反比例函数知识点总结与练习题.docx
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反比例函数知识点总结与练习题
反比例函数
知识点1反比例函数的定义
k
一般地，形如y（k为常数，k0）的函数称为反比例函数，它可以从以下几
x
个方面来理解：
⑴x是自变量，y是x的反比例函数；
⑵自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数值的取值范围是y0；
⑶比例系数k0是反比例函数定义的一个重要组成部分；
⑷反比例函数有三种表达式：
—k,小
1y（k0），
x
1
2ykx（k0），
3xyk（定值）（k0）；
kk
⑸函数y—（k0）与x-（k0）是等价的，所以当y是x的反比例函数
xy
时，x也是y的反比例函数。
k
（k为常数，k0）是反比例函数的一部分，当k=0时，y，就不是反比例函数了。
x
知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式
k
由于反比例函数y（k0）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，
x
就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或
第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量x0，函数
值y0,所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：
⑴列表；
⑵描点；
⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点：
1列表时选取的数值宜对称选取；
2列表时选取的数值越多，画的图像越精确；
3连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画
成折线；
4画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
知识点4反比例函数的性质
☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表:
反比例函数
k
y-（k0）x
k的符号
k0
k0
图像「
①x的取值范围是x0,
①x的取值范围是x0,
y的取值范围是y0
y的取值范围是y0
性质
②当k0时，函数图像的
②当k0时，函数图像的
两个分支分别在第一、第
两个分支分别在第二、第四
三象限，在每个象限内，y
象限，在每个象限内，y随
随x的增大而减小。
x的增大而增大。
注意：
描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当k0时，y随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。
反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k的符号决定的，反过来，
k
由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。
女口y-
x在第一、第三象限，则可知k0。
k
☆反比例函数y（k0）中比例系数k的绝对值k的几何意义。
如图所示，过双曲线上任-
一占
八、、
P（x,y）分别作x轴、
y轴的垂线，
E、F分别为垂足，则1
xy
x|y
PFPE
S矩形OEPF
k
☆反比例函数y-
x
（k
0）
中，
k越大，双曲线
k
y—越远离坐标原点；1
x
k越小,
k
双曲线y越靠近坐标原点。
x
☆双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直
线y=x和直线y=—x。
例题
【例1】如果函数ykx2^k2的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k的值是多
少？
【答案】由反比例函数的定义，得:
2k2k2
k0
1解得
k1
1
【例2】在反比例函数y的图像上有三点X!
yi,x,Y2,X3,旳3。
若
x
X!
X20X3则下列各式正确的是（A）
A-y3yiy2b•y3y2yic•yiy2y3d•yiyy?
【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。
知识点一：
反比例函数的定义
例i：
在下列函数中，是反比例函数的是。
X
i彳
2
di23
（i）
y
—
；
（2）
y
i
;（3）y
•
（4）yi-x；（5）y—
3
3x
X
22x
（6）
xy
i
;
（7）
y
8
2；
（8）yx
i;
（9）-2；
2
X
X
例2:
当m取何值时,
y
2m
m2mi
2mx
是关于
x的反比例函数？
并求出其表达式。
知识点二：
反比例函数表达式的确定
例3:
由欧姆定律可知：
电压不变时，电流强度I与电阻R成反比例。
已知电压保持不变，
电阻R=i2.5欧姆，电流强度1=0.2安培。
（i）求I与R的函数关系式；
（2）当R=5欧姆时，求电流强度。
重点一：
反比例函数与其他函数的综合应用
例i：
已知yyiy2,yi与x成正比例，y?
与x成反比例，并且当x=2时，y4;
当Xi时，y5.求y与x的函数表达式。
重点二：
反比例函数的实际应用
的试销，试销情况入下:
售价x
（元/千
克）
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
400
250
240
200
150
125
120
销售量
y/千克
30
40
48
60
80
96
100
观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画出这种海产品每天的销售情况量y（千克）与
销售价格x（元/千克）之间的关系。
现假设这批海产品每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）都满足这一关系。
（1）写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；
（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天
都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？
练习：
2k2k7
1.已知函数ykk2x是关于x的反比例函数，求k的值。
k
2.已知定A（1，-k+2）在双曲线y上，求常数k的值。
x
4、正比例函数y&0与反比例函数y巴k20的图象交于A、B两点，点
x
A坐标为（2,1）.
（1）求正比例函数、反比例函数的表达式
（2）求点B的坐标。
2
5、已知yy1y2，y1与x成反比例，y与x成正比例，且当x=-1时，y5；当
x1时，y1.求y与x的函数表达式。
6、已知一次函数ykxbk
0和反比例函数y瓦的图象交于点A（1,1），求两
个函数的解析式。
7、已知正比例函数ykxk0和反比例函数y—的图象交于点（4,2）。
x
（1）求两个函数的解析式。
（2）这两个函数图象还有其他交点吗？
若有，请求出交点的坐标，若没有，请说明理由。
知识点一：
反比例函数的图象
2
例1：
反比例函数反比例函数y3m1xm2的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求反比例函数的解析式。
例2:
在反比例函数y—一2m的图像上有A（y1），B（X2,y2）两点，当
x
Xj0X2时，有y1y，则m的取值范围是。
知识点二：
反比例函数的性质
3
例3:
设a（yJ,B（X2,y）反比例函数y的图象上的任意两点，且y1y，
x
A、XiX20
B、Xi0X2
C、X20Xi
过这一点分别作x轴、y轴的平行
x2xi0
k
知识点三：
反比例函数yk0中k的几何意义
x
k
说明：
在反比例函数yk0的图象上任取一点，
x
练习:
k
如右图，若点A在反比例函数yk
x
△OAM的面积为3，贝Uk=
重点:
反比例函数和一次函数的综合应用
在同一平面直角坐标系中，函数y
ax
X
例i:
0,在同一平面直角坐标系中，函数yk
X
k
例2:
已知反比例函数y的图象与一次函数y3xm的图象相交于（1,5）。
x
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求这两个函数的另一个交点的坐标。
练习:
k
1、已知点M（-2,3）在双曲线y上，则下列各点一定在双曲线上的是（）
x
A、（3，-2）B、（-2，-3）C、（2，3）D、（3，2）
k
2、已知，反比例函数yk0的图象与经过原点的直线I相交于A、B两点，已知
x
点A的坐标为（-2,1），那么点B的坐标为。
k
3、已知，一次函数％xmm为常数的图象与反比例函数y2k为常数，k0
x
的图象相交于A（1,3）。
在第一象限相交于点A。
过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为B、C。
如果四边形
反比例函数综合检测题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1、反比例函数y=匚5图象经过点（2,3），则n的值是（）.
x
A、一2B、一1C、0D、1
k
2、若反比例函数y=—（k工0）的图象经过点（一1,2）,则这个函数的图象一定经过
x
点（）-
11
A、（2,-1）B、（一一，2）C、（-2,-1）D、（一，2）
22
3、已知甲、乙两地相距s（km）,汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（h）
与行驶速度v（km/h）的函数关系图象大致是（）
11
A、mv0B、m>0C、m—
22
10、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两
点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围
是（）•
A、xv-1B、x>2
C、—1vxv0或x>2D、xv—1或0vxv2
二、填空题（每小题3分，共30分）
11、某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数y与平均每天使用的小时数x之间的
函数关系式为.
k
12、已知反比例函数y的图象分布在第二、四象限，则在一次函数ykxb中，y
x
随x的增大而（填“增大”或“减小”或“不变”）•
13、若反比例函数y=和一次函数y=3x+b的图象有两个交点，且有一个交点的
x
纵坐标为6，贝Ub=•
2
14、反比例函数y=（m+2）xm—10的图象分布在第二、四象限内，贝Um的值
为•
1
15、有一面积为S的梯形，其上底是下底长的一，若下底长为x，高为y，则y与x的函
3
数关系是•
a
16、如图，点M是反比例函数y=（a工0）的图象上一点，
x
过M点作x轴、y轴的平行线，若S阴影=5，则此反比例函数解析式为•
2
17、使函数y=（2m2—7m—9）xm—9m+19是反比例函数，且图象在每个象限内y随x
的增大而减小，则可列方程（不等式组）为•
k
18、过双曲线y=—（k丰0）上任意一点引x轴和y轴的垂线，所得长方形的面积为•
x
4
19、如图，直线y=kx（k>0）与双曲线y交于A（X1,y1）,
x
B（X2,y2）两点，贝U2x1y2—7x2y1=.
20、如图，长方形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、
20
y轴上，点B的坐标为B（―——，5）,D是AB边上的一点，
3
将厶ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的
点E处，若点E在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析
式是•
三、解答题（共60分）
21、（8分）如图，P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，求这个反比例函数的解析式.
22、（9分）请你举出一个生活中能用反比例函数关系描述的实例，写出其函数表达式，并画出函数图象.
举例：
函数表达式：
k
23、（10分）如图，已知A（xi,yi）,B（X2,y2）是双曲线y=—在第一象限内的分支
x
k
上的两点，连结OA、OB.
（1）试说明yivOAvyi+;
yi
（2）过B作BC丄x轴于C,当m=4时，求△BOC的面积.
24、（10分）如图，已知反比例函数y=—8与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两
x
点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是一2.求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积.
k
25、（11分）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于M、N两
x
占
八、、♦
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
x的取值范围.
（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的
k
26、（12分）如图，已知反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象交于M
x
（2,m）和N（—1,-4）两点.
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求厶MON的面积;
一、1、
D2、A3、C4、B5、D6
1000一
二、11
、y—12、减小
x
5
2
m9m191
17、2
x
2m7m9>0
参考答案
（3）请判断点P（4,1）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由.
C7、D8、B9、D10、D.
3s
13、514、一315、y=16、y
2x
12
18、|k|;19、20;20、y=—.
x
6
三、21、y=——.
x
22、举例：
要编织一块面积为2米2的矩形地毯，地毯的长x（米）与宽y（米）之间的
2
函数关系式为y=（x>0）.
x
1
2
1
3
2
2
y
4
2
4
3
1
（只要是生活中符合反比例函数关系的实例均可）画函数图象如右图所示.
23、
（1）过点A作AD丄x轴于D，则OD=X1,AD=y1，因为点A（X1,yj在双曲线
y=k上，故X1=—,又在Rt△OAD
xy1
k
中，ADvOAvAD+OD,所以y1vOAvy1+;
y1
（2）△BOC的面积为2.
24、
（1）由已知易得A（—2,4）,B（4,—2），代入y=kx+b中，求得y=—x+2;
（2）当y=0时，x=2，则y=—x+2与x轴的交点M（2,0）,即|OM|=2，于是S
1
1
1
1
△AOB=SaAOM+S△BOM=
-|OM|•|ya|
+—|OM|
•|yb|=x2x4+•
-X2X2=6.
2
2
2
2
25、
（1）将N（—1,-
八、k
-4）代入y=
，得k=4.
•••反比例函数的解析式为
y
4
.将
x
x
4
2a
b
2,
M（2,m）代入y=，得
m=2.将M（2,2）,N（—1,
—4）代入y=ax+b，得
x
a
b
4
a2,
解得一次函数的解析式为y=2x—2.
b2.
（2）由图象可知，当xv—1或0vxv2时，反比例函数的值大于一次函数的值.
26、解
（1）
-,口k
由已知，得4=,k=4，…
1
4y=
x
又：
'图象过M（
2,m）点，•m
4
2a
b
2
a2
2，:
y=ax+b图象经过M、N两点，
解之得
•y=2x
2
a
b
4
b2
—2.
（2）如图，对于y=2x—2,y=0时，x=1,「.A（1,0）,OA=1,「.S△mon=S△moa
1111
+S△noa=OA•MC+—OA•ND=—X1X2+X1X4=3.
2222
4
（3）将点P（4,1）的坐标代入y=—,知两边相等，•••P点在反比例函数图象上.
x
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