计算机二级 公共基础知识 数据结构与算法.docx

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计算机二级公共基础知识数据结构与算法

第一章数据结构与算法

　　1.1算法

　　1、算法的基本特征

（1）可行性。

（2）确定性。

　　（3）有穷性。

　　（4）拥有足够的情报。

*：

综上所述，所谓算法，是一组严谨地定义运算顺序的规则，并且每一个规则都是有效的，且是明确的，此顺序将在有限的次数下终止。

　　2、算法复杂度主要包括时间复杂度和空间复杂度。

（1）算法时间复杂度：

指执行算法所需要的计算工作量，可以用执行算法的过程中所需基本运算的执行次数来度量。

（2）算法空间复杂度：

指执行这个算法所需要的内存空间。

1.2数据结构的基本概念

　　1、数据结构是指相互有关联的数据元素的集合。

　　2、数据结构主：

（1）数据的逻辑结构：

是指反映数据元素之间的逻辑关系的数据结构。

数据的逻辑结构有两个要素：

数据元素的集合，记作D，数据之间的前后件关系，记作R，则数据结构B=（D，R）

（2）数据的存储结构：

在计算机存储空间中的存放形式称为数据的存储结构（也称数据的物理结构）。

常用的存储结构有顺序、链接等存储结构。

顺序存储方式主要用于线性的数据结构，它把逻辑上相邻的数据元素存储在物理上相邻的存储单元里，结点之间的关系由存储单元的邻接关系来体现。

链式存储结构就是在每个结点中至少包含一个指针域，用指针来体现数据元素之间逻辑上的联系。

　　3、数据结构的图形表示

　　在结构图中，没有前件的结点称为根结点，没有后件的结点称为终端结点，也称叶子结点。

4、数据结构分为两大类型：

线性结构和非线性结构。

（1）线性结构（非空的数据结构）条件：

1）有且只有一个根结点;2）每一个结点最多有一个前件，也最多有一个后件。

　　*：

常见的线性结构有线性表、栈、队列和线性链表等。

（2）非线性结构：

不满足线性结构条件的数据结构。

　　*：

常见的非线性结构有树、二叉树和图等。

1.3线性表及其顺序存储结构

　　1、线性表由一组数据元素构成，数据元素的位置只取决于自己的序号，元素之间的相对位置是线性的。

线性表是由n（n≥0）个数据元素组成的一个有限序列，表中的每一个数据元素，除了第一个外，有且只有一个前件，除了最后一个外，有且只有一个后件。

线性表中数据元素的个数称为线性表的长度。

线性表可以为空表。

　　*：

线性表是一种存储结构，它的存储方式：

顺序和链式。

　　2、线性表的顺序存储结构具有两个基本特点：

（1）线性表中所有元素所占的存储空间是连续的;

（2）线性表中各数据元素在存储空间中是按逻辑顺序依次存放的。

　　*：

由此可以看出，在线性表的顺序存储结构中，其前后件两个元素在存储空间中是紧邻的，且前件元素一定存储在后件元素的前面，可以通过计算机直接确定第i个结点的存储地址。

　　3、顺序表的插入、删除运算

（1）顺序表的插入运算：

在一般情况下，要在第i（1≤i≤n）个元素之前插入一个新元素时，首先要从最后一个（即第n个）元素开始，直到第i个元素之间共n-i+1个元素依次向后移动一个位置，移动结束后，第i个位置就被空出，然后将新元素插入到第i项。

插入结束后，线性表的长度就增加了1。

　　*：

顺性表的插入运算时需要移动元素，在等概率情况下，平均需要移动n/2个元素。

（2）顺序表的删除运算：

在一般情况下，要删除第i（1≤i≤n）个元素时，则要从第i+1个元素开始，直到第n个元素之间共n-i个元素依次向前移动一个位置。

删除结束后，线性表的长度就减小了1。

　　*：

进行顺性表的删除运算时也需要移动元素，在等概率情况下，平均需要移动（n-1）/2个元素。

插入、删除运算不方便。

1.4栈和队列

1、栈及其基本运算

　　栈是限定在一端进行插入与删除运算的线性表。

　　在栈中，允许插入与删除的一端称为栈顶，不允许插入与删除的另一端称为栈底。

栈顶元素总是最后被插入的元素，栈底元素总是最先被插入的元素。

即栈是按照“先进后出”或“后进先出”的原则组织数据的。

　　2、队列及其基本运算

　　队列是指允许在一端（队尾）进入插入，而在另一端（队头）进行删除的线性表。

尾指针（Rear）指向队尾元素，头指针（front）指向排头元素的前一个位置（队头）。

　　队列是“先进先出”或“后进后出”的线性表。

　　队列运算包括：

1）入队运算：

从队尾插入一个元素;2）退队运算：

从队头删除一个元素。

　　循环队列及其运算：

所谓循环队列，就是将队列存储空间的最后一个位置绕到第一个位置，形成逻辑上的环状空间，供队列循环使用。

在循环队列中，用队尾指针rear指向队列中的队尾元素，用排头指针front指向排头元素的前一个位置，因此，从头指针front指向的后一个位置直到队尾指针rear指向的位置之间，所有的元素均为队列中的元素。

　　*：

循环队列中元素的个数=rear-front。

1.5线性链表

　　线表顺序存储的缺点：

（1）插入或删除的运算效率很低。

在顺序存储的线性表中，插入或删除数据元素时需要移动大量的数据元素;

（2）线性表的顺序存储结构下，线性表的存储空间不便于扩充;（3）线性表的顺序存储结构不便于对存储空间的动态分配。

1.线性链表：

线性表的链式存储结构称为线性链表。

　　在线性链表中用一个专门的指针HEAD指向线性链表中第一个数据元素的结点（即存放第一个元素的地址）。

线性表中最后一个元素没有后件，因此，线性链表中的最后一个结点的指针域为空（用Null或0表示），表示链终结。

。

　　单链表：

从表头开始向后扫描链表中的所有结点，而不能从中间或表尾结点向前扫描位于该结点之前的元素。

　　双向链表：

对链表中的元素设置两个指针域，一个为指向前件的指针域，称为左指针（LLink），一个为指向后件的指针域，称为右指针（RLink）。

　　2、线性链表的基本运算

（1）在线性链表中包含指定元素的结点之前插入一个新元素。

　　*：

在线性链表中插入元素时，不需要移动数据元素，只需要修改相关结点指针即可，也不会出现“上溢”现象。

（2）在线性链表中删除包含指定元素的结点。

*：

在线性链表中删除元素时，也不需要移动数据元素，只需要修改相关结点指针即可。

　　3、循环链表及其基本运算

　　在线性链表中，其插入与删除的运算虽然比较方便，但还存在一个问题，在运算过程中对于空表和对第一个结点的处理必须单独考虑，使空表与非空表的运算不统一。

为了克服线性链表的这个缺点，可以采用另一种链接方式，即循环链表。

　　与前面所讨论的线性链表相比，循环链表具有以下两个特点：

1）在链表中增加了一个表头结点，其数据域为任意或者根据需要来设置，指针域指向线性表的第一个元素的结点，而循环链表的头指针指向表头结点;2）循环链表中最后一个结点的指针域不是空，而是指向表头结点。

即在循环链表中，所有结点的指针构成了一个环状链。

　　循环链表的优点主要体现在两个方面：

一是在循环链表中，只要指出表中任何一个结点的位置，就可以从它出发访问到表中其他所有的结点，而线性单链表做不到这一点;二是由于在循环链表中设置了一个表头结点，在任何情况下，循环链表中至少有一个结点存在，从而使空表与非空表的运算统一。

　　*：

循环链表是在单链表的基础上增加了一个表头结点，其插入和删除运算与单链表相同。

但它可以从任一结点出发来访问表中其他所有结点，并实现空表与非空表的运算的统一。

1.6树与二叉树

　　1、树的基本概念

　　树是一种简单的非线性结构。

在树结构中，数据元素之间有着明显的层次结构。

在树的图形表示中，用直线连接两端的结点，上端点为前件，下端点为后件。

　　在树结构中，每一个结点只有一个前件，称为父结点。

如A即为结点B、C、D的父结点。

　　没有父结点的结点只有一个，称为根结点。

如上图所示，结点A即为根结点。

　　每一个结点可以有多个后件，它们均称为该结点的子结点。

如结点G、H、I是结点D的子结点。

　　没有后件的结点，称为叶子结点。

上图中，叶子结点有：

J、M、N、L、C、G、H、I。

　　在树结构中，一个结点所拥有的后件结点个数称为该结点的度。

例如，结点D的度为3，结点E的度为1等，按此原则，所有叶子结点的度均为0。

　　在树中，所有结点中最大的度称为该树的度。

上图所示的树中，所有结点中最大的度是3，所以该树的度为3。

　　树分层，根结点为第一层，往下依次类推。

同一层结点的所有子结点均在下一层。

如上图：

A结点在第1层，B、C、D结点在第2层；E、F、G、H、I在第3层；J、K、L在第4层；M、N在第5层。

　　树的最大层次称为树的深度。

上图树的深度为5。

　　在树中，某结点的一个子结点为根构成的树称作该结点的子树。

叶子结点没有子树。

　　2、二叉树及其基本性质

（1）什么是二叉树

　　二叉树是一种很有用的非线性结构，它具有以下两个特点：

1）非空二叉树只有一个根结点;2）每一个结点最多有两棵子树，且分别称为该结点的左子树与右子树。

　　*：

根据二叉树的概念可知，二叉树的度可以为0（叶结点）、1（只有一棵子树）或2（有2棵子树）。

（2）二叉树的基本性质

　　性质1 在二叉树的第k层上，最多有2k-1（k≥1）个结点。

　　性质2 深度为m的二叉树最多有个2m-1个结点。

　　性质3 在任意一棵二叉树中，度数为0的结点（即叶子结点）总比度为2的结点多一个。

　　性质4 具有n个结点的二叉树，其深度至少为[log2n]+1，其中[log2n]表示取log2n的整数部分。

　　3、满二叉树与完全二叉树

　　满二叉树：

除最后一层外，每一层上的所有结点都有两个子结点。

　　完全二叉树：

除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值;在最后一层上只缺少右边的若干结点。

　　　下图a表示的是满二叉树，下图b表示的是完全二叉树：

　　完全二叉树还具有如下两个特性：

　　性质5 具有n个结点的完全二叉树深度为[log2n]+1。

　　性质6 设完全二叉树共有n个结点，如果从根结点开始，按层序（每一层从左到右）用自然数1，2，…，n给结点进行编号，则对于编号为k（k=1，2，…，n）的结点有以下结论：

　　①若k=1，则该结点为根结点，它没有父结点;若k>1，则该结点的父结点的编号为INT（k/2）。

　　②若2k≤n，则编号为k的左子结点编号为2k;否则该结点无左子结点（显然也没有右子结点）。

　　③若2k+1≤n，则编号为k的右子结点编号为2k+1;否则该结点无右子结点。

　　4、二叉树的存储结构

　　在计算机中，二叉树通常采用链式存储结构。

　　与线性链表类似，用于存储二叉树中各元素的存储结点也由两部分组成：

数据域和指针域。

但在二叉树中，由于每一个元素可以有两个后件（即两个子结点），因此，用于存储二叉树的存储结点的指针域有两个：

一个用于指向该结点的左子结点的存储地址，称为左指针域;另一个用于指向该结点的右子结点的存储地址，称为右指针域。

　　*：

一般二叉树通常采用链式存储结构，对于满二叉树与完全二叉树来说，可以按层序进行顺序存储[注释1]。

　　5、二叉树的遍历

　　二叉树的遍历是指不重复地访问二叉树中的所有结点。

二叉树的遍历可以分为以下三种：

（1）前序遍历（DLR）：

根左右

（2）中序遍历（LDR）：

左根右

　　（3）后序遍历（LRD）：

左右根

　　1.7查找技术

　　查找即是指在一个给定的数据结构中查找某个指定的元素。

　　1、顺序查找

　　基本思想：

从表中的第一个元素开始，将给定的值与表中逐个元素的关键字进行比较，直到两者相符，查到所要找的元素为止。

否则就是表中没有要找的元素，查找不成功。

　　在平均情况下，利用顺序查找法在线性表中查找一个元素，大约要与线性表中一半的元素进行比较，最坏情况下需要比较n次。

　　顺序查找一个具有n个元素的线性表，其平均复杂度为O（n）。

　　下列两种情况下只能采用顺序查找：

　　1）如果线性表是无序表（即表中的元素是无序的），则不管是顺序存储结构还是链式存储结构，都只能用顺序查找。

　　2）即使是有序线性表，如果采用链式存储结构，也只能用顺序查找。

　　2、二分法查找

　　二分查找只适用于顺序存储的有序表。

此处所述的有序表是指线性中的元素按值非递减排列（即由小到大，但允许相邻元素值相等）。

　　二分查找的方法如下：

　　将要查找的元素与有序序列的中间元素进行比较：

　　如果该元素比中间元素大，则继续在线性表的后半部分（中间项以后的部分）进行查找

　　如果要查找的元素的值比中间元素的值小，则继续在线性表的前半部分（中间项以前的部分）进行查找

　　这个查找过程一直按相同的顺序进行下去，一直到查找成功或子表长度为0（说明线性表中没有要查找的元素）

　　有序线性表的二分法查找，条件是必须这个有序线性表的存储方式是顺序存储的。

它的查找效率比顺序查找要高得多，它的最坏情况的查找次数是log2n次，而顺序查找的最坏情况的查找次数是n次。

1.8排序技术

　　排序即是将一个无序的序列整理成按值非递减顺序排列的有序序列。

在这里，我们讨论的是顺序存储的线性表的排序操作。

　　1．交换类排序法

　　交换类排序法，即是借助于数据元素之间的互相交换进行排序的方法。

　　1）冒泡排序法

　　冒泡排序法即是利用相邻数据元素之间的交换逐步将线性表变成有序序列的操作方法。

　　操作过程如下：

　　从表头开始扫描线性表，在扫描过程中逐次比较相邻两个元素的大小，若相邻两个元素中前一个元素的值比后一个元素的值大，将两个元素位置进行交换，当扫描完成一遍时，则序列中最大的元素被放置到序列的最后。

　　再继续对序列从头进行扫描，这一次扫描的长度是序列长度减1，因为最大的元素已经就位了，采用与前相同的方法，两两之间进行比较，将次大数移到子序列的末尾。

　　按相同的方法继续扫描，每次扫描的子序列的长度均比上一次减1，直至子序列的长度为1时，排序结束。

　　扫描的次数，最多需要扫描n-1次，如果序列已经就位，则扫描结束。

测试是否已经就位，可设置一个标志，如果该次扫描没有数据交换，则说明数据排序结束。

　　2）快速排序法

　　冒泡排序方法每次交换只能改变相邻两个元素之间的逆序，速度相对较慢。

如果将两个不相邻的元素之间进行交换，可以消除多个逆序。

　　快速排序的方法是：

　　从线性表中选取一个元素，设为T，将线性表后面小于T的元素移到前面，而前面大于T的元素移到后面，结果将线性表分成两个部分（称为两个子表），T插入到其分界线的位置处，这个过程称为线性表的分割。

对过对线性表的一次分割，就以T为分界线，将线性表分成前后两个子表，且前面子表中的所有元素均不大于T，而后面的所有元素均不小于T。

　　再将前后两个子表再进行相同的快速排序，将子表再进行分割，直到所有的子表均为空，则完成快速排序操作。

　　在快速排序过程中，随着对各子表不断的进行分割，划分出的子表会越来越多，但一次又只能对一个子表进行分割处理，需要将暂时不用的子表记忆起来，这里可用栈来实现。

　　对某个子表进行分割后，可以将分割出的后一个子表的第一个元素与最后一个元素的位置压入栈中，而继续对前一个子表进行再分割；当分割出的子表为空时，可以从栈中退出一个子表进行分割。

　　这个过程直到栈为空为止，说明所有子表为空，没有子表再需分割，排序就完成。

　　2．插入类排序法

　　1）简单插入排序

　　插入排序，是指将无序序列中的各元素依次插入到已经有序的线性表中。

　　插入排序操作的思路：

在线性表中，只包含第1个元素的子表，作为该有序表。

从线性表的第2个元素开始直到最后一个元素，逐次将其中的每一个元素插入到前面的有序的子表中。

　　该方法与冒泡排序方法的效率相同，最坏的情况下需要n（n-1）/2次比较。

　　例如，有序列5、2、9、4、1、7、6，将该序列从小到大进行排列。

　　采用简单插入排序法，具体操作步骤如下：

　　序列长度n=7

　　2）希尔排序法

　　希尔排序法的基本思想：

　　将整个无序序列分割成若干小的子序列分别进行插入排序。

　　子序列的分割方法：

将相隔某个增量h的元素构成一个子序列，在排序的过程中，逐次减小这个增量，最后当h减小到1时，再进行一次插入排序操作，即完成排序。

　　增量序列一般取ht=n/2k（k=1,2,…,[log2n]），其中n为待排序序列的长度。

　　3．选择类排序法

　　1）简单选择排序法

　　基本思路：

扫描整个线性表，从中选出最小的元素，将它交换到表的最前面，然后对后面的子表采用相同的方法，直到子表为空为止。

　　对于长度为n的序列，需要扫描n-1次，每一次扫描均找出剩余的子表中最小的元素，然后将该最小元素与子表的第一个元素进行交换。

　　例如，有序列5、2、9、4、1、7、6，将该序列从小到大进行排列。

　　采用简单选择排序法，具体操作步骤如下：

　　2）堆排序法

　　堆排序法属于选择类排序方法。

　　堆的定义：

具有n个元素的序列（h1,h2,…,hn），当且仅当满足

时称之为堆。

　　本节只讨论满足前者条件的堆。

　　由堆的定义看，堆顶元素（即第一个元素）必为最大项。

　　可以用一维数组或完全二叉树来表示堆的结构。

　　用完全二叉树表示堆时，树中所有非叶子结点值均不小于其左右子树的根结点的值，因此堆顶（完全二叉树的根结点）元素必须为序列的n个元素中的最大项。

　　例如，有序列5、2、9、4、1、7、6，将该序列从小到大进行排列。

　　利用堆排序法将该序列进行排序。

　　操作方式即：

先将无序堆的根结点5与左右子树的根结点2、9进行比较，5<9，将5与9进行交换；整后，对左右子树进行堆调整，左子树的根结点2小于其左叶子结点5，调整；右子树的根结点5小于其左右子结点7和6，根据堆的要求，将5与7进行调整。

　　根据堆的定义，可以得到堆排序的方法：

（1）首先将一个无序序列建成堆

（2）然后将堆顶元素（序列中的最大项）与堆中最后一个元素交换（最大项应该在序列的最后）。

　　2.插入类排序法

　　①简单插入排序法，最坏情况需要n（n-1）/2次比较；

　　②希尔排序法，最坏情况需要O（n1.5）次比较。

　　3.选择类排序法

　　①简单选择排序法，最坏情况需要n（n-1）/2次比较；

　　②堆排序法，最坏情况需要O（nlog2n）次比较。

　　相比以上几种（除希尔排序法外），堆排序法的时间复杂度最小。

　　二、本章应考点拨

　　本章内容在笔试中会出现5-6个题目，是公共基础知识部分出题量比较多的一章，所占分值也比较大，约10分。

2012．03

（1）下列叙述中正确的是（　　）。

A．循环队列是队列的一种链式存储结构  

B．循环队列是一种逻辑结构

C．循环队列是队列的一种顺序存储结构  

D．循环队列是非线性结构

（2）下列叙述中正确的是（　　）。

A．栈是一种先进先出的线性表  

B．队列是一种后进先出的线性表

C．栈与队列都是非线性结构  

D．以上三种说法都不对

（3）一棵二叉树共有25个结点，其中5个是叶子结点，则度为1的结点数为（　　）。

A．4   

B．16    

C．10  

D．6

（1）在长度为n的顺序存储的线性表中删除一个元素，最坏情况下需要移动表中的元素个数为【1】。

（2）设循环队列的存储空间为Q（1：

30），初始状态为front=rear=30。

现经过一系列入队与退队运算后，front=16，rear=15，则循环队列中有【2】个元素。

CDBn-129

（1）下列叙述中正确的是（　　）。

A）算法就是程序

B）设计算法时只需要考虑数据结构的设计

C）设计算法时只需要考虑结果的可靠性

D）以上三种说法都不对

（2）下列关于线性链表的叙述中，正确的是（　　）。

A）各数据结点的存储空间可以不连续，但它们的存储顺序与逻辑顺序必须一致

B）各数据结点的存储顺序与逻辑顺序可以不一致，但它们的存储空间必须连续

C）进行插入与删除时，不需要移动表中的元素

D）以上三种说法都不对

（3）下列关于二叉树的叙述中，正确的是（　　）。

A）叶子结点总是比度为2的结点少一个

B）叶子结点总是比度为2的结点多一个

C）叶子结点数是度为2的结点数的两倍

D）度为2的结点数是度为1的结点数的两倍

（1）数据结构分为线性结构与非线性结构，带链的栈属于【l】。

（2）在长度为n的顺序存储的线性表中插入一个元素，最坏情况下需要移动表中【2】个元素。

DCB线性结构n

（1）下列关于栈叙述正确的是

　　A）栈顶元素最先能被删除

　　B）栈顶元素最后才能被删除

　　C）栈底元素永远不能被删除

　　D）以上三种说法都不对

（2）下列叙述中正确的是

　　A）有一个以上根结点的数据结构不一定是非线性结构

　　B）只有一个根结点的数据结构不一定是线性结构

　　C）循环链表是非线性结构

　　D）双向链表是非线性结构

　　（3）某二叉树共有7个结点，其中叶子结点只有1个，则该二叉树的深度为（假设根结点在第1层）

　　A）3

　　B）4

　　C）6

　　D）7

（1）有序线性表能进行二分查找的前提是该线性表必须是【1】存储的。

（2）一棵二叉树的中序遍历结果为DBEAFC，前序遍历结果为ABDECF则后序遍历结果为【2】。

ABD顺序DEBFCA

（1）下列叙述中正确的是

　　A）线性表的链式存储结构与顺序存储结构所需要的存储空间是相同的

　　B）线性表的链式存储结构所需要的存储空间一般要多于顺序存储结构

　　C）线性表的链式存储结构所需要的存储空间一般要少于顺序存储结构

　　D）上述三种说法都不对

（2）下列叙述中正确的是

　　A）在栈中，栈中元素随栈底指针与栈顶指针的变化而动态变化

　　B）在栈中，栈顶指针不变，栈中元素随栈底指针的变化而动态变化

　　C）在栈中，栈底指针不变，栈中元素随栈顶指针的变化而动态变化

　　D）上述三种说法都不对

1）一个栈的初始状态为空。

首先将元素5，4，3，2，1依次入栈，然后退栈一次，再将元素A,B,C,D依次入栈，之后将所有元素全部退栈，则所有元素退栈（包括中间退栈的元素）的顺序为__【1】__。

（2）在长度为n的线性表中，寻找最大项至少需要比较___【2】___次。

　　（3）一棵二叉树有10个度为1的结点，7个度为2的结点，则该二叉树共有__【3】___个

　　结点。

BCDCBA2345n-125

（1）下列叙述中正确的是

　　A）对长度为n的有序链表进行查找，最坏情况下需要的比较次数为n

　　B）对长度为n的有序链表进行对分查找，最坏情况下需要的比较次数为（n/2）

　　C）对长度为n的有序链表进行对分查找，最坏情况下需要的比较次数为（log2n）

　　D）对长度为n的有序链表进行对分查找，最坏情况下需要的比较次数为（nlog2n）

（2）算法的时间复杂度是指

　　A）算法的执行时间

　　B）算法所处理的数据量

　　C）算法程序中的语句或指令条数

　　D）算法在执行过程中所需要的基本运算次数

（1）一个队列的初始状态为空。

现将元素A,B,C,D,E,F,5,4,3,2,1依次入队，然后再依次退队，则元素退队的顺序为【1】。

（2）设某循环队列的容量为50，如果头指针front=45（指向队头元素的前一位置），尾指针rear=10（指向队尾元素），则该循环队列中共有【2】个元素。

　　（3）设二叉树如下：

　　对该二叉树进行后序遍历的结果为【3】。

ADAB