届广东省百校高三大联考数学理试题解析.docx
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届广东省百校高三大联考数学理试题解析
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2020届广东省百校高三11月大联考数学（理）试题解析
学校：
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知集合，集合，则（）
A．B．C．D．
解：
由题意得集合，集合，
.
故选：
C.
点评：
本题考查了集合的运算，属于基础题.
2．在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：
由题意，
其在复平面内对应点的坐标为，位于第二象限.
故选：
B.
点评：
本题考查了复数的运算与复数的几何意义，属于基础题.
3．已知是等差数列的前n项和，，，则（）
A．46B．43C．40D．37
解：
根据等差数列的性质，，
，，
，.
故选:
B.
点评：
本题考查了等差数列的性质与前项和公式的应用，属于基础题.
4．已知x是第二象限角，，则（）
A．B．C．D．
解：
是第二象限角，，是第二象限角，
，
.
故选：
A.
点评：
本题考查了平方关系以及两角和余弦公式的应用，属于基础题.
5．函数的图象在点处的切线与直线平行，则实数（）
A．1B．C．2D．
解：
由得，
由题意得，即，所以.
故选：
D.
点评：
本题考查了导数几何意义的应用，属于基础题.
6．在古代典籍《周易》中，长横“——”表示阳爻，两个短横“——”表示阴爻，有放回地取出阳爻和阴爻六次合成一卦，恰好出现四个阳爻和两个阴爻的概率是（）
A．B．C．D．
答案：
C
由题意，计算出共有种情况，再计算出符合要求的情况有种，计算即可得解.
解：
有放回地取阳爻和阴爻六次，有种情况，恰好出现四个阳爻和两个阴爻有种情况，所以恰好出现四个阳爻和两个阴爻的概率.
故选：
C.
点评：
本题考查了古典概型概率的计算和组合数的应用，属于基础题.
7．函数的大致图象是（）
A．B．C．D．
答案：
B
通过函数的奇偶性、单调性以及当时的值，逐个排除错误选项即可得解.
解：
，是非奇非偶函数，故排除选项D；
，，故排除选项A；
又易知当时，，故排除选项C.
故选：
B.
点评：
本题考查了函数图象的识别，属于基础题.
8．若函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的得到函数的图象，则在上的最小值是（）
A．B．C．D．
答案：
A
由图像可得，再求出，利用整体法即可得解.
解：
由图象知，，
，得，，
又图象过点，即，，
，，
，当，得，
.
故选：
A.
点评：
本题考查了三角函数表达式的确定、图像变换以及值域的求解，属于中档题.
9．设直线l经过椭圆的一个上顶点A和右焦点，且与椭圆交于另一点B，若O为坐标原点，的面积为，且，则该椭圆的标准方程是（）
A．B．C．D．或
答案：
D
由可得；用直线l的方程与椭圆方程联立，可得点B横坐标为，利用面积可得，结合即可得解.
解：
由，得，即.
易知直线l的方程为，即.
联立，消去y并化简得，
解得或.则点B横坐标为.
则①，
又②，
结合①②，解得，或.所以椭圆的标准方程是或.故选：
D.
点评：
本题考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力和方程思想，属于中档题.
10．蹴鞠起源于春秋战国，是现代足球的前身.到了唐代，制作的蹴鞠已接近于现代足球，做法是：
用八片鞣制好的尖皮缝制成“圆形”的球壳，在球壳内放一个动物膀胱，“嘘气闭而吹之”，成为充气的球.如图所示，将八个全等的正三角形缝制成一个空间几何体，在几何体内放一个气球，往气球内充气使几何体膨胀，当几何体膨胀成球体（顶点位置不变）且恰好是原几何体外接球时，测得球的体积是，则正三角形的边长为（）
A．B．C．D．
答案：
A
由题意可知缝制成的空间几何体是正八面体，设边长为a，求得外接球的半径为，列出方程即可得解.
解：
图中的八个全等的正三角形缝制成的空间几何体是正八面体，如图：
设正三角形的边长为a，正八面体的外接球的半径为，
易知.
依题意，整理得，所以.
故选：
A.
点评：
本题考查了立体图形外接球半径的求解以及球的体积公式的应用，考查了方程思想，属于中档题.
11．已知函数，若函数恰有三个零点，则a的取值范围为（）
A．B．C．D．
答案：
B
画出的图像，转化条件得方程有一个解，有两个解,数形结合即可得解.
解：
作出的图象如图：
若函数恰有三个零点，
等价为方程有一个解，有两个解,
故.
故选：
B.
点评：
本题考查了函数零点问题，考查了数形结合和转化化归思想，属于中档题.
12．已知双曲线的左，右焦点分别为，，A，B是双曲线C上的两点，且，，则该双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
答案：
C
设，，根据双曲线的性质结合题意可得，再在中使用余弦定理即可得，即可求出，即可得解.
解：
设，，则，，，
在中，由余弦定理得：
，
解得，，，
在中，，得，
，则该双曲线的渐近线方程为.
故选：
C.
点评：
本题考查了双曲线的性质和余弦定理的应用，属于中档题.
二、填空题
13．已知向量，，，则________.
答案：
先表示出，由题意得，求出后即可得解.
解：
由题知，
，
，解得，
.
故答案为：
.
点评：
本题考查了平面向量线性运算的坐标表示、数量积的应用以及模的计算，属于基础题.
14．若x，y满足约束条件，则的最大值为________.
答案：
9
根据题意画出可行域，化目标函数为斜截式，数形结合即可求得最优解的点，求出点的坐标即可得解.
解：
作出可行域如图中阴影部分所示，
作出直线，平移直线，由图可知，当直线过时，取最大值，由解得，所以.
故答案为：
.
点评：
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的思想，属于基础题.
15．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别为棱，，CD的中点，则平面MNP与正方形相交形成的线段的长度为________.
答案：
由面面平行的性质结合题意，作出平面与正方形的交线，求出长度即可得解.
解：
如图，取得中点，的中点，易知，，
所以点面，点面，
故平面与正方形的交线是，而.
故答案为：
.
点评：
本题考查了面面平行性质的应用和面面相交的性质，属于基础题.
16．在各项均为正数的数列中，，，是数列的前n项和，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.
答案：
转化条件得、、对恒成立，利用基本不等式求出的最小值后即可得解.
解：
，，
，，
又，数列是首项为1公比为3的等比数列，
，，
不等式即对恒成立，
，当且仅当，即时，，，实的取值范围为.
故答案为：
.
点评：
本题考查了等比数列通项和前n项和的求解、基本不等式的应用以及恒成立问题的解决，考查了转化化归思想，属于中档题.
三、解答题
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B为锐角且满足.
（1）求角B的大小；
（2）若，，求的面积.
答案：
（1）；
（2）.
（1）题目条件可转化为，可得，即可得解.
（2）利用余弦定理可得，计算即可求出，利用面积公式即可得解.
解：
（1）由，结合正弦定理得：
，
即，
又在中，，，
而B为锐角，.
（2），，，
即，解得.
故的面积为.
点评：
本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式的应用，属于基础题.
18．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，O是AD的中点.
（1）在线段PA上找一点E，使得平面PCD，并证明；
（2）在
（1）的条件下，若，求平面OBE与平面POC所成的锐二面角的余弦值.
答案：
（1）E是线段PA的中点，证明详见解析；
（2）.
（1）是线段的中点；连接，，，证明平面平面后即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，表示出、、、、的坐标后，分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用即可得解.
解：
（1）是线段的中点，
证明：
连接，，，
是的中点，，
又平面，平面，
平面，
又底面是直角梯形，，，
又平面，平面，
平面，
平面，平面，，
平面平面，
又平面，
平面.
（2）平面平面，，
，平面，且，，
以为原点，如图建立空间直角坐标系，
得，，，，，
得，，
设是平面的一个法向量，
则，得，取，
得，
又易知是平面的一个法向量，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
点评：
本题考查了线面平行的判定和空间向量的应用，考查了计算能力，属于中档题.
19．某超市新上一种瓶装洗发液，为了打响知名度，举行为期六天的低价促销活动，随着活动的有效开展，第六天该超市对前五天中销售的洗发液进行统计，y表示第x天销售洗发液的瓶数，得到统计表格如下：
x
1
2
3
4
5
y
4
6
10
15
20
（1）若y与x具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并预测第六天销售该洗发液的瓶数（按四舍五入取到整数）；
（2）超市打算第六天加大活动力度，购买洗发液可参加抽奖，中奖者可领取奖金20元，中奖概率为，已知甲、乙两名顾客抽奖中奖与否相互独立，求甲、乙所获得奖金之和X的分布列及数学期望.
参考公式：
，.
答案：
（1）；23；
（2）详见解析.
（1）把数据代入公式分别求得，即可求得线性回归方程；把代入线性回归方程即可预测第六天销售该洗发液的瓶数；
（2）易知X的可能取值为0、20、40，根据每个金额对应的中奖情况分别求出对应的概率后列出分布列，进而求出期望.
解：
（1）依题意：
，
，
所以
，，
故所求线性回归方程为.
将代入中，得，
故预测第六天销售该洗发液的瓶数为23.
（2）X的可能取值为0，20，40.
；
；
.
分布列为
X
0
20
40
P
所以X的数学期望.
点评：
本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了离散型随机变量的分布列及其期望，属于中档题.
20．已知点C是平面直角坐标系中的一个动点，过点C且与y轴垂直的直线与直线交于点M，若向量与向量垂直，其中O为坐标原点.
（1）求点C的轨迹方程E；
（2）过曲线E的焦点作互相垂直的两条直线分别交曲线E于A，B，P，Q四点，求四边形APBQ的面积的最小值.
答案：
（1）；
（2）32.
（1）设点，转化条件得，即可得解；
（2）设直线，直线，，，，，联立方程组可得，，则，求出最小值即可得解.
解：
（1）设点.
由题意，点，则，.
因为向量与向量垂直，
所以.
即.
故点的轨迹方程是.
（2）由
（1）知，抛物线E的焦点是，
设直线，则直线.
联立，消去得，
设，，则，.
所以.
设点，，同理可得.
所以
，当且仅当，即时等号成立.
即四边形的面积的最小值为.
点评：
本题考查了轨迹方程的求解、直线和抛物线的位置关系以及基本不等式的应用，属于中档题.
21．已知函数.
（1）讨论函数的极值点的个数；
（2）当函数有两个极值点，时，求证：
.
答案：
（1）分类讨论，详见解析；
（2）详见解析.
（1）对求导得，令，再对求导，根据的取值范围确定的正负，即可得解；
（2）不妨设，由题意，对函数求导后可得即，由、单调性可得，再令，求导后可得，即可得证.
解：
（1），.
设，则.
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