初中函数知识点及一次函数总结.docx

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初中函数知识点及一次函数总结

函数知识点总结（掌握函数的定义、性质和图像）

（1）平面直角坐标系：

1.在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：

x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念

点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

3、不同位置的点的坐标的特征

①各象限内点的坐标的特征

Ⅰ

Ⅱ

点P（x,y）在第一象限

点P（x,y）在第二象限

Ⅳ

Ⅲ

点P（x,y）在第三象限

点P（x,y）在第四象限

②坐标轴上的点的特征

点P（x,y）在x轴上，x为任意实数

点P（x,y）在y轴上，y为任意实数

点P（x,y）既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）

③两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P（x,y）在第一、三象限夹角平分线上x与y相等;点P（x,y）在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数

④和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同;位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

⑤关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征

点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数

点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数

点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数

⑥点到坐标轴及原点的距离

点P（x,y）到坐标轴及原点的距离：

（1）点P（x,y）到x轴的距离等于

（2）点P（x,y）到y轴的距离等于（3）点P（x,y）到原点的距离等于

⑦坐标平移：

若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为P（a－h，b），向右平移h个单位，坐标变为P（a＋h，b）；向上平移h个单位，坐标变为P（a，b＋h），向下平移h个单位，坐标变为P（a，b－h）.如：

点A（2，－1）向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A（7，1）

4、函数平移规律：

左加右减、上加下减

（二）函数的基本知识：

基本概念

1、变量：

在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：

在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：

一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应

3、定义域：

一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

6、函数解析式：

用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：

列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：

描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

第三步：

连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法

列表法：

一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：

简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：

形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

跟踪练习

一、选择题

1.已知坐标平面内点A（m,n）在第四象限,那么点B（n,m）在（）

A.第一象限B.第二象限;C.第三象限D.第四象限

2.在函数y=中,自变量x的取值范围是（）

A.x>1B.x>3C.x≠1D.x≠3

3.在平面直角坐标系中,点P（2,1）关于原点对称的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.一天,亮亮发烧了,早晨他烧得厉害,吃过药后感觉好多了,中午时亮亮的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜亮亮才感觉身上不那么烫了.图中能基本上反映出亮亮这一天（0时～24时）体温的变化情况的是（）.

5.小丽的家与学校的距离为km,她从家到学校先以匀速跑步前进,后以匀速走完余下的路程,共用.下列能大致表示小丽距学校的距离y（km）与离家时间t（h）之间关系的图象是（）

二、填空题

1.已知函数y=,那么当x=2,则y=_______.

2.直角坐标系中,第四象限内的点M到x轴、y轴的距离分别为3,2,则M点的坐标是________.

3.函数y=中自变量x的取值范围是_________.

4、已知点A（m-1,2），点B（2,m），且直线AB∥y轴，则m的值为.

5.图表示长沙市2003年6月份某一天的气

温随时间变化的情况,请观察此图回答下列问题:

（1）这天的最高气温是______度;

（2）这天共有_______个小时的气温在31度以上;

（3）这天在_______（时间）范围内温度在上升;

（4）请你预测一下,次日凌晨1点的气温大约是多少度?

答:

_______.

6.若点M（1-x,1-y）在第二象限，那么点N（1-x,y-1）关于原点的对称点在第______象限。

三、解答题

1.小强在劳动技术课中要制作一个周长为80cm的等腰三角形,请你写出底边长y（cm）与一腰长为x（cm）的函数

关系式,并求出自变量x的取值范围.

2.南宁市某中学环保兴趣小组对南湖清除淤泥工程进行调查,并从《南宁晚报》中收集到下列数据:

根据上表解答下列问题:

（1）请你按体积=面积×高来估算,南湖的淤泥量大约有多少万立方米?

（2）设清除淤泥x天后,剩余的淤泥量为y（万米3）,求y与x的函数关系.（不要求写出x的取值范围.

（3）为了使南湖的生物链不遭破坏,仍需保留一定量的淤泥.若需保留的淤泥量约为22万米3,求清涂淤泥所需天数.

3.一农民带了若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出土豆千克数与他手中持有的钱线（含备用零钱）的关系如图所示,结合图象回答下列问题:

（1）农民自带的零钱是多少?

（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少?

（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱（含备用零钱）是26元,问他一共带了多少千克土豆.

4.两个物体A、B所受压强分别为PA（Pa）与PB（Pa）（PA、PB为常数）,

它们所受压力F（N）与受力面积S（m2）的函数关系图象

分别是射线LA、LB,如图所示,则（）

A.PAPBD.PA≤PB

（三）正比例函数和一次函数

1、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：

正比例函数一般形式y=kx（k不为零）k不为零x指数为1b取零

当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

（1）解析式：

y=kx（k是常数，k≠0）

（2）必过点：

（0，0）、（1，k）

（3）走向：

k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限

（4）增减性：

k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

（5）倾斜度：

|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

2、一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b（k,b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：

一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）k不为零x指数为1b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（1）解析式：

y=kx+b（k、b是常数，k0）

（2）必过点：

（0，b）和（-，0）

（3）走向：

k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限

b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限

直线经过第一、二、四象限直线经过第二、三、四象限

注：

y＝kx+b中的k，b的作用：

1、k决定着直线的变化趋势

①k>0直线从左向右是向上的②k<0直线从左向右是向下的

2、b决定着直线与y轴的交点位置

①b>0直线与y轴的正半轴相交②b<0直线与y轴的负半轴相交

（4）增减性：

k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.

（5）倾斜度：

|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.

（6）图像的平移：

当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

3、一次函数y=kx＋b的图象的画法.

根据几何知识：

经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：

是先选取它与两坐标轴的交点：

（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.

注：

对于y＝kx+b而言，图象共有以下四种情况：

1、k>0，b>02、k>0，b<03、k<0，b<04、k<0，b>0

4、直线y=kx＋b（k≠0）与坐标轴的交点．

（1）直线y=kx与x轴、y轴的交点都是（0，0）；

（2）直线y=kx＋b与x轴交点坐标为与y轴交点坐标为（0，b）．

5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

　　（3）解方程得出未知系数的值；

　　（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

6、两条直线交点坐标的求法：

方法：

联立方程组求x、y

例题：

已知两直线y＝x+6与y＝2x-4交于点P，求P点的坐标？

7、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系

（1）两条直线平行：

k1=k2且b1b2

（2）两直线相交：

k1k2

（3）两直线重合：

k1=k2且b1=b2

平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线

8、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.

9、一元一次方程与