学而思六年级奥数第七讲行程问题一刘用教师版.docx
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学而思六年级奥数第七讲行程问题一刘用教师版
第一讲行程问题
学习目标：
1、比例的基本性质
2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题
3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；
4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题
知识点拨：
发车问题
（1）、一般间隔发车问题。
用3个公式迅速作答；
汽车间距=（汽车速度+行人速度）X相遇事件时间间隔
汽车间距=（汽车速度-行人速度）X追及事件时间间隔
汽车间距=汽车速度X汽车发车时间间隔
（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。
标准方法是：
画图一一尽可能多的列3个好使公式一一结合s全程=vXt-结合植树问题数数。
（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡
火车过桥
火车过桥问题常用方法
⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和.
⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和.
⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.
对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.
接送问题
根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：
（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）
（2）车速不变-班速不变-班数多个（3）车速不变-班速变-班数2个（4）车速变-班速不变-班数2个
标准解法：
画图＋列3个式子
1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；
3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。
时钟问题：
时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。
流水行船问题中的相遇与追及
1两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：
甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速
2同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关
甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速
也有：
甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.说明：
两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系.
例题精讲：
模块一发车问题
【例1】某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出.在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场.以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场.回场的出租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：
从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？
【解析】这个题可以简单的找规律求解
时间车辆
4分钟9辆
6分钟10辆
8分钟9辆
12分钟9辆
16分钟8辆
18分钟9辆
20分钟8辆
24分钟8辆
由此可以看出：
每12分钟就减少一辆车，但该题需要注意的是：
到了剩下一辆的时候是不符合这种
规律的到了12*9=108分钟的时候，剩下一辆车，这时再经过4分钟车厂恰好没有车了，所以第112分钟时就没有车辆了，但题目中问从第一辆出租汽车开出后，所以应该为108分钟。
例2】某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5千米的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分
钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行．问：
电车的速度是多少？
电车之间的时间间隔是多少？
【解析】设电车的速度为每分钟x米•人的速度为每小时4.5千米，相当于每分钟75米•根据题意可列方程如下：
x757.2x7512，解得x300，即电车的速度为每分钟300米，相当于每小时18千米•相同方向的两辆电车之间的距离为：
30075122700（米），所以电车之间的时间间隔为：
27003009（分钟）•
巩固】某人以匀速行走在一条公路上,公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车.他发现每隔15分钟有一辆公共汽车追上他；每隔10分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过.问公共汽车每隔多少分钟发车一辆?
【巩固】某人沿电车线路行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来.假设两
个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔.
例3】一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆
公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？
解析】要求汽车的发车时间间隔，只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了，但题目没有直接告诉我们这两个条件，如何求出这两个量呢？
由题可知：
相邻两汽车之间的距离（以下简称间隔距离）是不变的，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离，每隔6分钟就有一辆汽车超过步行人，
这就是说：
当一辆汽车超过步行人时，下一辆汽车要用6分钟才能追上步行人，汽车与行人的路程
差就是相邻两汽车的间隔距离。
对于骑车人可作同样的分析.
因此，如果我们把汽车的速度记作V汽，骑车人的速度为V自，步行人的速度为V人（单位都是米/分钟），则：
间隔距离=（V汽-V人）X6（米），间隔距离=（V汽-V自）X10（米）,V自=3V人。
综合上面的三个式子，可得：
V汽=6V人，即V人=1/6V汽，
贝间隔距离=（V汽-1/6V汽）X6=5V汽（米）
所以，汽车的发车时间间隔就等于：
间隔距离十V汽=5V汽（米）十V汽（米/分钟）=5（分钟）。
巩固】从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。
甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步行。
甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。
那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？
例4】甲城的车站总是以20分钟的时间间隔向乙城发车，甲乙两城之间既有平路又有上坡和下坡，车辆（包括自行车）上坡和下坡的速度分别是平路上的80%和120%，有一名学生从乙城骑车去甲城，
已知该学生平路上的骑车速度是汽车在平路上速度的四分之一，那么这位学生骑车的学生在平路、时每隔多少分钟遇到一辆汽车？
解析】先看平路上的情况，汽车每分钟行驶汽车平路上汽车间隔的1/20，那么每分钟自行车在平路上行驶
汽车平路上间隔的1/80，所以在平路上自行车与汽车每分钟合走汽车平路上间隔的1/20+1/80=1/16，所以该学生每隔16分钟遇到一辆汽车
【例5】某人乘坐观光游船沿顺流方向从A港到B港。
发现每隔40分钟就有一艘货船从后面追上游船，每
隔20分钟就会有一艘货船迎面开过，已知A、B两港间货船的发船间隔时间相同，且船在净水中
的速度相同，均是水速的7倍，那么货船发出的时间间隔是分钟。
【解析】由于间隔时间相同，设顺水两货船之间的距离为“1”，逆水两货船之间的距离为（7-1）+（7+1）
=3/4。
所以，货船顺水速度—游船顺水速度=1/40,即货船静水速度—游船静水速度=1/4,货船
逆水速度+游船顺水速度=3/4X1/20=3/80,即货船静水速度+游船静水速度=3/80，可以求得货船静水速度是（1/40+3/80）+2=1/32,货船顺水速度是"32X（1+1/7）=1/28），所以货船的发出间隔时间是1+1/28=28分钟。
模块二火车过桥
【例6】小李在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是1.5米/秒，这时迎面开来一列火
车,从车头到车尾经过他身旁共用了20秒．已知火车全长390米,求火车的速度．
【答案】18米/秒
【例7】小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一块表记下了火车从她面前通过所花的时间是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是20秒.已知两电线杆之间的距离是100米.你能帮助小英和小敏算出火车的全长和时速吗?
【例8】练习：
列车通过250米的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒．又知列车的前方有一辆与它同向行驶的货车,货车车身长320米,速度为每秒17米．列车与货车从相遇到相离需要多少秒？
【例9】练习：
某列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒,若该列车与另一
列长150米.时速为72千米的列车相遇,错车而过需要几秒钟？
【例10】硕硕靠窗坐在一列时速60千米的火车里,看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来,当货车车头经过窗口时,他开始计时,直到最后一节车厢驶过窗口时,所计的时间是18秒．已知货车
车厢长15.8米,车厢间距1.2米,货车车头长10米．问货车行驶的速度是多少？
【例11】一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去,铁路旁一条小路上,一位工人也正向北步行。
14时10分时火车追上这位工人,15秒后离开。
14时16分迎面遇到一个向南走的学生,12秒后离开这个学生。
问：
工人与学生将在何时相遇？
例12】同方向行驶的火车,快车每秒行30米,慢车每秒行22米。
如果从辆车头对齐开始算,则行24秒后快车超过慢车,如果从辆车尾对齐开始算,则行28秒后快车超过慢车。
快车长多少米,满车长多少米？
解析】快车每秒行30米,慢车每秒行22米。
如果从辆车头对齐开始算,则行24秒后快车超过慢车,每秒
车那么看来这个慢车比快车车长，长多少呢？
长得就是快车这4秒内比慢车多跑的路程啊4X8=32,
所以慢车224.
练习：
两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：
从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长.
【解析】
【例13】一条单线铁路上有A,B,C,D,E5个车站，它们之间的路程如图所示（单位：
千米）.两列火车同时从A,E两站相对开出，从A站开出的每小时行60千米,从E站开出的每小时行50千米.由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道，要使对面开来的列车通过，必须在车站停车，才能让开行车轨道•因
此，应安排哪个站相遇，才能使停车等候的时间最短•先到这一站的那一列火车至少需要停车多少分
钟？
【解析】
225千米25千米15千米230千米
ABCDE
模块三流水行船
【例14】乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路，用了3小
时•甲船返回原地比去时多用了几小时？
【解析】乙船顺水速度：
120+2=60（千米/小时）•乙船逆水速度：
120+4=30（千米/小时）。
水流速度：
（60-30）+2=15（千米/小时）•甲船顺水速度：
12O+3=4O（千米/小时）。
甲船逆水速度：
40-2X15=10（千米/小时）•甲船逆水航行时间：
120+10=12（小时）。
甲船返回原地比去时多用时间：
12-3=9（小时）.
【例15】船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下需用10小时，逆水而上需用15小时。
由于暴雨后水
速增加，该船顺水而行只需9小时，那么逆水而行需要几小时？
【例16】（2014年“学而思杯”六年级）甲、乙两艘游艇，静水中甲艇每小时行丄千米，乙艇每小时行54千
12
米•现在甲、乙两游艇于同一时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距27千米的上游下行，
两艇于途中相遇后，又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地•水流速度是每小时千米.
【解析】两游艇相向而行时，速度和等于它们在静水中的速度和，所以它们从出发到相遇所用的时间为10小
时.
相遇后又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地，说明甲艇逆水行驶27千米需要10小时，那么甲艇的
逆水速度为1（千米/小时），则水流速度为24（千米/小时）.
【例17】一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16时；顺流航行60千米，逆流航行120千
米也用16时。
求水流的速度。
【例18】一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游50千米处。
客船和货船分别从甲、乙两码头出发向
上游行驶，两船的静水速度相同且始终保持不变。
客船出发时有一物品从船上落入水中，10分钟
后此物距客船5千米。
客船在行驶20千米后折向下游追赶此物，追上时恰好和货船相遇。
求水流的速度。
【解析】5+1/6=30（千米/小时）,所以两处的静水速度均为每小时30千米。
50+30=5/3（小时），所以货船与
物品相遇需要5/3小时，即两船经过5/3小时候相遇。
由于两船静水速度相同，所以客船行驶20千米后两船仍相距50千米。
50+（30+30）=5/6（小时），所以客船调头后经过5/6小时两船相遇。
30-20+（5/3-5/6）=6（千米/小时），所以水流的速度是每小时6千米。
【例19】江上有甲、乙两码头，相距15千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码
头和乙码头出发向下游行驶，5小时后货船追上游船。
又行驶了1小时，货船上有一物品落入江
中（该物品可以浮在水面上），6分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。
则游船在静水中的速度为每小时多少千米？
【解析】此题可以分为几个阶段来考虑。
第一个阶段是一个追及问题。
在货舱追上游船的过程中，两者的追
及距离是15千米，共用了5小时，故两者的速度差是15+5=3千米。
由于两者都是顺水航行，
故在静水中两者的速度差也是3千米。
在紧接着的1个小时中，货船开始领先游船，两者最后相
距3X1=3千米。
这时货船上的东西落入水中，6分钟后货船上的人才发现。
此时货船离落在水中
的东西的距离已经是货船的静水速度X1/10千米，从此时算起，到货船和落入水中的物体相遇，又
是一个相遇问题，两者的速度之和刚好等于货船的静水速度，所以这段时间是货船的静水速度*1/10
+货船的静水速度=1/10小时。
按题意，此时也刚好遇上追上来的游船。
货船开始回追物体时，货船
和游船刚好相距3+3*1/10=33/10千米，两者到相遇共用了1/10小时，帮两者的速度和是每小时
33/10+1/10=33千米，这与它们两在静水中的速度和相等。
（解释一下）又已知在静水中货船比游
船每小时快3千米，故游船的速度为每小时（33-3）+2=15千米。
【例20】（2008年三帆中学考题）一艘船往返于甲、乙两港之间，已知船在静水中的速度为每小时9千米，
平时逆行与顺行所用的时间比是2:
1.一天因下暴雨，水流速度为原来的2倍，这艘船往返共用
10小时，问：
甲、乙两港相距千米.
【例21】一条小河流过A,B,C三镇.A,B两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C
两镇之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C两镇水路相距50千米,水
流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上船顺流而下到B镇，吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C镇,共用8小时.那么A,B两镇间的距离是多少千米？
【解析】如下画出示意图
木理r1.5千*尹卜时
so千舉
xs
术韵q
静杓1叶耒旳删
静水：
玄5干嵐Ah时
【例22】河水是流动的，在B点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从A点到B点，然后穿过湖到
C点，共用3小时；若他由C到B再到A，共需6小时.如果湖水也是流动的，速度等于河水速度，从B流向C，那么，这名游泳者从A到B再到C只需2.5小时；问在这样的条件
下，他由C到B再到A，共需多少小时？
【解析】设人在静水中的速度为x，水速为y，人在静水中从B点游到C点需要t小时.
2
根据题意，有6x（6t）y3x（3t）y，即x（3t）y，同样，有2.5x2.5y3x（3t）y,
3
丄，即50（1丄）54—，所以54—；（1210）6054—
1212111111
模块四时钟问题
【例23】现在是10点，再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？
【例24】有一座时钟现在显示10时整•那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟,分针与时针第二次重合？
【例25】一个快钟每时比标准时间快1分，一个慢钟每时比标准时间慢3分。
将两个钟同时调到标准时间,
结果在24时内，快钟显示9点整时，慢钟恰好显示8点整。
此时的标准时间是多少？
课后练习：
练习1.一条街上，一个骑车人与一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人速度的3倍，每隔10分钟有
一辆公共汽车超过行人，每隔20分钟有一辆公共汽车超过骑车人.如果公共汽车从始发站每次间隔
同样的时间发一辆车，那么间隔多少分钟发一辆公共汽车？
练习2.慢车的车身长是142米，车速是每秒17米，快车车身长是173米，车速是每秒22,慢车在前
面行驶，快车从后面追上到完全超过慢车需要多少时间
练习3.高山气象站上白天和夜间的气温相差很大，挂钟受气温的影响走的不正常，每个白天快30秒,
每个夜晚慢20秒。
如果在10月一日清晨将挂钟对准，那么挂钟最早在什么时间恰好快3分？
练习4.某河有相距45千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4分钟后与甲船相距1千米,
预计乙船出发后几小时可与此物相遇。
练习5.2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？
练习6一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米，坐在快车上的人看
见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见块车驶过的时间是多少秒？
模块五、时间相同速度比等于路程比
【例1】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4:
3,二人相遇后继
续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千米，则A、B两地相距多少千米？
【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程
【例2】
【例3】
【例4】
【解析】
模块六、
【例5】
【例6】
45542
程中甲走了31个全程，与第一次相遇地点的距离为
（1）个全程•所以A、B两
77777
2
地相距30105（千米）•
7
（“圆明杯”数学邀请赛）甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D处相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点相距多少米？
甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行.出发时，甲、乙的速度之比是5:
4,相遇
后甲的速度减少20%,乙的速度增加20%•这样当甲到达B地时，乙离A地还有10千米.那么A、B两地相距多少千米？
早晨，小张骑车从甲地出发去乙地•下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地•下午2点
时两人之间的距离是15千米•下午3点时，两人之间的距离还是15千米•下午4点时小王到达乙地，晚上7点小张到达乙地•小张是早晨几点出发？
从题中可以看出小王的速度比小张块•下午2点时两人之间的距离是15千米•下午3点时，两
人之间的距离还是15千米，所以下午2点时小王距小张15千米，下午3点时小王超过小张15千米，可知两人的速度差是每小时30千米•由下午3点开始计算，小王再有1小时就可走完全
程，在这1小时当中，小王比小张多走30千米，那小张3小时走了153045千米，故小张的
速度是453^=15千米/时，小王的速度是15+30=45千米/时.全程是453<=135千米，小张走完全程用了135+15=9小时，所以他是上午10点出发的。
路程相同速度比等于时间的反比
甲、乙两人同时从A地出发到B地，经过3小时，甲先到B地，乙还需要1小时到达B地，此时甲、乙共行了35千米•求A,B两地间的距离.
6分后两人相遇，再过4分甲到达
在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，B点，又过8分两人再次相遇•甲、乙环行一周各需要多少分?
【例7】小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路•小芳上学
走这两条路所用的时间一样多•已知下坡的速度是平路的1.6倍，那么上坡的速度是平路速度的
多少倍？
【例8】一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达•但汽车行驶到路程的3时，出了
5
故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必
须比原来快多少米？
【例9】王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9,结果提前一个半小时
到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高1/6,于是提前1小时40分到达
北京.北京、上海两市间的路程是多少千米？
【例10】一辆车从甲地开往乙地•如果车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速行驶
120千米后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达•那么甲、乙两地相距多少千米？
模块七、比例综合题
【例11】小狗和小猴参加的100米预赛.结果，当小狗跑到终点时，小猴才跑到90米处，决赛时，自作聪
明的小猴突然提出：
小狗天生跑得快，我们站在同一起跑线上不公平，我提议把小狗的起跑线往后挪10米•小狗同意了，小猴乐滋滋的想：
“这样我和小狗就同时到达终点了！
”亲爱的小朋友，
你说小猴会如愿以偿吗？
甲乙两人分别骑车从A地同时同向出发，甲骑自行车，乙骑三轮车.12分钟后丙也骑车从A地
【例12】出发去追甲•丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉头行了3千米时又遇到乙•已知乙的速度是
每小时7.5千米，丙的速度是乙的2倍•那么甲的速度是多少？
丙——>
甲——
11
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