程，强调数学活动的整体推进。
因此，整体建模应当成为数学教学的主流。
通过前后两次教学对比，我最大的收获有如下三点：
⒈通读教材，合理分块。
数学知识的单元编排，是将有内在联系的、具有共同主题的内容构成一个整体，并且根据学生的认知规律，由浅入深、由易到难进行编排。
但如果教师对教材解读不当，按部就班地照本宣科，则容易步入“教学雷同、环节反复、练习重复”的局面。
因此，通读教材，用整体的视角对单元教学内容进行准确定位、合理分块，是实施整体建模的一个必要环节。
如“植树问题”这个单元，主要内容分成两块，一是线段植树，二是环形植树。
而线段植树的三种类型难度系数相近，完全可以分在一块。
⒉有机整合，创设基点。
有时候一节课包含的知识点比较多，这时候就要对这些知识点进行梳理，有机整合，力求把这些知识点融合在一个探究平台中。
然后以这个探究平台为基点，顺势解决所有的知识点。
如四年级“三角形的分类”这一课，可以先让学生统计教材上提供的6个三角形中锐角、钝角和直角的个数，然后以这个统计表为基础，从中发现角的个数规律，从而揭示出三种三角形的概念。
接着，通过这张表来揭示这三种三角形之间的关系。
最后还是回到这张表，让学生回答为什么有了直角就不会出现钝角，为下一节课“三角形内角和”的教学埋下伏笔。
这样以统计表为基点展开建模，整体感明显，效果显著。
⒊提炼任务，整体解决。
即要求老师一下把全部任务交给学生，要求学生一次性思考解决这些问题。
如后一次的“植树问题”教学就是把构建三个植树模型的任务一次性布置给学生，学生在模拟植树的过程中整体建构，并通过比较，深刻领会各模型之间的联系与区别。
总之，在数学教学中我们要注重整体建模观念的确立，注意整体效应的发挥，关注学生整体意识的培养。
我相信，只要我们让整体建模成为一种教学常态，学生的数学素养必将快速提升。
【曾获得长三角城市群2017年“我的教改试验”征文一等奖,并被收入《教改试验的30个样本》（张肇丰、徐士强主编,华东师大出版社2016）。
原文也刊登在《课程教学研究》2016年10期上】
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