相交线与平行线综合题.docx

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相交线与平行线综合题

相交线与平行线综合复习

（二）

班级：

姓名：

解答题

1．如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OP 是∠BOC 的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．

（1）图中除直角外，还有相等的角吗？

请写出两对：

①；②．

（2）如果∠COP=20°，则①∠BOP=°；②∠POF=°．

（3）∠EOC 与∠BOF 相等吗？

，理由是．

（4）如果∠COP=20°，求∠DOE 的度数．

2．

（1）如图 1，直线 AB、CD 相交于点 O，FO⊥CD 于点 O，且∠EOF=∠DOB．求∠EOB 的度数．

（2）如图 2，O 为直线 AB 上一点，OD 平分∠AOC，∠AOC=58°，∠DOE=90°．求∠BOE 的度数．

3．如图，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，OG 平分∠COF，∠1=30°，∠2=45°．求∠3 的度数．

4．如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=32°，求∠2 和∠3 的度数．

5．如图，直线 AB 交 CD 于点 O，由点 O 引射线 OG、OE、OF，使∠1=∠2，∠AOG=∠FOE，∠BOD=56°，

求∠FOC．

6．如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，射线 OE 平分∠BOF．

（1）∠AOD 的对顶角是，∠BOC 的邻补角是；

（2）若∠AOD=20°，∠DOF：

∠FOB=1：

7，求∠EOC 的度数．

7．如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF=65°．

求：

（1）∠AOC 的度数；

（2）∠BOE 的度数．

8．如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OE 平分∠AOC，OF 平分∠AOD，

（1）求∠EOF 的度数．

（2）∠AOE：

∠BOG：

∠AOF=2：

4：

7，求∠COG 的度数．

9．如图，直线 AB 与 CD 相交于点 D，OE⊥AB，OF⊥CD．

（1）图中∠AOF 的余角有；（把符合条件的角都填出来）

（2）如果∠AOD=140° 那么根据，可得∠BOC=度；

（3）∠EOF= ∠AOD，求∠EOF 的度数．

10．如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OP 是∠BOC 的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．

（1）图中除直角外，还有相等的角吗？

请写出两对：

①；②．

（2）如果∠AOD=40°．

①那么根据，可得∠BOC=度．

②因为 OP 是∠BOC 的平分线，所以∠COP= ∠=度．

③求∠BOF 的度数．

11．如图，AO⊥BC，DO⊥OE，OF 平分∠AOD，∠AOE=35°．

（1）求∠COD 的度数；

（2）求∠AOF 的度数；

（3）你能找出图中有关角的等量关系吗？

（写出 3 个）

12．如图，平面上有三点 A、B、C．

（1）画直线 AB，画射线 BC （不写作法，下同）；

（2）过点 A 画直线 BC 的垂线，垂足为 G；过点 A 画直线 AB 的垂线，交射线 BC 于点 H．

（3）线段的长度是点 A 到直线 BC 的距离，线段 AH 的长度是点到直线

的距离．

（4）线段 AG、AH 的大小关系为 AGAH．理由是：

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，

最短．

13．如图，直线 AB、CD 相交于点 O，∠BOD=40° 按下列要求画图并回答问题：

（1）在直线 AB 上方画射线 OE，使 OE⊥AB；

（2）分别在射线 OA、OE 上截取线段 OM、ON，使 OM=ON，连结 MN；

（3）画∠AOD 的平分线 OF 交 MN 于点 F；

（4）直接写出∠COF 和∠EOF 的度数：

∠COF=度，

∠EOF=度．

14．如图，直线 AB．CD 相交于点 O，OM⊥AB，NO⊥CD．

（1）若∠1=∠2，求∠AOD 的度数；

（2）若∠1= ∠BOC，求∠2 和∠MOD．

15．如图，直线 AB 与 CD 相交于 O，OE⊥AB，OF⊥CD，

（1）图中与∠COE 互余的角是；图中与∠COE 互补的角是； 把符合条件的角都写

出来）

（2）如果∠AOC=∠EOF，求∠AOC 的度数．

16．如图，已知，直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分∠BOD，∠AOC=60° 过点 O 作 OF⊥CD．求∠EOF 的

度数．

17．

（1）在图 1 中以 P 为顶点画∠P，使∠P 的两边分别和∠1 的两边垂直．

（2）量一量∠P 和∠1 的度数，它们之间的数量

是．

（3）同样在图 2 和图 3 中以 P 为顶点作∠P，使

两边分别和∠1 的两边垂直，分别写出图 2 和图 3

和∠1 的之间数量关系． 不要求写出理由）图 2：

（4）由上述三种情形可以得到一个结论：

如果一

的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角．（不要求写出理由）

关系

∠P 的

中∠P

图 3：

个角

18．如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE⊥OC，若∠1=50° 分别求∠2，∠3+∠1 的度数．

19．（2016 春•高安市校级月考）已知 AB∥CD，∠ABE 与∠CDE 两个角的角平分线相交于点 F．

（1）如图 1，若∠E=80°，求∠BFD 的度数．

（2）如图 2 中，∠ABM= ∠ABF，∠CDM= ∠CDF，写出∠M 与∠E 之间的数量关系并证明你的结论．

（3）若∠ABM= ∠ABF，∠CDM= ∠CDF，设∠E=m°，直接用含有 n， °的代数式表示写出∠M=．

20．已知∠MON=40°，OE 平分∠MON，点 A、B 在射线 OM、OE 上，点 C 是射线 ON 上的一个动点，连接

AC 交射线 OE 于点 D，设∠OAC=x．

（1）填空：

若 AB∥ON，

①当∠BAD=∠ABD 时，（如图①），则 x 的度数为；

②当∠BAD=∠BDA 时，（如图②），则 x 的度数为；

（2）若 AB⊥OM 于点 A（如图③），且△ADB 是等腰三角形，求 x 的度数．

21．如图，AB∥CD，P 为定点，E、F 分别是 AB、CD 上的动点．

（1）求证：

∠P=∠BEP+∠PFD；

（2）若 M 为 CD 上一点，MN 交 PF 于 N．证明：

∠PNM=∠NMF+∠NFM；（说明：

不能运用三角形内角和定

理）

（3）在

（2）的基础上，若∠FMN=∠BEP，试说明∠EPF 与∠PNM 的关系，并证明你的结论．

22．如图，AB∥CD，∠AEC=90°

（1）当 CE 平分∠ACD 时，求证：

AE 平分∠BAC；

（2）移动直角顶点 E 点，如图，∠MCE=∠ECD，当 E 点转动时，问∠BAE 与∠MCG 是否存在确定的数量关

系，并证明．（提示：

可以作∠MCG 的平分线）

23．如图，已知两条线段AB∥CD，点 E 不在 AB、CD 所在的直线上．∠ABE=α，∠CDE=β，∠BED=γ．当 E

点在不同位置时，α、β、γ 之间的数量关系也会有所不同．请你再画出两种不同的情况，并写出 α、β、γ 之间

的数量关系．

参考答案与试题解析

一．解答题（共 23 小题）

1． 2013 秋•惠山区校级期末）如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OP 是∠BOC 的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．

（1）图中除直角外，还有相等的角吗？

请写出两对：

①∠BOP=∠COP；②∠AOD=∠BOC．

（2）如果∠COP=20°，则①∠BOP=20°；②∠POF=70°．

（3）∠EOC 与∠BOF 相等吗？

相等，理由是同角的余角相等．

（4）如果∠COP=20°，求∠DOE 的度数．

【分析】 1）根据角平分线的定义和对顶角相等解答；

（2）根据角平分线的定义和垂直的定义解答；

（3）根据同角的余角相等解答；

（4）根据角平分线的定义求出∠BOC，然后根据对顶角相等求出∠AOD，再根据∠DOE=∠AOD+∠AOE 进行

计算即可得解．

【解答】解：

（1）①∠BOP=∠COP，②∠AOD=∠BOC；

（2）①∠BOP=∠COP=20°，

②∠POF=90°﹣20°=70°；

（3）相等，同角的余角相等；

故答案为：

（1）∠BOP=∠COP，∠AOD=∠BOC，

（2）20，70，（3）相等，等角的余角相等；

（4）∵OP 是∠BOC 的平分线，

∴∠BOC=2×20°=40°，

∴∠AOD=∠BOC=40°，

∴∠DOE=∠AOD+∠AOE，

=40°+90°，

=130°．

【点评】本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，余角和补角，是基础题，熟记概念并准确识图，理清图中

各角度之间的关系是解题的关键．

2． 2013 秋•仪征市期末） 1）如图 1，直线 AB、CD 相交于点 O，FO⊥CD 于点 O，且∠EOF=∠DOB．求∠EOB

的度数．

（2）如图 2，O 为直线 AB 上一点，OD 平分∠AOC，∠AOC=58°，∠DOE=90°．求∠BOE 的度数．

【分析】 1）根据垂直的定义可以得到∠FOD=90°，即∠EOF+∠EOD=90°，然后根据∠EOF=∠DOB，即可求

解；

（2）首先根据角平分线的定义求得∠AOD 的度数，即可求得∠AOE 的度数，则∠BOE 即可求解．

【解答】解：

（1）∵FO⊥CD，

∴∠FOD=90°，即∠EOF+∠EOD=90°，

∵∠EOF=∠DOB，

∴∠DOB+∠EOD=90°，

即∠EOB=90°；

（2）∵OD 平分∠AOC，

∴∠AOD= ∠AOC= ×58°=29°，

∵∠AOB=180°，∠DOE=90°，

∴∠BOE=180°﹣90°﹣29°=61°．

【点评】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义和垂直的定义，是一个需要熟记的内容．

3．（2014 春•中山期末）如图，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，OG 平分∠COF，∠1=30°，∠2=45°．求∠3 的

度数．

【分析】根据对顶角的性质，∠1=∠BOF，∠2=∠AOC，从而得出∠COF=105°，再根据 OG 平分∠COF，可得

∠3 的度数．

【解答】解：

∵∠1=30°，∠2=45°

∴∠EOD=180°﹣∠1﹣∠2=105°

∴∠COF=∠EOD=105°

又∵OG 平分∠COF，

∴∠3= ∠COF=52.5°．

【点评】本题考查了对顶角的定义，以及角平分线的性质，是基础题比较简单．

4．（2013 秋•如皋市校级期末）如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=32°，求

∠2 和∠3 的度数．

【分析】根据角平分线的性质，可得∠AOD 的度数，根据对顶角的性质，可得∠2 的度数，再根据三个角的和

等于 180°，可得∠3 的度数．

【解答】解：

OE 平分∠AOD，∠1=32°，

∠AOD=2∠1=64°，

由对顶角得∠2=∠AOD=64°；

∵∠2+∠FOC+∠3=180°，∠FOC=90°，

∴∠3=180°﹣∠FOC﹣∠2

=180°﹣90°﹣64°，

∠3=26°．

【点评】本题考查了对顶角、邻补角，对顶角相等，邻补角互补是解题关键．

5．2014 秋•吉林校级期末）如图，直线 AB 交 CD 于点 O，由点 O 引射线 OG OE OF，使∠1=∠2，∠AOG=∠FOE，

∠BOD=56°，求∠FOC．

【分析】求出∠FOC=∠AOC，再根据对顶角相等解答即可．

【解答】解：

∵∠1=∠2，∠AOG=∠FOE，

∴∠1+∠FOE=∠2+∠AOG，

∴∠FOC=∠AOC，

∵∠AOC=∠BOD，∠BOD=56°，

∴∠FOC=56°．

【点评】本题考查了对顶角相等，熟记性质并准确识图求出∠FOC=∠AOC 是解题的关键．

6．（2014 秋•硚口区期末）如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，射线 OE 平分∠BOF．

（1）∠AOD 的对顶角是∠BOC，∠BOC 的邻补角是∠AOC，∠BOD；

（2）若∠AOD=20°，∠DOF：

∠FOB=1：

7，求∠EOC 的度数．

【分析】 1）根据对顶角和邻补角的定义可直接得出答案；

（2）根据∠AOD=20°和∠DOF：

∠FOB=1：

7，求出∠BOF 等于 140°，所以∠EOB 等于 70°，所以∠EOC 等于

90°．

【解答】解：

（1）∵直线 AB 与 CD 相交于点 O，

∴∠AOD 的对顶角是∠BOC，∠BOC 的邻补角是∠AOC，∠BOD；

（2）∵OE 平分∠BOF，

∴∠BOE=EOF，

∵∠DOF：

∠FOB=1：

7，∠AOD=20°，

∴∠DOF= ∠BOD= ×（180°﹣20°）=20°，

∴∠BOF=140°，

∴∠BOE= ∠BOE= ∠BOF= ×140°=70°，

∴∠EOC=∠BOC+∠EOB=70°+20°=90°；

所以∠EOC 等于 90°．

【点评】本题考查了对顶角、邻补角以及角平分线的性质，主要利用对顶角相等，邻补角的定义和角平分线的

定义求解．

7．（2014 秋•南通期末）如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF=65°．

求：

（1）∠AOC 的度数；

（2）∠BOE 的度数．

【分析】 1）根据 OF⊥AB 得出∠BOF 是直角，则∠BOD=90°﹣∠DOF，再利用对顶角相等得出∠AOC=∠BOD；

（2）由 OE⊥CD 得出∠DOE=90°，则∠BOE=90°﹣∠BOD．

【解答】解：

（1）∵OF⊥AB，

∴∠BOF=90°，

∴∠BOD=90°﹣∠DOF=90°﹣65°=25°，

∴∠AOC=∠BOD=25°；

（2）∵OE⊥CD，

∴∠DOE=90°，

∴∠BOE=90°﹣∠BOD=90°﹣25°=65°．

【点评】本题考查了对顶角相等的性质，垂直的定义以及角的计算，是基础题，比较简单．准确识图是解题的

关键．

8．（2013 秋•宜兴市期末）如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OE 平分∠AOC，OF 平分∠AOD，

（1）求∠EOF 的度数．

（2）∠AOE：

∠BOG：

∠AOF=2：

4：

7，求∠COG 的度数．

【分析】 1）根据角平分线的定义表示出∠AOE 和∠AOF，然后根据∠EOF=∠AOE+∠AOF 计算即可得解；

（2）根据比值求出∠AOE 和∠AOF 的度数，再求出∠BOG，再根据角平分线的定义求出∠AOC，然后根据平

角等于 180°求出∠BOC，再根据∠COG=∠BOC﹣∠BOG 列式计算即可得解．

【解答】解：

（1）∵OE 平分∠AOC，

∴∠AOE= ∠AOC，

∵OF 平分∠AOD，

∴∠AOF= ∠AOD，

∵∠AOC+∠AOD=180°，

∴∠EOF=∠AOE+∠AOF=90°；

（2）∵∠AOE：

∠BOG：

∠AOF=2：

4：

7，∠AOE+∠AOF=90°，

∴∠AOE=20°，∠AOF=70°，∠BOG=40°，

∵OE 平分∠AOC，

∴∠AOC=2∠AOE=2×20°=40°，

∵∠AOC+∠BOC=180°，

∴∠BOC=140°，

∴∠COG=∠BOC﹣∠BOG=140°﹣40°=100°．

答：

∠EOF 的度数为 90°，∠COG 的度数为 100°．

【点评】本题考查了角的计算，主要利用了角平分线的定义，邻补角的定义，熟记概念并准确识图，理清图中

各个角度之间的关系是解题的关键．

9．（2014 秋 无锡校级期末）如图，直线 AB 与 CD 相交于点 D，OE⊥AB，OF⊥CD．

（1）图中∠AOF 的余角有∠EOF，∠AOC，∠BOD；（把符合条件的角都填出来）

（2）如果∠AOD=140°，那么根据对顶角相等，可得∠BOC=140度；

（3）∠EOF= ∠AOD，求∠EOF 的度数．

【分析】 1）根据余角的定义、性质，可得答案；

（2）根据对顶角的性质，可得答案；

（3）根据余角的性质，可得∠EOF 与∠BOD 的关系，根据平角的定义，可得答案．

【解答】解：

（1）图中∠AOF 的余角有∠EOF，∠AOC，∠BOD；（把符合条件的角都填出来）

（2）如果∠AOD=140°，那么根据 对顶角相等，可得∠BOC=140 度；

故答案为：

∠EOF，∠AOC，∠BOD；对顶角相等，140；

（3）∵∠EOF+AOF=90°，∠AOC+∠AOF=90°，

∴∠EOF=∠AOC=∠BOD．

∵∠AOD+∠BOD=180°，∠EOF= ∠AOD

∴5∠EOF+∠BOD=180°，

即 6∠EOF=180°，

∠EOF=30°．

【点评】本题考查了对顶角、邻补角，利用了余角的性质，对顶角的性质，邻补角的性质．

10．（2014 秋•宝应县期末）如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OP 是∠BOC 的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．

（1）图中除直角外，还有相等的角吗？

请写出两对：

①∠COE=∠BOF；②∠COP=∠BOP．

（2）如果∠AOD=40°．

①那么根据对顶角相等，可得∠BOC=40度．

②因为 OP 是∠BOC 的平分线，所以∠COP= ∠BOC=20度．

③求∠BOF 的度数．

【分析】 1）根据同角的余角相等可知∠COE=∠BOF，利用角平分线的性质可得∠COP=∠BOP，对顶角相等

的性质得∠COB=∠AOD．

（2）①根据对顶角相等可得．

②利用角平分线的性质得．

③利用互余的关系可得．

【解答】解：

（1）∠COE=∠BOF、∠COP=∠BOP、∠COB=∠AOD（写出任意两个即可）；

（2）①对顶角相等，40 度；

②∠COP= ∠BOC=20°；

③∵∠AOD=40°，

∴∠BOF=90°﹣40°=50°．

【点评】结合图形找出各角之间的关系，利用角平分线的概念，余角的定义以及对顶角相等的性质进行计算．

11．（2013 秋•滦南县期末）如图，AO⊥BC，DO⊥OE，OF 平分∠AOD，∠AOE=35°．

（1）求∠COD 的度数；

（2）求∠AOF 的度数；

（3）你能找出图中有关角的等量关系吗？

（写出 3 个）

【分析】 1）∠COD=∠AOC+∠AOD，求出∠AOD 即可，而∠AOD=∠DOE﹣∠AOE；

（2）根据∠AOF= （∠DOE﹣∠AOE）可以求解；

（3）根据角平分线以及垂直的定义，即可求解．

【解答】解：

根据题意，

（1）∵AO⊥BC，DO⊥OE，

∴∠AOC 和∠DOE 是直角，

∴∠COD=∠AOC+∠AOD=90°+（90°﹣35°）=145°；

（2）∵OF 平分∠AOD，

∠AOF= （∠DOE﹣∠AOE）= （90°﹣35°）=27.5°．

（3）∵AO⊥BC，DO⊥OE，

∴∠AOC 和∠DOE 是直角，两角相等；

OF 平分∠AOD，则∠AOF=∠DOF；

AO⊥BC，则∠AOB=∠AOC．（答案不唯一）

【点评】根据所给的条件，明确各角之间的关系是解题的关键．

12．（2013 秋•泰兴市校级期末）如图，平面上有三点 A、B、C．

（1）画直线 AB，画射线 BC （不写作法，下同）；

（2）过点 A 画直线 BC 的垂线，垂足为 G；过点 A 画直线 AB 的垂线，交射线 BC 于点 H．

（3）线段AG的长度是点 A 到直线 BC 的距离，线段 AH 的长度是点H到直线AB的距离．

（4）线段 AG、AH 的大小关系为 AG＜AH．理由是：

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂

线段最短最短．

【分析】 1）

（2）根据垂线的画法画图即可；

（3）根据点到直线的距离：

直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离填空；

（4）根据垂线段的性质：

垂线段最短可得答案．

【解答】解：

（1）

（2）如图所示：

（3）线段 AG 的长度是点 A 到直线 BC 的距离，线段 AH 的长度是点 H 到直线 AB 的距离．

（4）AG＜AH．

理由是：

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．

【点评】此题主要考查了垂线，以及垂线的性质，关键是正确画出图形，掌握点到直线的距离的定义．

13．（2014 秋•贵港期末）如图，直线 AB、CD 相交于点 O，∠BOD=40°，按下列要求画图并回答问题：

（1）在直线 AB 上方画射线 OE，使 OE⊥AB；

（2）分别在射线 OA、OE 上截取线段 OM、ON，使 OM=ON，连结 MN；

（3）画∠AOD 的平分线 OF 交 MN 于点 F；

（4）直接写出∠COF 和∠EOF 的度数：

∠COF=110度，

∠EOF=20度．

【分析】 1）根据题意化成 OE⊥AB 即可；

（2）用圆规作 ON=OM，连接 MN 即可；

（3）作∠AOD 的平分线即可得出答案；

（4）求出∠AOD，求出∠AOF，即可求出答案．

【解答】解：

（1）如图，射线 OE；

（2）如图 ON、OM，线段 MN；

（3）如图 OF 平分∠AOD，交 MN 于点 F；

（4）∠COF=110°∠EOF=20°，

理由是：

∵∠BOD=40°，

∴∠AOD=180°﹣40°=140°，

∵OF 平分∠AOD，

∴∠AOF= ∠AOD=70°，

∴∠EOF=90°﹣70°=20°，

∵∠AOC=∠BOD=40°，

∴∠COF=70°+40°=110°，

故答案为：

110，20．

【点评】本题考查了角的有关计算和画图的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．

14．（2014 秋 四川校级期末）如图，直线 AB．CD 相交于点 O，OM⊥AB，NO⊥CD．

（1）若∠1=∠2，求∠AOD 的度数；

（2）若∠1= ∠BOC，求∠2 和∠MOD．

【分析】由已知垂直直线可以得到直角：

∠BOM=∠AOM=∠NOD=∠CON=90°

（1）∠AOD=∠NOD+（90°﹣∠2）；

（2）根据邻补角的定义来求∠2，根据图形和对顶角的定义来求∠MOD．

【解答】解：

∵OM⊥AB，NO⊥CD，

∴∠BOM=∠AOM=∠NOD=∠CON=90°

（1）∵∠1=∠2，

∴∠1=∠2=45°．

∴∠AOD=∠NOD+（∠AON﹣∠2）=90°+90°﹣45°=135°，即∠AOD 的度数是 135°；

（2）∵∠1+∠BOM=∠BOC，∠1= ∠BOC，

∴∠BOC=120°，

∴∠2=180°﹣∠BOC=60°．

∵∠BOD=∠2=60°，

∴∠MOD=∠MOB+∠BOD=90°+∠2=90°+60°=150°，即∠MOD=150°．

【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角．本题利用垂直的定义，对顶角和互补的性质计算，要注意领会由

垂直得直角这一要点．

15．（2013 秋 泰兴市校级期末）如图，直线 AB 与 CD 相交于 O，OE⊥AB，OF⊥CD，

（1）图中与∠COE 互余的角是∠AOC，∠BOD；图中与∠COE 互补的角是∠BOF，∠EOD；（把符

合