数字信号处理课程设计报告IIR数字滤波器的设计.docx
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数字信号处理课程设计报告IIR数字滤波器的设计
吉林建筑大学
电气与电子信息工程学院
数字信号处理课程设计报告
设计题目：
IIR数字滤波器的设计
专业班级：
信科121
学生姓名：
学号：
指导教师：
王蓉晖王超
设计时间：
2015.1.12－2015.1.16
教师评语：
成绩评阅教师日期
摘要................................................
第1章绪论.........................................1
1.1设计的作用、目的.....................................1
1.2设计任务及要求.......................................1
1.3设计内容.............................................1
第2章IIR数字低通波器的原理........................2
2.1数字低通滤波器的设计原理.............................2
2.2IIR数字滤波器采用方法的原理.........................3
第3章IIR数字滤波器仿真分析........................8
3.1设计步骤..............................................8
3.2数字低通滤波器MATLAB编程及幅频特性曲线..............11
3.3优缺点...............................................14
总结.................................................15
参考文献.............................................16
摘要
数字滤波器，又名“无限脉冲响应数字滤波器”，或“递归滤波器”。
递归滤波器，也就是IIR数字滤波器，IIR数字滤波器在设计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和椭圆滤波器等，有现成的设计数据或图表可查，其设计工作量比较小，对计算工具的要求不高。
在设计一个IIR数字滤波器时，我们根据指标先写出模拟滤波器的公式，然后通过一定的变换，将模拟滤波器的公式转换成数字滤波器的公式。
一般认为具有无限的脉冲响应。
熟悉巴特沃斯模拟滤波器的频率特性掌握用冲激响应不变法、双线性变换法设计
IIR滤波器的原理及方法熟悉相应的MATLAB编程。
第1章绪论
1.1设计的作用、目的
掌握脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR数字滤波器的具体方法和原理，熟悉双线性变换法和脉冲响应不变法设计低通、带通IIR数字滤波器的计算机编程。
观察双线性变换法和脉冲响应不变法设计的数字滤波器的频域特性，了
解双线性变换法和脉冲响应不变法的特点和区别。
课程设计是理论学习的延伸，是掌握所学知识的一种重要手段，对于贯彻理论联系实际、提高学习质量、塑造自身能力等于有特殊作用。
本次课程设计一方面通过MATLAB仿真设计内容，使我们加深对理论知识的理解，同时增强其逻辑思维能力，另一方面对课堂所学理论知识作一个总结和补充。
1.2设计任务及要求
1.2.1设计任务：
已知通带截止频率,通带最大衰减,阻带截止频率，阻带最小衰减，T=1ms，按照以上技术要求，用脉冲响应不变法和双线性变换法设计巴特沃斯数字低通滤波器，并观察所设计数字滤波器的幅频特性曲线。
1.2.2通过课程设计各环节的实践，应达到如下要求：
（1）掌握双线性变换法及脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器以及窗
函数法设计FIR数字滤波器的原理、具体方法及计算机编程；
（2）观察双线性变换法、脉冲响应不变法及窗函数法设计的滤波器的
频域特性，了解各种方法的特点；
（3）用MATLAB画出三种方法设计数字滤波器的幅频特性曲线，记录
带宽和衰减量，检查结果是否满足要求。
1.3设计内容
已知通带截止频率
通带最大衰减
阻带截止频率
，阻带最小衰减
，T=1ms，按照以上技术要求，用脉冲响应不变法和双线性变换法设计巴特沃斯数字低通滤波器，并观察所设计数字滤波器的幅频特性曲线。
第2章IIR数字低通波器的原理
2.1数字低通滤波器的设计原理
数字滤波器可以分为两大类：
一类是经典滤波器，即一般的滤波器特点是输入信号中有用的频率成分和希望滤去的频率成分各占不同的频率带，通过一个合适的选频滤波器达到绿宝锝目的，这种滤波器主要有维纳滤波器尔曼滤波器，自适应滤波器等。
数字滤波器是一个离散时间系统。
应用数字滤波器处理模拟信号时，首先须对输入模拟信号进行限带、抽样和模数转换。
数字滤波器输入信号的抽样率应大于被处理信号带宽的两倍。
数字滤波器的频率响应具有以抽样频率为间隔的周期重复特性，且以折叠频率（即二分之一抽样频率点）呈镜像对称。
为得到模拟信号，数字滤波器处理的输出数字信号须经数模转换、平滑。
数字滤波器具有高精度、高可靠性、可程控改变特性或复用、便于集成等优点。
数字滤波器在语声信号处理、图像信号处理、医学生物信号处理以及其他应用领域（如通信、雷达、声纳、仪器仪表和地震勘探等）都得到了广泛的应用。
数字滤波器有低通、高通、带通、带阻和全通等类型。
它可以是时不变的或时变的、因果的或非因果的、线性的或非线性的。
如果数字滤波器的内部参数不随时间而变化，则称为时不变的，否则为时变的。
如果数字滤波器在某一给定时刻的响应与在此时刻以后的激励无关，则称为因果的，否则为非因果的。
如果数字滤波器对单一或多个激励信号的响应满足线性条件，则称为线性的，否则为非线性的。
应用最广的是线性、时不变数字滤波器。
数字滤波器可以按所处理信号的维数分为一维、二维或多维数字滤波器。
一维数字滤波器处理的信号为单变量函数序列，例如时间函数的抽样值。
二维或多维数字滤波器处理的信号为两个或多个变量函数序列。
例如，二维图像离散信号是平面坐标上的抽样值。
与模拟滤波器相同，数字滤波器从功能上看可分为低通、高通、带通和带阻几类。
因为它们的单位脉冲响应是非因果且无限长的，所以实际上理想滤波器是不可能实现的。
与模拟滤波器不同的是数字滤波器的传输函数都是以2π为周期的，滤波器的低通频带处于2π的整数倍处，而高频频带处于π的奇数倍附近。
理想滤波器就是一个让输入信号中的某些有用频谱分量无任何变化的通过，同时又能完全抑制另外那些不需要的成分的具有某种选择性的器件、网络或以计算机硬件支持的计算机程序。
根据对不同信号的处理可将滤波器分为模拟滤波器和数字滤波器两种。
模拟滤波器和数字滤波器的概念相同，只是信号的形式和实现滤波方法不同。
数字滤波器是指输入输出都是数字信号的滤波器。
滤波器的滤波原理局势根据信号与噪声占据不同的频带，将噪声的频率放在滤波器的阻带中，而由于阻带的响应为零，这样就滤去了噪声。
一个理想滤波器将。
是一个无法实现的非因果系统，我们只能用一个稳定的因果系统函数去逼近工程需要的确定的性能要求。
数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应（IIR）滤波器和有限长冲激响应（FIR）滤波器。
IIR滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应。
这种滤波器一般需要用递归模型来实现，因而有时也称之为递归滤波器。
FIR滤波器的冲激响应只能延续一定时间，在工程实际中可以采用递归的方式实现，也可以采用非递归的方式实现。
数字滤波器的设计方法有多种，如双线性变换法、窗函数设计法、插值逼近法和Chebyshev逼近法等等。
随着MATLAB软件尤其是MATLAB的信号处理工作箱的不断完善，不仅数字滤波器的计算机辅助设计有了可能，而且还可以使设计达到最优化。
（1）确定指标
在设计一个滤波器之前，必须首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标。
在很多实际应用中，数字滤波器常常被用来实现选频操作。
因此，指标的形式一般在频域中给出幅度和相位响应。
幅度指标主要以两种方式给出。
第一种是绝对指标。
它提供对幅度响应函数的要求，一般应用于FIR滤波器的设计。
第二种指标是相对指标。
它以分贝值的形式给出要求。
在工程实际中，这种指标最受欢迎。
对于相位响应指标形式，通常希望系统在通频带中具有线性相位。
运用线性相位响应指标进行滤波器设计具有如下优点：
①只包含实数算法，不涉及复数运算；②不存在延迟失真，只有固定数量的延迟；③长度为N的滤波器（阶数为N-1），计算量为N/2数量级。
（2）逼近
确定了技术指标后，就可以建立一个目标的数字滤波器模型。
通常采用理想的数字滤波器模型。
之后，利用数字滤波器的设计方法，设计出一个实际滤波器模型来逼近给定的目标。
（3）性能分析和计算机仿真
上两步的结果是得到以差分或系统函数或冲激响应描述的滤波器。
根据这个描述就可以分析其频率特性和相位特性，以验证设计结果是否满足指标要求；或者利用计算机仿真实现设计的滤波器，再分析滤波结果来判断。
（4）滤波器的性能指标
我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。
一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。
以低通滤波器特性为例，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围。
在通带内：
在阻带中：
其中
为通带截止频率，Ap为通带误差，
为阻带误差。
与模拟滤波器类似，数字滤波器按频率特性划分为低通、高通、带通、带阻、全通等类型，由于数字滤波器的频率响应是周期性的，周期为
。
2.2IIR数字滤波器采用方法的原理
利用模拟滤波器成熟的理论及其设计方法来设计IIR数字低通滤波器是常用的方法。
2.2.1设计过程
按照数字滤波器技术指标要求设计一个过度模拟低通滤波器，在按照一定的转换关系将转换成数字低通滤波器的系统函数。
由此可见，设计的关键问题就是找到这种转换关系，将s平面上的转换成z平面上的。
为了保证转换后的稳定且满足技术指标要求，对转换关系提出两点要求：
（1）因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。
（2）数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响特性，s平面的虚轴映射为z平面的单位圆，响应的频率之间呈线性关系。
一个无限脉冲响应系统的传递函数具有可选择极点和可选择零点（而有线脉冲响应系统只具有可选择零点以及位于原点的固定极点）。
模拟系统同样具有极点和零点，甚至经常只有极点（多项式滤波器或全几点滤波器）。
由此得出结论是，通过把PN图从s域映像变换到z域中，可以用一个无限脉冲（IIR）系统对模拟滤波器进行数字仿真。
目前，IIR数字滤波器设计最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。
模拟滤波器设计已经有了一套相当成熟的方法，它不但有完整的设计公式，而且还有较为完整的图表供查询，因此，充分利用这些已有的资源将会给数字滤波器的设计带来很大方便。
将高通、带通或者带阻数字滤波器的技术指标先转化为低通滤波器的技术指标，然后按上述步骤
（2）设计出模拟低通滤波器H（s），再由冲击响应不变法或双线性变换将H（s）转换为所需的H（z）。
s-z映射的方法有：
冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法等。
实际中有三种广泛应用的滤波器原型，既巴特沃斯低通滤波器、切比雪夫低通滤波器、椭圆低通滤波器。
2.2.2巴特沃斯低通滤波器
这种滤波器的特征是其通带和阻带都有平坦的幅度响应。
N阶低通滤波器的平方幅度响应的表达式为：
通带：
使信号通过的频带
阻带：
抑制噪声通过的频带
过渡带：
通带到阻带间过渡的频率范围
Ωc：
截止频率。
过渡带为零
阻带|H（jΩ）|=0
通带内幅度|H（jΩ）|=cons.
H（jΩ）的相位是线性的
其中N为滤波器的阶数，Ωc是边缘频率（单位为rad/s）。
取N=1,2,10，可得到平方幅频响应。
N增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。
通带内，分母Ω/Ωc<1,
（Ω/Ωc）2N<1，A（Ω2）→1。
过渡带和阻带，Ω/Ωc>1，（Ω/Ωc）2N>1,Ω增加，A（Ω2）快速减小。
Ω=Ωc,,幅度衰减，相当于3db衰减点。
振幅平方函数的极点
可见，巴特沃斯滤波器的振幅平方函数有2N个极点，它们均匀对称地分布在|S|=Ωc的圆周上。
考虑到系统的稳定性，知DF的系统函数是由S平面左半部分的极点（SP3，SP4，SP5）组成的，它们分别为：
系统函数为：
归一化的三阶BF：
如果要还原的话，则有
2.2.3脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器
利用模拟滤波器成熟的理论及其设计方法来设计IRR数字低通滤波器是通常的方法。
从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应模仿模拟滤波器的冲击响应，即h（n）是ha（t）的采样值。
设T为采样周期，变换过程
利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。
脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h（n）模仿模拟滤波器的冲激响应ha（t），即将ha（t）进行等间隔采样，使h（n）正好等于ha（t）的采样值，满足h（n）=ha（nT）式中,T是采样周期。
如果令Ha（s）是h其中T为采样间隔。
如果以Ha（s）及H（z）分别表示ha（t）的拉氏变换及h（n）的Z变换，则a（t）的拉普拉斯变换，H（z）为h（n）的Z变换，利用采样序列的Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系
脉冲响应不变法设计中，模拟频率与数字频率之间的转换关系是线性的（
）。
同时，它可以保持脉冲响应不变，
。
因此，这一方法往往用于低通时域数字滤波器设计及相应的模拟系统数字仿真设计。
a.频率混叠现象
数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。
只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真。
即
但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的（非理想），变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。
这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而是有一定的失真。
当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。
这时采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。
如图2-1所示这种频谱混叠现象会使设计出的数字滤波器在
附近的频率响应特性程度不同的偏离模拟滤波器在
附近的频率特性，严重时使数字滤波器不满足给定指标。
为此，希望设计的滤波器是带限滤波器。
高通和带阻滤波器不适合这种方法设计。
综上所述，脉冲响应不变法的优点是频率坐标变换是线性的，如果不考虑频率混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频率特性。
另一个优点是数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位脉冲响应，时域特性逼近好。
其缺点是会产生频谱混叠现象，使数字滤波器的频响偏离模拟滤波器的频响。
脉冲响应不变法适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。
图2-1脉冲响应不变法的频率混叠现象
2.2.4采用双线性变换法设计IIR数字滤波器
脉冲响应不变法的缺点主要是会产生频谱混叠现象，使数字滤波器偏离模拟滤波器的频响特性。
为了克服这一缺点，采用非线性频率压缩方法，将整个模拟频率轴压缩。
Ω=2/T*tan（w/2）
T是采样区间。
转到z平面得
先确定数字低通滤波器的技术指标：
带通边界频率
带通最大衰减
阻带截止频率
阻带最小衰减
将边界频率转换
S平面的虚轴单值地映射于z平面的单位圆上，s平面的左半平面完全映射到z平面的单位圆内。
双线性变换不存在频率混叠问题。
在MATLAB中，可用函数bilinear实现从模拟滤波器到数字滤波器的双线性变换映射。
双线性变换是一种非线性变换，这种非线性引起的幅频特性畸变可通过预畸变得到校正。
第3章IIR数字滤波器仿真分析
3.1设计步骤
3.1.1脉冲响应不变法设计步骤
（1）频率归一化问题
冲响应不变法是实现模拟滤波器数字化的一种直观而常用的方法。
它特别适合于对滤波器的时域特性有一定要求的场合。
脉冲响应不变法的核心原理是通过对连续函数ha（t）等间隔采样得到离散序列ha（nT）。
令h（n）=ha（nT），T为采样间隔。
它是一种时域上的转换方法。
一个模拟滤波器的传递函数可以用有理分式表达式表示为：
通过反拉普拉斯变换我们就可以得到它的冲激相应：
脉冲响应不变法就是要保证脉冲响应不变，即：
上式的冲激相应序列
作
变换，就可以得到数字滤波器的传递函数：
一般来说，
的分母多项式阶次总是大于分子多项式的阶次。
假定
的没有多重极点，则式（5-7）就可分解为：
式中
，
均为复数，
是
的极点。
其拉氏变换为
一般来说，
的分母多项式阶次总是大于分子多项式的阶次。
数字滤波器的传递函数H（z）经过合并简化，成为一般形式的有理分式传递函数
在讨论采样序列z变换与模拟信号拉氏变换之间关系的有关章节中，我们已经知道
每一个s平面上宽度为
/T的水平条带将重迭映射到z平面上。
因此脉冲响应不变法将s平面映射到z平面，不是一个简单的一一对应的关系。
对于高采样频率（T小）的情况，数字滤波器在频域可能有极高的增益。
为此我们采用
利用模拟滤波器来设计IIR低通数字滤波器是常用的方法，称之为模拟一数字转换法。
（2）利用在MATLAB设计IIR数字滤波器可分以下几步来实现
按一定规则将数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标；
根据转换后的技术指标使用滤波器阶数函数，确定滤波器的最小阶数N；
利用最小阶数N产生模拟低通滤波原型；
利用截止频率把模拟低通滤波器原型转换成模拟带通原型；
利用冲激响应不变法或双线性不变法把模拟滤波器转换成数字滤波器。
（3）相关参数
T=1ms
N=6
3.1.2双线性变换法设计步骤
根据以上IIR数字滤波器设计方法，采用双线性变换法基于MATLAB设计一个巴特沃斯数字低通滤波器，带截止频率
通带最大衰减
阻带截止频率
，阻带最小衰减
，T=1ms
根据任务,确定性能指标:
在设计低通滤波器之前,首先根据工程实际的需要确定滤波器的设计指标:
通带截止频率
阻带截止频率
通带最大衰减
阻带最小衰减
=1.2566
=1.8849
根据公式Ω=2/T*tan（w/2）进行预修正，将数字滤波器指标转换成模拟滤波器设计指标，对双线性变换法一般T=1ms
=（2/T）*tan（
/2）
=（2/T）*tan（
/2）
=1dB
=25dB;
N=6
3.2数字低通滤波器MATLAB编程及幅频特性曲线
3.2.1MATLAB语言编程
（1）脉冲响应不变法：
Fs=1000;%采样频率为周期倒数
Wp=400*pi;
Ws=600*pi;%设置归一化通带和阻带截止频率
Ap=1;
As=25;%设置通带最大和最小衰减
[N,Wc]=buttord（Wp,Ws,Ap,As,'s'）;%调用butter函数
[B,A]=butter（N,Wc,'s'）;%设计巴特沃斯滤波器
W=（0:
pi:
1000）;%指定一段频率值
[D,C]=impinvar（B,A,Fs）;%调用脉冲响应不变法
W=（0:
0.001:
pi）
Hz=freqz（D,C,W）;%返回频率响应
plot（W,abs（Hz）/abs（Hz
（1）））;%绘出幅频特性曲线
grid;
xlabel（'频率'）;
ylabel（'幅值\dB'）;
（2）双线性变换法
wp=0.4*pi;%通带截止频率
ws=0.6*pi;%阻带截止频率
Ap=1;%通带最大衰减
As=25;%阻带最小衰减
T=0.001;fs=1/T;
Wp=2/T*tan（wp/2）;Ws=2/T*tan（ws/2）;
[N,Wn]=buttord（Wp,Ws,Ap,As,'s'）;%巴特沃斯滤波器
[b,a]=butter（N,Wn,'s'）;
[numd,dend]=bilinear（b,a,fs）;%双线性变换法
w=linspace（0,pi,500）;
h=freqz（numd,dend,w）;
plot（w,20*log10（abs（h）））;
xlabel（'频率'）;
ylabel（'幅度/dB'）;
grid;title（'双线性变换法'）;
3.2.2幅频特性曲线
（1）脉冲响应不变法
图3-1
Ap=1,As=25,Fs=1000,Wc=1.369268611959261e+03,Wp=1.256637061435917e+03
Ws=1.884955592153876e+03
A=[1,7.885303666046043e+03,3.108900695287958e+07,8.000392885207492e+10,1.475920968172557e+14,2.020932255451204e+17,2.053890440162035e+20,1.496408320076508e+23,7.116050029613046e+25,1.691990325921431e+28]
B=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,1.691990325921431e+28]
C=[1,-1.919940662665034,2.532351531105067,-2.205257262678870,1.386786124116544,-0.630894421427259,0.204467001672835,-0.044995465406303,0.006049838435517,-3.762323452047202e-04]
D=[-7.767084753140807e-13,1.677227578906053e-04,0.015295223041337,0.099548037576103,0.144380467187304,0.061131885122289,0.007470107777323,1.973357622301677e-04,3.656905171283142e-07,0]
（2）双线性变换法
图3-2
Ap=1,As=25,wp=1.256637061435917,ws=1.884955592153876
a=[1,6.584973310037336e+03,2.168093674695203e+07,4.525576614274616e+10,6.297650306260731e+13,5.555907639115123e+16,2.450764030490121e+19]
b=[0,0,0,0,0,0,2.450764030490121e+19]
3.3优缺点
用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器的缺点是会产生频谱混叠现象，使数字滤波器的频响偏离模拟滤波器的频响特性。
产生的原因是模拟低通滤波器不是带限于折叠频率π/T
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