届中考数学一轮复习题型分类同步练习卷整式及其运算.docx
《届中考数学一轮复习题型分类同步练习卷整式及其运算.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《届中考数学一轮复习题型分类同步练习卷整式及其运算.docx(26页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
届中考数学一轮复习题型分类同步练习卷整式及其运算
整式及其运算
考点一整式的有关概念
例1.(2019•巴彦淖尔模拟)若单项式3x2m﹣1y5与单项式﹣5x3yn是同类项,则m,n的值分别为( )
A.3,5B.2,3C.2,5D.3,﹣2
【变式训练】
1.(2018•铜仁市模拟)单项式2πr3的系数是( )
A.3B.πC.2D.2π
2.(2019•大城县一模)下列赋予4m实际意义的叙述中不正确的是( )
A.若葡萄的价格是4元/千克,则4m表示买m千克葡萄的金额
B.若m表示一个正方形的边长,则4m表示这个正方形的周长
C.将一个小木块放在水平桌面上,若4表示小木块与桌面的接触面积,m表示桌面受到的压强,则4m表示小木块对桌面的压力
D.若4和m分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字,则4m表示这个两位数
考点二幂的运算
例2.(2019•长安区三模)下列是摘录某学生的一次作业:
①(a2)3=a6;②(﹣x)3÷(﹣x)=x2;③3a+2b=5ab;④(x﹣2y)2=x2﹣2xy+4y2
其中结果错误的是( )
A.①②B.②③C.③④D.①④
【变式训练】
1.(2019•景泰县校级一模)下列计算正确的是( )
A.a•a3=a4B.a4+a3=a7
C.(a2)5=a7D.(a﹣b)2=a2+b2
2.(2019•长春四模)计算:
(﹣m)3•m4= .
3.(2019•石家庄一模)已知3x=5,3y=2,则3x+y的值是 .
考点三列代数式
例3.(2019•杨浦区三模)某大型超市从生产基地以每千克a元的价格购进一种水果m千克,运输过程中重量损失了10%,超市在进价的基础上増加了30%作为售价,假定不计超市其他费用,那么售完这种水果,超市获得的利润是 元(用含m、a的代数式表示)
【变式训练】
1.(2019•延边州二模)2019年国内航空公司规定:
旅客乘机时,免费携带行李箱的重量不超过20kg.若超过20kg,则超出的重量每千克要按飞机票原价的1.5%购买行李票小明的爸爸从长春飞到北京,机票原价是m元,他带了40kg行李,小明的爸爸应付的行李票是
(用含m的代数式表示).
2.(2019•吉林二模)某微商平台有一商品,标价为a元,按标价5折再降价30元销售,则该商品售价为 元.
3.(2019•江西模拟)中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》,卷首有“代数之法,无论何数,皆可以任何记号代之”,说明了所谓“代数”,就是用符号来代表数的一种方法.若实数a用代数式表示为
,实数b用代数式表示为
,则a﹣b的值为 .
考点四整式的运算
例4(2018•藁城区模拟)对于任何实数,我们规定符号:
ad﹣bc,如
1×5﹣2×3=﹣1.
(1)按这个规定计算:
;
(2)如果
0,求x的取值范围,并在如图的数轴上表示.
【变式训练】
1.(2019•汉阳区模拟)计算:
4x4•x2﹣(﹣2x2)3﹣3x8÷x2
2.(2019•汉阳区校级模拟)计算,3x3•x2y﹣8x7y÷x2+4(x2)2•xy
3.(2018•海南模拟)计算
(1)2sin45°+(
)0﹣|
|
(2)(2x+y)2+(x﹣y)(x+y)﹣5x(x﹣y)
考点五整式的化简求值
例5.(2019•东城区二模)如果x﹣y
,那么代数式(x+2)2﹣4x+y(y﹣2x)的值是 .
【变式训练】
1.(2019•顺义区二模)已知a2+2a=﹣2,则2a(2a+1)+(a+4)2的值为 .
2.(2019•周口二模)先化简,再求值:
[(x2+y2)﹣(x﹣y)2+2y(x﹣y)]÷4y,其中x=﹣4,y=﹣6.
考点六代数式的变化规律
例6.(2019•都江堰市模拟)设a1、a2、a3…是一列正整数,其中a1表示第一个数,a2表示第二个数,依此类推,an表示第n个数(n是正整数),已知a1=1,4an=(an+1﹣1)2﹣(an﹣1)2,则a2019等于 .
【变式训练】
1.(2019•云南模拟)一列数a1,a2,a3,…,an,其中a1
,a2
,a3
,…an
,则a2019= .
2.(2019•邹平县模拟)观察下列关于自然数的等式:
12﹣4×02=1①
32﹣4×12=5②
52﹣4×22=9③
根据上述规律解决下列问题:
猜想第n个等式(用含n的式子表示) .
3.(2019•娄底模拟)记Sn=a1,+a2+…an,令Tn
,则称Tn为a1,a2,…,an这列数的“凯森和”,已知a1,a2,…a500的“凯森和”为2004,那么1,a1,a2,…a500的“凯森和”为 .
考点七整式的综合应用
例7.(2017•胶州市一模)问题再现:
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性,从而可以帮助我们快速解题.初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.
例如:
利用图形的几何意义证明完全平方公式.
证明:
将一个边长为a的正方形的边长增加b,形成两个矩形和两个正方形,如图1:
这个图形的面积可以表示成:
(a+b)2或 a2+2ab+b2
∴(a+b)2=a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式.
类比解决:
(1)请你类比上述方法,利用图形的几何意义证明平方差公式.(要求画出图形并写出推理过程)
问题提出:
如何利用图形几何意义的方法证明:
13+23=32?
如图2,A表示1个1×1的正方形,即:
1×1×1=13
B表示1个2×2的正方形,C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形,因此:
B、C、D就可以表示2个2×2的正方形,即:
2×2×2=23
而A、B、C、D恰好可以拼成一个(1+2)×(1+2)的大正方形.
由此可得:
13+23=(1+2)2=32
尝试解决:
(2)请你类比上述推导过程,利用图形的几何意义确定:
13+23+33= .(要求写出结论并构造图形写出推证过程).
(3)问题拓广:
请用上面的表示几何图形面积的方法探究:
13+23+33+…+n3= .(直接写出结论即可,不必写出解题过程)
【变式训练】
1.(2019•越城区一模)如图,将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形,拿掉边长为n的小正方形纸板后,再将剩下的三块拼成一个新矩形.
(1)求拼成新矩形的周长(用含m或n的代数式表示);
(2)当m=7,n=3时,求拼成新矩形的面积.
2.(2018•衢州)有一张边长为a厘米的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加b厘米,木工师傅设计了如图所示的三种方案:
小明发现这三种方案都能验证公式:
a2+2ab+b2=(a+b)2,
对于方案一,小明是这样验证的:
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
请你根据方案二、方案三,写出公式的验证过程.
方案二:
方案三:
3.(2018•贵阳)如图,将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形,拿掉边长为n的小正方形纸板后,将剩下的三块拼成新的矩形.
(1)用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长;
(2)m=7,n=4,求拼成矩形的面积.
参考答案
考点一整式的有关概念
例1.(2019•巴彦淖尔模拟)若单项式3x2m﹣1y5与单项式﹣5x3yn是同类项,则m,n的值分别为( )
A.3,5B.2,3C.2,5D.3,﹣2
【分析】直接利用同类项的定义分析得出答案.
【解析】∵单项式3x2m﹣1y5与单项式﹣5x3yn是同类项,
∴2m﹣1=3,n=5,
解得:
m=2,
故m,n的值分别为:
2,5.
故选:
C.
点评:
此题主要考查了同类项,正确把握同类项的定义是解题关键.
【变式训练】
1.(2018•铜仁市模拟)单项式2πr3的系数是( )
A.3B.πC.2D.2π
【答案】D.
【解析】单项式2πr3的系数是2π,
故选:
D.
点评:
此题主要考查了单项式的系数,熟练掌握单项式系数的确定方法即可得出结论.
2.(2019•大城县一模)下列赋予4m实际意义的叙述中不正确的是( )
A.若葡萄的价格是4元/千克,则4m表示买m千克葡萄的金额
B.若m表示一个正方形的边长,则4m表示这个正方形的周长
C.将一个小木块放在水平桌面上,若4表示小木块与桌面的接触面积,m表示桌面受到的压强,则4m表示小木块对桌面的压力
D.若4和m分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字,则4m表示这个两位数
【答案】D
【解析】A、若葡萄的价格是4元/千克,则4m表示买m千克葡萄的金额,正确;
B、若m表示一个正方形的边长,则4m表示这个正方形的周长,正确;
C、将一个小木块放在水平桌面上,若4表示小木块与桌面的接触面积,m表示桌面受到的压强,则4m表示小木块对桌面的压力,正确;
D、若4和m分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字,则(4×10+m)表示这个两位数,则此选项错误;
故选:
D.
点评:
本题主要考查代数式,解题的关键是掌握代数式的书写规范和实际问题中数量间的关系.
考点二幂的运算
例2.(2019•长安区三模)下列是摘录某学生的一次作业:
①(a2)3=a6;②(﹣x)3÷(﹣x)=x2;③3a+2b=5ab;④(x﹣2y)2=x2﹣2xy+4y2
其中结果错误的是( )
A.①②B.②③C.③④D.①④
【分析】根据幂的乘方,同底数幂的除法,合并同类项法则,完全平方公式分别求出每个式子的值,再判断即可.
【解析】(a2)3=a6,故①错误;
②(﹣x)3÷(﹣x)=(﹣x)2=x2,故②错误;
3a和2b不能合并,故③正确;
(x﹣2y)2=x2﹣4xy+4y2,故④正确;
即结果错误的有③④,
故选:
C.
点评:
本题考查了幂的乘方,同底数幂的除法,合并同类项法则,完全平方公式等知识点,能正确求出每个式子的值是解此题的关键.
【变式训练】
1.(2019•景泰县校级一模)下列计算正确的是( )
A.a•a3=a4B.a4+a3=a7
C.(a2)5=a7D.(a﹣b)2=a2+b2
【答案】A
【解析】a•a3=a4,故选项A符合题意;
a4与a3不是同类项,故不能合并,故选项B不合题意;
(a2)5=a10,故选项C不合题意;
(a﹣b)2=a2+2ab+b2,故选项D不合题意.
故选:
A.
2.(2019•长春四模)计算:
(﹣m)3•m4= .
【答案】﹣m7.
【解析】(﹣m)3•m4=﹣m7,
故答案为:
﹣m7
点评:
此题考查同底数幂的乘法,关键是根据同底数幂的乘法的法则解答.
3.(2019•石家庄一模)已知3x=5,3y=2,则3x+y的值是 .
【答案】10
【解析】∵3x=5,3y=2,
∴原式=3x•3y=10,
故答案为:
10
点评:
此题考查了同底数幂的乘法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
考点三列代数式
例3.(2019•杨浦区三模)某大型超市从生产基地以每千克a元的价格购进一种水果m千克,运输过程中重量损失了10%,超市在进价的基础上増加了30%作为售价,假定不计超市其他费用,那么售完这种水果,超市获得的利润是 元(用含m、a的代数式表示)
【答案】0.17am.
【解析】由题意可得,
超市获得的利润是:
a(1+30%)×[m(1﹣10%)]﹣am=0.17am(元),
故答案为:
0.17am.
点评:
本题考查列代数式,解答本题的关键是明确题意,列出相应的代数式.
【变式训练】
1.(2019•延边州二模)2019年国内航空公司规定:
旅客乘机时,免费携带行李箱的重量不超过20kg.若超过20kg,则超出的重量每千克要按飞机票原价的1.5%购买行李票小明的爸爸从长春飞到北京,机票原价是m元,他带了40kg行李,小明的爸爸应付的行李票是
(用含m的代数式表示).
【答案】0.3m元.
【解析】由题意可得,
小明的爸爸应付的行李票是:
(40﹣20)m×1.5%=0.3m(元),
故答案为:
0.3m元.
2.(2019•吉林二模)某微商平台有一商品,标价为a元,按标价5折再降价30元销售,则该商品售价为 元.
【答案】(0.5a﹣30)
【解析】由题意可得,
该商品的售价为:
a×0.5﹣30=(0.5a﹣30)元,
故答案为:
(0.5a﹣30).
3.(2019•江西模拟)中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》,卷首有“代数之法,无论何数,皆可以任何记号代之”,说明了所谓“代数”,就是用符号来代表数的一种方法.若实数a用代数式表示为
,实数b用代数式表示为
,则a﹣b的值为 .
【解析】∵实数a用代数式表示为
,实数b用代数式表示为
,
∴a﹣b
(
)
,
故答案为:
.
考点四整式的运算
例4.(2018•藁城区模拟)对于任何实数,我们规定符号:
ad﹣bc,如
1×5﹣2×3=﹣1.
(1)按这个规定计算:
;
(2)如果
0,求x的取值范围,并在如图的数轴上表示.
【分析】
(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值;
(2)已知不等式利用题中的新定义化简,求出x的范围,表示在数轴上即可.
【解析】
(1)根据题中的新定义得:
原式
(﹣6)﹣(﹣2)3×2=﹣3+16=13;
(2)根据已知的不等式变形得:
(x+1)(x﹣1)﹣(x﹣1)2=2x﹣2,
由2x﹣2≤0,得x≤1,
点评:
此题考查了整式的混合运算,以及实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
【变式训练】
1.(2019•汉阳区模拟)计算:
4x4•x2﹣(﹣2x2)3﹣3x8÷x2
【解析】原式=4x6+8x6﹣3x6=9x6.
点评:
此题考查了整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
2.(2019•汉阳区校级模拟)计算,3x3•x2y﹣8x7y÷x2+4(x2)2•xy
【解析】原式=3x5y﹣8x5y+4x4•xy
=3x5y﹣8x5y+4x5y
=﹣x5y.
点评:
本题主要考查整式的混合运算,解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则.
3.(2018•海南模拟)计算
(1)2sin45°+(
)0﹣|
|
(2)(2x+y)2+(x﹣y)(x+y)﹣5x(x﹣y)
【解析】
(1)原式=2
1
3
1
3
=4;
(2)原式=4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy=9xy.
考点五整式的化简求值
例5.(2019•东城区二模)如果x﹣y
,那么代数式(x+2)2﹣4x+y(y﹣2x)的值是 .
【分析】根据x﹣y
,可以求得所求式子的值,本题得以解决.
【解析】∵x﹣y
,
∴(x+2)2﹣4x+y(y﹣2x)
=x2+4x+4﹣4x+y2﹣2xy
=x2﹣2xy+y2+4
=(x﹣y)2+4
=(
)2+4
=2+4
=6,
故答案为:
6.
点评:
本题考查整式的混合运算﹣化简求值,解答本题的关键是明确整式化简求值的方法.
【变式训练】
1.(2019•顺义区二模)已知a2+2a=﹣2,则2a(2a+1)+(a+4)2的值为 6 .
【分析】原式利用单项式乘以多项式,完全平方公式化简,去括号合并得到最简结果,把已知等式代入计算即可求出值.
【解析】原式=4a2+2a+a2+8a+16=5a2+10a+16=5(a2+2a)+16,
∵a2+2a=﹣2,
∴原式=﹣10+16=6,
故答案为:
6
2.(2019•周口二模)先化简,再求值:
[(x2+y2)﹣(x﹣y)2+2y(x﹣y)]÷4y,其中x=﹣4,y=﹣6.
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案.
【解析】原式=(x2+y2﹣x2+2xy﹣y2+2xy﹣2y2)÷4y
=(4xy﹣2y2)÷4y
=x
y,
当x=﹣4,y=﹣6时,
原式=﹣4+3=﹣1.
考点六代数式的变化规律
例6.(2019•都江堰市模拟)设a1、a2、a3…是一列正整数,其中a1表示第一个数,a2表示第二个数,依此类推,an表示第n个数(n是正整数),已知a1=1,4an=(an+1﹣1)2﹣(an﹣1)2,则a2019等于 .
【分析】由4an=(an+1﹣1)2﹣(an﹣1)2,可得(an+1﹣1)2=(an﹣1)2+4an=(an+1)2,根据a1,a2,a3……是一列正整数,得出an+1=an+2,根据a1=1,分别求出
a2=3,a3=5,a4=7,a5=9,进而发现规律an=2n﹣1,即可求出a2018=4035
【解析】∵4an=(an+1﹣1)2﹣(an﹣1)2,
∴(an+1﹣1)2=(an﹣1)2+4an=(an+1)2,
∵a1,a2,a3……是一列正整数,
∴an+1﹣1=an+1,
∴an+1=an+2,
∵a1=1,
∴a2=3,a3=5,a4=7,a5=9,
…,
∴an=2n﹣1,
∴a2019=4037.
故答案为4037.
【变式训练】
1.(2019•云南模拟)一列数a1,a2,a3,…,an,其中a1
,a2
,a3
,…an
,则a2019= 5 .
【分析】观察数据可知,a1
,a2
,a3
5,a4
,…,从第一项开始3个一循环,再用2019除以3得出余数即可求解.
【解析】观察数据可知,a1
,a2
,a3
5,a4
,…,从第一项开始3个一循环,
2019÷3=673,
故a2019=5.
故答案为:
5.
2.(2019•邹平县模拟)观察下列关于自然数的等式:
12﹣4×02=1①
32﹣4×12=5②
52﹣4×22=9③
根据上述规律解决下列问题:
猜想第n个等式(用含n的式子表示) .
【分析】根据题目中的式子的特点,可以写出第n个等式,本题得以解决.
【解析】∵12﹣4×02=1=4×1﹣3①
32﹣4×12=5=4×2﹣3②
52﹣4×22=9=4×3﹣3③
……
∴第n个等式(用含n的式子表示)是(2n﹣1)2﹣4(n﹣1)2=4n﹣3,
故答案为:
(2n﹣1)2﹣4(n﹣1)2=4n﹣3
3.(2019•娄底模拟)记Sn=a1,+a2+…an,令Tn
,则称Tn为a1,a2,…,an这列数的“凯森和”,已知a1,a2,…a500的“凯森和”为2004,那么1,a1,a2,…a500的“凯森和”为 2001 .
【分析】先根据已知求出T500的值,再设出新的凯森和Tx,列出式子,把得数代入,即可求出结果.
【解析】∵Tn
,
∴T500=2004,
设新的“凯森和”为Tx,
501×Tx=1×501+500×T500,
Tx=(1×501+500×T500)÷501
=(1×501+500×2004)÷501
=1+500×4
=2001.
故答案为:
2001.
考点七整式的综合应用
例7.(2017•胶州市一模)问题再现:
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性,从而可以帮助我们快速解题.初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.
例如:
利用图形的几何意义证明完全平方公式.
证明:
将一个边长为a的正方形的边长增加b,形成两个矩形和两个正方形,如图1:
这个图形的面积可以表示成:
(a+b)2或 a2+2ab+b2
∴(a+b)2=a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式.
类比解决:
(1)请你类比上述方法,利用图形的几何意义证明平方差公式.(要求画出图形并写出推理过程)
问题提出:
如何利用图形几何意义的方法证明:
13+23=32?
如图2,A表示1个1×1的正方形,即:
1×1×1=13
B表示1个2×2的正方形,C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形,因此:
B、C、D就可以表示2个2×2的正方形,即:
2×2×2=23
而A、B、C、D恰好可以拼成一个(1+2)×(1+2)的大正方形.
由此可得:
13+23=(1+2)2=32
尝试解决:
(2)请你类比上述推导过程,利用图形的几何意义确定:
13+23+33= .(要求写出结论并构造图形写出推证过程).
(3)问题拓广:
请用上面的表示几何图形面积的方法探究:
13+23+33+…+n3= .(直接写出结论即可,不必写出解题过程)
【分析】
(1)尝试解决:
如图:
边长为a,b的两个正方形,边保持平行,从大正方形中剪去小正方形,剩下的图形可以分割成2个长方形并拼成一个大长方形.根据第一个图形的阴影部分的面积是a2﹣b2,第二个图形的阴影部分的面积是(a+b)(a﹣b),可以验证平方差公式;
(2)尝试解决:
如图,A表示一个1×1的正方形,B、C、D表示2个2×2的正方形,E、F、G表示3个3×3的正方形,而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个边长为(1+2+3)的大正方形,根据大正方形面积的两种表示方法,可以得出13+23+33=62;
(3)问题拓广:
由上面表示几何图形的面积探究知,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2,进一步化简即可.
【解析】
(1)∵如图,左图的阴影部分的面积是a2﹣b2,
右图的阴影部分的面积是(a+b)(a﹣b),
∴a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),
这就验证了平方差公式;
(2)如图,A表示1个1×1的正方形,即1×1×1=13;
B表示1个2×2的正方形,C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形,
因此:
B、C、D就可以表示2个2×2的正方形,即:
2×2×2=23;
G与H,E与F和I可以表示3个3×3的正方形,即3×3×3=33;
而整个图形恰好可以拼成一个(1+2+3)×(1+2+3)的大正方形,
由此可得:
13+23+33=(1+2+3)2=62;
故答案为:
62;
(3)由上面表示几何图形的面积探究可知,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2,
又∵1+2+3+…+n
n(n+1),
∴13+23+33+…+n3=[
n(n+1)]2.
故答案为:
[
n(n+1)]2.
【变式训练】
1.(2019•越城区一模)如图,将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形,拿掉边长为n的小正方形纸板后,再将剩下的三块拼成一个新矩形.
(1)求拼成新矩形的周长(用含m或n的代数式表示);
(2)当m=7,n=3时,求拼成新矩形的面积.
【分析】
(1)根据题意和矩形的性质列出代数式解答即可.
(2)把m=7,n=3代入矩形的长与宽中,再利用矩形的面积公式解答即可.
【解析】
(1)新矩形的长为:
m+n,
新矩形的宽为:
m﹣n,
新矩形的周长=2[(m+n)+(m﹣n)]=4m.
(2)新矩形的面积为:
(m+n)(m﹣n),
把m=7,n=3代入(m+n)(m﹣n)=10×4=40,
即拼成新矩形的面积是40.
点评:
此题考查列代数式问题,关键是根据题意和矩形的性质列出代数式解答.
2.(2018•衢州)有一张边长为a厘米的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加b厘米,木工师傅设计了如