北师大版七年级数学下册第四章三角形45 利用三角形全等测距离备课素材.docx

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北师大版七年级数学下册第四章三角形45利用三角形全等测距离备课素材

情景导入　

置疑导入　

归纳导入　

复习导入　

类比导入　

悬念激趣

情景导入　一位经历过战争的老人讲诉了这样一个故事：

在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：

他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上．接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．

如图所示：

图4－5－1

说明：

用真实的故事引入新课，可吸引学生的注意力，产生学习的积极性和好奇心．建议：

重点理解“调整帽子”“保持刚才的姿势”的数学意义．教师走到学生中间，听听他们是怎样理解战士的做法的．

图4－5－2

复习导入　问题1：

三角形全等的条件有哪些？

问题2：

已知线段AB和线段CD相交于点O，AO＝BO，CO＝DO，AC＝18米．你能求出BD的长度吗？

说明：

通过全等三角形的有关知识的提问，可以温习与本节有关的知识，巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础．建议：

根据前面所学习的内容，学生可以回答出“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”，添加条件是全等的灵活应用．

图4－5－3

悬念激趣　如图4－5－3所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案解决此问题吗？

说明：

通过设置悬念激发学生的学习兴趣，让学生体会数学的魅力，积蓄求知欲．同时引导学生明确解决问题的关键是把不可测量的距离转化成可测量的距离，从而为后续学习奠定基础、做好铺垫．建议：

让学生先独立思考，然后交流讨论，发表见解，教师给予激励性评价，同时师追问：

当遇到不能直接测量的距离时，我们该怎么办呢？

我们能不能利用已学过的知识解决这类问题呢？

教材母题——第109页习题4.10第2题

图4－5－4

如图4－5－4，把两根钢条AB，CD的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD是否符合标准．你明白其中的道理吗？

与同伴进行交流．

【模型建立】

利用全等三角形的性质能解决很多现实生活中的问题，关键是从实际问题中提取数学知识，建立数学模型．

【变式变形】

1．泰勒斯是古希腊哲学家，相传他利用三角形全等的方法求

图4－5－5

出岸上一点到海中一艘船的距离．如图4－5－5，B是观察点，船A在B的正前方，过B作AB的垂线，在垂线上截取任意长BD，C是BD的中点，观察者从点D沿垂直于BD的DE方向走，直到点E、船A和点C在一条直线上，那么△ABC≌△EDC，从而量出DE的距离即为船离岸的距离AB，这里判定△ABC≌△EDC的方法是（　B　）

A．SAS　　　　　　B．ASA　　　　　　C．AAS　　　　　　D．SSS

2．某学校花台上有一块如图4－5－6所示的三角形ABC地砖，现已破损．管理员要对此砖测量再去市场加工一块形状和大小与此完全相同的地砖来换，今只有尺子和量角器，请你帮他设计一个测量方案，使其加工的地砖能符合要求，并说明理由．

3．小明做了一个如图4－5－7所示的风筝（如图①），他想验证∠ABC与∠ADC是否相等（如图②），但手头只有一把足够长的尺子，你能帮他想个办法吗？

并说明你这样做的理由．

图4－5－6

图4－5－7

图4－5－8

4．一条大河两岸的A，B处分别立着高压线铁塔，如图4－5－8所示．假设河的两岸平行，你在河的南岸，请利用现有的自然条件、皮尺和标杆，并结合你学过的全等三角形的知识，设计一个不过河便能测量河的宽度的好办法．（要求画出示意图，并标出字母，结合图形简要叙述你的方案）

图4－5－9

5．如图4－5－9，要测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B′，使∠ACB′＝∠ACB，这时只要量出AB′的长，就知道AB的长，这种做法对吗？

为什么？

图4－5－10

6．如图4－5－10所示，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路旁各有一只小石凳E，M，F，且E，F，M在同一直线上，M恰好为BC的中点．在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？

请说明其中的道理．

利用全等三角形制作实用工具

当某些零部件的尺寸不容易直接测量时，可以借助于全等三角形的性质制作测量工具．

例　如图4－5－11，已知零件的外径为a，要求出它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，动手制作一个简单工具，利用三角形全等求出AB的长．

图4－5－11

图4－5－12

解：

可设计如图4－5－12所示的类似钳子的工具，则CD的长就是A，B间的距离．

利用全等三角形测量不可直接测量的两点间距离

当无法直接测量两个点之间的距离时，可以构造全等三角形，借助全等三角形的性质解决实际问题．

例　某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要打通一座小山，设计时要测量隧道的长度．小山前面恰好是一块空地，利用这样的有利地形，测量人员是否可以利用三角形全等的知识测量出需要开挖的隧道的长度？

请说明理由．

图4－5－13

图4－5－14

解：

可以．理由：

在空地上取一个能直接到达A点，B点的点O，连接AO并延长到D，使OD＝OA；连接BO并延长到E，使OE＝OB.连接DE并测出它的长度，则DE的长就是A，B间的距离．如图4－5－14所示．

在△AOB与△DOE中，

∴△AOB≌△DOE（SAS），∴AB＝DE（全等三角形的对应边相等）．

确定方案

根据全等三角形的判定，确定所给方案是否可行；或判断自己所给方案是否正确．

例　某校七

（1）班学生到野外进行数学活动，为测量一池塘两端A，B的距离，设计了如下两种方案：

①如图4－5－15，先在平地上取一个可以直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的长即为A，B两点间的距离．

②如图4－5－15，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则DE的长即为A，B两点间的距离．问：

图4－5－15

图4－5－16

（1）方案①是否可行？

________．理由是________________．

（2）方案②是否可行？

________．理由是________________．

（3）方案②中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是________，若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案②是否仍成立？

（1）可行　SAS　

（2）可行　ASA　（3）使AB∥DE　仍成立

P109　习题4.10

1．如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A，B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A，B间的距离，请你设计一个方案，测出A，B间的距离，并说明理由．

解：

方法不唯一，如：

先作一个以AB为边的三角形，再利用“SAS”构造一个三角形与其全等即可．

2．如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）.只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD是否符合标准.你明白其中的道理吗？

与同伴进行交流．

解：

两个三角形全等，BD＝AC.

3．利用全等三角形测距离的道理是什么？

你想到了什么地方可以利用这个方法吗？

解：

是利用了两个三角形全等的性质．很多测量无法到达的两地之间距离的问题都可以利用这个方法．

P110　复习题

1．一个三角形可以有两个直角吗？

一个三角形的三个角能都大于70°吗？

能都小于50°吗？

解：

不可以，不能，不能．

2．在一个直角三角形中，两个锐角相等，求这两个锐角的度数．

解：

都是45°.

3．如图，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一条直线上．

（1）BD是∠ABE的平分线吗？

为什么？

（2）DE⊥BC吗？

为什么？

（3）点E平分线段BC吗？

为什么？

解：

（1）是．∵△ADB≌△EDB，

∴∠ABD＝∠EBD.

（2）DE⊥BC.

∵△BDE≌△CDE，

∴∠BED＝∠CED.

∵∠BED＋∠CED＝180°.

∴∠BED＝90°.

（3）点E平分线段BC.

∵△BDE≌△CDE，

∴BE＝CE.

4．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别是E，F，又知D是EF的中点，△BED与△CFD全等吗？

为什么？

解：

全等，根据“ASA”易说明．

5．已知线段a和∠α，尺规作图：

（1）作一个△ABC，使AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a；

（2）作一个△ABC，使BC＝a，AC＝2a，

∠BCA＝∠α.

解：

略．

6．如图，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC，BC与FE相等吗？

你能找到一对全等三角形吗？

说明你的理由．

解：

BC＝FE.△ABC≌△DFE.理由略．

※7.如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC，△ABC与△ADE全等吗？

解：

全等．

8．面积相等的三角形一定全等吗？

举例说明．

解：

不一定．如：

取△ABC的边BC的中点D，连接AD，则△ADB与△ACD面积相等，但两个三角形不一定全等（只有在AB＝AC时才全等）．

9．如图，已知∠ABC＝∠DCB，要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件是____________________（只需添加一个你认为适合的条件）．

解：

答案不唯一，如：

AB＝DC.

10．有四根细木棒，长度分别为3cm，5cm，7cm，9cm，哪三根木棒可以组成一个三角形？

有几种可能的情况？

实际摆一摆，验证你的结论．

解：

有三种情况：

3cm，5cm，7cm；3cm，7cm，9cm；5cm，7cm，9cm.

11．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角.如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA、边OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.你能先说明△OPE与△OPD全等，再说明OP平分∠AOB吗？

提示：

根据“SSS”说明两三角形全等，再根据全等三角形的性质，说明∠AOP＝∠BOP.

12．如图，△ABC≌△EFD，你能从图中找出几组平行线？

小颖的思考过程如下：

你能明白她的意思吗？

解：

两组：

AB∥EF，AC∥ED.小颖的意思是由内错角相等，推出两直线平行．

13．你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？

你能说明其中的道理吗？

小明回顾了作图的过程，并进行了如下的思考：

你能说明每一步的理由吗？

解：

第一步由作图得到，第二步根据“SSS”，第三步由全等三角形的性质得到．

14．如图，在一个等边三角形纸片中取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，你认为图中阴影部分的面积是整个图形面积的几分之几？

你是怎样知道的？

解：

.四个等边三角形都全等，阴影部分占其中的一个半三角形．

15．沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形．

解：

略．

16．按下列步骤设计图案：

（1）画一个正方形，并在它的下方剪掉一个小正方形，如图

（1）；

（2）将剪下的小正方形补在大正方形的上方，如图

（2）；

（3）在新得到的图形上绘制出你所喜欢的图案；

（4）再制作若干个这样的图案，并利用它们拼出一个美丽的图案．

将你的作品与同伴进行交流，你喜欢它们吗？

解：

略．

※17.一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°.李叔叔量得∠BCD＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？

解：

连接BD，则∠CDB＋∠CBD＝38°.

而在Rt△ABD中，∠CDB＋∠CBD＝90°－（30°＋20°）＝40°≠38°，故断定零件不合格．

※18.如图，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗？

说说你的理由．

解：

一样长．根据“AAS”说明△ABC≌△A′B′C′，进而可得BC＝B′C′.

1．在湖的两岸A，B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A，B两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案．

（1）画出测量图案；

（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；

（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．

2．一条大河两岸的A，B处分别立着高压线铁塔，如图所示．假设河的两岸平行，你在河的南岸，请利用现有的自然条件、皮尺和标杆，并结合你学过的全等三角形的知识，设计一个不过河便能测量河的宽度的好办法（要求，画出示意图，并标出字母，结合图形简要叙述你的方案）．

3．如图所示，施工队在沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边点E同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点B的距离如何求得？

请你设计出解决方案．

2．阅读理解：

某校二

（1）班学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，设计出如下几种方案：

（Ⅰ）如图1，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长．

（Ⅱ）如图2，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，

接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．

阅读后回答下列问题：

（1）方案（Ⅰ）是否可行，理由是______．

（2）方案（Ⅱ）是否可行，理由是______．

（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是________________________，若仅满

足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否仍成立？

【知识要点】

当两点间的距离无法直接测量时，就可以想办法构造两个全等的三角形，利用全等三角形的性质把难以测量或无法直接测量的线段转化为容易测量的线段.

【温馨提示】

1．利用三角形全等测距离的关键要点：

如何测出两点之间的距离；如何构造两个三角形全等；最后说明测量距离的正确性．

2．构造全等三角形时要满足全等三角形的判定方法“SAS”、“ASA”、“AAS”以及“SSS”．

【方法技巧】

1．利用三角形全等的条件去构造两个全等三角形.

2．用三角形的全等的判定条件去说明构造的两个三角形全等．

3．用全等三角形的性质，测出两点之间的距离.

答案：

1．解：

（1）如图：

（2）在湖岸上选一点O，连接BO并延长到点C使BO=OC，连接AO并延长到点D使OD=AO，连接CD，则AB=CD．测量DC的长度即为AB的长度；

（3）设DC=m，

∵BO=CO，∠BOA=∠COD，AO=BO，

∴△AOB≌△DOC（SAS），

∴AB=CD=m．

2．解：

在河南岸AB的垂线BF上取两点C，E，使CE=BE，再定出BF的垂线CD，使A，E，D在同一条直线上，这时测得CD的长就是AB的长．

3．解：

延长BD到点F，使BD=DF=500米，

过F作FG⊥ED于点G．

因为∠ABD=145°，

所以∠CBD=35°.

在△BED和△FGD中，∠EBD=∠F，BD=DF，∠EDB=∠GDF（对顶角相等），

所以△BED≌△FGD（ASA），

所以BE=FG（全等三角形的对应边相等）．

所以要求BE的长度可以测量GF的长度．

4．解：

（1）可行，由边角边说明△ACB≌△DCE，则DE=AB．

（2）可行，由角边角说明△ABC≌△EDC，则DE=AB．

（3）得到∠ABC=∠EDC，方案（Ⅱ）仍成立．

“利用三角形全等测距离”两例

利用三角形全等可以测量不能达到或不能直接测量的两点之间的距离.其实质是构造两个全等三角形，依据是全等三角形的对应边相等.请欣赏下面两例：

例1如图，河边有一条笔直的公路l，公路两侧是平坦的草地.在数学活动课上，老师要求测量河对岸B点到公路的距离，请你设计一个测量方案.要求：

（1）列出你测量所使用的测量工具；

（2）画出测量的示意图，写出测量的步骤；

（3）用字母表示测得的数据，求出B点到公路的距离.

解析：

（1）测角器、尺子；

（2）测量示意图见右图；

测量步骤：

①在公路上取一点A,用测角器测得∠A=90º；

②在公路上取一点C，用尺子测出AC的长，记为m米；

③用测角器测得∠ACB=

；

④在公路的下方过点C作射线CM，使∠ACM=∠ACB=

交BA的延长线于点D；

⑤用尺子测出AD的长，记为n米.

（3）由测量步骤知，

在△BAC和△DAC中，

所以△BAC≌△DAC（ASA）.

所以AB=AC.

因此B点到公路的距离为n米.

例2某地质勘测队要测量河两岸相对两点A、B的距离（如图所示），可先在AB的垂线AF上取两点C、D，使AC=CD，再过D作AD的垂线DE，使B、C、E三点在一条直线上，这时DE的长就是AB的长.请你说明其中的道理吗？

解析：

由题意知，AB⊥AD，DE⊥AD，所以∠BAC=∠EDC=90º.

在△BAC和△EDC中，

所以△BAC≌△EDC（ASA）.

所以AB=DE.

【温馨提示】

由上述两例的解题过程可知，它们是两种不同的测量方法，但都是构造两个全等三角形，运用转化的数学思想方法，将不能直接测量的问题转化为可直接测量的问题.同学们在今后的学习中要注意思想方法的运用，生活中需要有心人哦！