专题4 建模思想.docx
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专题4建模思想
建模思想
全日制义务教育数学课程标准对数学建模提出了明确要求，标准强调“从学生已有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解析与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。
”强化数学建模的能力，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的基本思想和方法，也能增强学生应用数学的意识，提高分析问题，解决实际问题的能力。
考查学生建模思想和意识的题目有许多，现分类举例说明。
一、建立“方程（组）”模型
现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系，“方程（组）”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、清晰的认识、描述和把握现实世界。
诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题，常可以抽象成“方程（组）”模型，通过列方程（组）加以解决
例1A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道。
已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？
变式练习:
1、（云南省2008年）．（本小题8分）云南省2014年至2015年茶叶种植面积与产茶面积情况如表所示，表格中的
、
分别为2014年和2015年全省茶叶种植面积：
年 份
种植面积（万亩）
产茶面积（万亩）
2014年
2015年
合 计
（1）请求出表格中
、
的值；
（2）在2014年全省种植的产茶面积中，若平均每亩产茶52千克，为使我省2016年全省茶叶种植产茶总产量达到22万吨，求2014年至2016年全省年产茶总产量的平均增长率（精确到0.01）．
（说明：
茶叶种植面积
产茶面积
未产茶面积）
二、建立“不等式（组）”模型
现实生活建立中同样也广泛存在着数量之间的不等关系。
诸如统筹安排、市场营销、生产决策、核定价格范围等问题，可以通过给出的一些数据进行分析，将实际问题转化成相应的不等式问题，利用不等式的有关性质加以解决。
例2（2007年茂名市中考试题）某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100只，付款总额不得超过11815元。
已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，试解答下列问题：
品名
厂家批发价（元/只）
商场零价（元/只）
篮球
130
160
排球
100
120
（1）该采购员最多可购进篮球多少只？
（2）若该商场能把这100只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则采购员至少要购篮球多少只？
该商场最多可盈利多少元？
解：
（1）该采购员可购进篮球ｘ只，则排球为（100－x）只，
依题意得：
130x＋100（100－x）≤11815
解得x≤60.5
∵x是正整数，∴x＝60
答：
购进篮球和排球共100只时，该采购员最多可购进篮球60只。
（2）该采购员要购进篮球ｘ只，则排球为（100－x）只，
依题意得：
30x＋20（100－x）≥2580
解得x≥58
由表中可知篮球的利润大于排球的利润，因此这100只球中，当篮球最多时，商场可盈利最多，即篮球60只，此时排球平均每天销售40只，
商场可盈利（160－130）×60＋（120－100）×40=1800＋800=2600（元）
答：
采购员至少要购进篮球58只，该商场最多可盈利2600元。
变式练习:
2、我市花石镇组织10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的湘莲共100吨到外地销售，按计划10辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种湘莲，根据下表提供的信息，解答以下问题：
湘莲品种
A
B
C
每辆汽车运载量（吨）
12
10
8
每吨湘莲获利（万元）
3
4
2
（1）设装运A种湘莲的车辆数为x，装运B种湘莲的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种湘莲的车辆数都不少于2辆，那么车辆的安排方案有几种？
并写出每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？
并求出最大利润的值.
三、建立“函数”模型
函数反映了事物间的广泛联系，揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律。
现实生活中，诸如最大获利、用料价造、最佳投资、最小成本、方案最优化问题，常可建立函数模型求解。
例3（贵州贵阳市中考试题）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？
最大利润是多少？
解：
（1）y=90－3（x－50）化简，得y=－3x＋240
（2）w=（x－40）（－3x＋240）
=－3x2＋360x－9600
（3）w=－3x2＋360x－9600
=－3（x－60）2＋1200
∵a=－3＜0 ∴抛物线开口向下
当x=60时，w有最大值，又x＜60，w随x的增大而增大，
∴当x=55时，w的最大值为1125元，
∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润1125元的最大利润
变式练习:
3、
（威海）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）求四边形MEFN面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．
四、建立“几何”模型
几何与人类生活和实际密切相关，诸如测量、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时，常需建立“几何模型，把实际问题转化为几何问题加以解决
例4如图点P表示广场上的一盏照明灯。
（1）请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子（用线段表示）；
（2）若小丽到灯柱MO的距离为4.5米，P到灯柱MO的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离；结果精确到0.1米；参考数据：
tan55 °≈1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574。
解：
（1）如图，线段AC是小敏的影子。
（2）过点Q作QE⊥MO于E，过点P作PF⊥AB于F，交EQ于点D，则PF⊥EQ。
在Rt△PDQ中，∠PQD=55°，DQ=EQ－ED=4.5－1.5=3（米）。
∵tan55°=
∴PD=3tan55°≈4.3（米）
∵DF=QB=1.6米
∴PF=PD＋DF=4.3＋1.6=5.9（米）。
答：
照明灯到地面的距离为5.9米。
变式练习:
4、（青岛）已知：
如图①，在RtΔABC中，∠C=900，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0（1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）设ΔAQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtΔABC的周长和面积同时平分？
若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把ΔPQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？
若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
五、建立“统计”模型
统计知识在自然科学、经济、人文、管理、工程技术等众多领域有着越来越多的应用。
诸如公司招聘、人口统计、各类投标选举等问题，常要将实际问题转化为“统计”模型，利用有关统计知识加以解决。
例5（2007年后湖北省荆州市中考试题）为了了解全市今年8万名初中毕业生的体育升学考试成绩状况（满分为30分，得分均是整数），从中随机抽取了部分学生的体育升学考试成绩制成下面频数分布直方图（尚不完整），已知第一小组的频率为0.12。
回答下列问题：
（1）在这个问题中，总体是，样本容量为
。
（2）第四小组的频率为，请补全频数分布直方图。
10
（3）被抽取的样本的中位数落在第小组内。
（4）若成绩在24分以上的为“优秀”，请估计今年全市初中毕业生的体育升学考试成绩为“优秀”的人数。
解：
（1）8万名初中毕业生的体育升学考试成绩，
=500。
（2）0.26，补图如图所示。
（3）三．
（4）由样本知优秀率为
100％=28％
∴估计8万名初中毕业生的体育升学成绩优秀的人数为28％×80000=22400（人）。
变式练习:
5、国家主管部门规定：
从2008年6月1日起，各商家禁止向消费者免费提供一次性塑料购物袋．为了了解巴中市市民对此规定的看法，对本市年龄在16—65岁之间的居民，进行了400个随机访问抽样调查，并根据每个年龄段的抽查人数和该年龄段对此规定的支持人数绘制了下面的统计图．
根据上图提供的信息回答下列问题：
（1）被调查的居民中，人数最多的年龄段是岁．
（2）已知被调查的400人中有
的人对此规定表示支持，请你求出31—40岁年龄段的满意人数，并补全图
．
（3）比较21—30岁和41—50岁这两个年龄段对此规定的支持率的高低（四舍五入到
，注：
某年龄段的支持率
）．
六、建立“概率”模型
概率在社会生活及科学领域中用途非常广泛，诸如游戏公平问题、彩票中奖问题、预测球队胜负等问题，常可建立概率模型求解。
例6（2007年辽宁省中考试题）四张质地相同的卡片如图所示。
将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上。
（1）求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率
（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图。
你认为这个游戏公平吗？
请用列表法或画树状图法说明理由。
若认为不公平，请你修改法则，使游戏变得公平。
解：
（1）P（抽到2）=
（2）根据题意可列表
2
2
3
6
2
22
22
23
26
2
22
22
23
26
3
32
32
33
36
6
62
62
63
66
画树状图如下：
从表（或树状图）中可以看出所有可能的结果共有16种，符合条件的有10种，∴P（两位数不超过32）==，∴游戏不公平。
调整规则如下。
方法一：
将游戏规则中的32换成26～31（包括26和31）之间的任何一个数都能使游戏公平。
方法二：
游戏规则改为抽到的两位数中，不超过32的得3分，抽到的两位数超过32的得5分。
方法三：
游戏规则改为组成的两位数中，若个位数字是2，则小贝胜，反之小晶胜。
综合训练:
1、已知甲、乙两地相距
（km），汽车从甲地行驶到乙地，则汽车行驶的时间
（h）与行驶速度
（km/h）的函数关系图象大致是（）
2、两个反比例函数
和
在第一象限内的图象如图所示，点P在
的图象上，PC⊥x轴于点C，交
的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交
的图象于点B，当点P在
的图象上运动时，以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．
3、25．（本题满分12分）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、C（0，—3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．
4、如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E
（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？
若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．
5、（义乌市）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度
，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（a
b，k
0），第
（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？
若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第
（2）题图5中，连结
、
，且a=3，b=2，k=
，求
的值．
6、已知：
如图①所示，在
和
中，
，
，
，且点
在一条直线上，连接
分别为
的中点．
（1）求证：
①
；②
是等腰三角形．
（2）在图①的基础上，将
绕点
按顺时针方向旋转
，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出
（1）中的两个结论是否仍然成立；
（3）在
（2）的条件下，请你在图②中延长
交线段
于点
．求证：
．
7、如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．求证：
GE是⊙O的切线．
8、如图15，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=8，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在D处，AD交OC于E．
（1）求OE的长；
（2）求过O，D，C三点抛物线的解析式；
（3）若F为过O，D，C三点抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t（秒）为何值时，直线PF把△FAC分成面积之比为1:
3的两部分？
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