0361聚合物流变学聚合物流变学成型论文.docx

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0361聚合物流变学聚合物流变学成型论文

[聚合物流变学]聚合物流变学成型论文

2张量和连续介质力学引论

2.1矢量与张量

我们经常遇到的物理量可用标量、矢量、张量表示。

）等。

标量（Scalars）：

温度（T），能量（E），体积（V），时间（t），表观剪切速率（γ

，速度（），加速度（），动量（m），力（）矢量（Vectors）：

位置矢量（）等。

张量（Tensors）：

应力张量（），应变速率张量（），旋转张量（），取向张量（），，界面张量（），面积张量（）等。

构象张量（）

2.1.1矢量

2.1.1.1矢量的表述方法

用黑体字母表示矢量（或在字母上加一横），称为Gibbs表示法。

例如，，，。

另一种表示法称为指标表述法。

位置矢量可表示如下：

=p11+p22+p33=∑pii（2-1）

i=1

3

式中1、2和3是单位矢量，p1、p2和p3是矢量在三个坐标方向的分量。

式（2-1）可以简化为：

=pii（2-2）

式中i称为哑指标，又称求和指标。

再作简化，式（2-2）可以写成：

=pi（2-3）

式中i称为自由指标。

式（2-2）和（2-3）都属于指标表示法，但式（2-2）称为实体表示法，

式（2-3）称为分量表示法。

式（2-2）中采用爱因斯坦求和约定，式中i是重复指标，i=1,2,3，表示三项之和，因此式（2-2）与式（2-1）相当。

Gibbs表述法直观，不依赖坐标体系，书写简明，易于图示。

但是，在进行数值运算时，矢量必须通过在给定坐标体系中的投影值，即坐标分量来表示。

而指标表述法可直接将分量值简明地表示出来，便于数学推导，适于数值计算。

指标表述法举例：

①aibi=a1b1+a2b2+a3b3，i=1,2,3

②akbick=akckbi=（a1c1+a2c2+a3c3）bi，i,k=1,2,3式中下标k是求和指标，i是自由指标。

③ai=ai，i=1,2,3

等式两边的自由指标必须相同，如果写成ai=aj就错了。

2.1.1.2

δij和eijk的定义

①δij称作克罗内克算符（KroneckerDelta）

0δij≡⎧⎨1⎩

当i≠j时当i=j时

其定义为i⋅j≡δij。

因此δij是个单位张量。

⎡100⎤δij=⎢010⎥

⎢001⎥⎦⎣

②eijk称作排列符（顺序算符）（permutationsymbol）

e123=e231=e312=1e132=e321=e213=−1

其余皆为零。

2.1.1.3矢量运算指标表述法

①矢量的点积

即：

+

③

①

顺时针排列为正

–

②

逆时针排列为负其余排列为零

⎞33⎛3⎞⎛3

⋅=cosθ=⎜∑aii⎟⋅⎜∑bjj⎟=∑∑（i⋅j）aibj

⎝i=1⎠⎝j=1⎠i=1j=1

=∑∑δijaibj=∑aibi[=]aibi=a1b1+a2b2+a3b3

i

j

i

也可简化地写作：

⋅=（aii）⋅（bjj）=aibji⋅j=aibjδij=aibi=a1b1+a2b2+a3b3

所以，矢量的点积为标量。

②矢量的数值

==

2

⋅=

pipi=p1p1+p2p2+p3p3=

22

p12+p2+p3

③矢量的微分

设矢量为（x1,x2,x3），则

d=

单位矢量为

∂∂∂∂dxi=,idxidx3=dx2+dx1+

∂xi∂x3∂x2∂x1

∂∂pi

i=

④矢量的叉积

×=×=wi=eijkujvk

wi=ei1ku1vk+ei2ku2vk+ei3ku3vk

=（ei11u1v1+ei12u1v2+ei13u1v3）+（ei21u2v1+ei22u2v2+ei23u2v3）+（ei31u3v1+ei32u3v2+ei33u3v3）

=（ei12u1v2+ei13u1v3）+（ei21u2v1+ei23u2v3）+（ei31u3v1+ei32u3v2）

当i=1时，w1=u2v3−u3v2当i=2时，w2=u3v1−u1v3当i=3时，w3=u1v2−u2v1因此

×=（u2v3−u3v2）1+（u3v1−u1v3）2+（u1v2−u2v1）3

12

×=u1u2

v1v2

3u3v3

上面两种表述的结果相同，但是采用eijk符号的表达式较简明，便于运算。

⑤e−δ恒等式

eijkeist=δjsδkt−δjtδks（2-4）

式中i是求和指标，j,k,s,t皆为自由指标。

注意：

（a）式中不同项中的指标若相同，不可认为是求和指标。

只有在同一项中相同的指标才能定义为求和指标。

（b）等式两边的自由指标必须一致。

⑥交换律

⋅=⋅

δjiδkt=δktδji

aijBij=Bijaij

⑦

δij的置换性质

aiδij=ajaiδji=ajaijklmnδkr=aijrlmn

如果我们想把ak变成ai，可以乘以δik，即akδik=ai，或者akδki=ai。

2.1.1.4矢量在不同坐标中的表示法

如图2-1所示，把坐标轴旋转θ度后，若矢量在原来坐标体系中的表达式为=pii，则在新坐标体系中应为=pii′。

作为位置矢量并没有改变，所以pii=pi′i′。

两边乘以

j，得

pii⋅j=pi′i′⋅jpiδij=pi′βij=pj

式中βij=i⋅j，称为方向余弦。

方向余弦表示矢量在不同坐标间的转换关系：

x1

1

图2-1坐标轴旋转示意图

2

pj=pi′βij=βijpi′，j=1,2,3

即pj=

′+β2jp2′+β3jp3′。

β1jp1

同样可对式pii=pi′i′两边乘以j，得

′′′pii⋅′j=pii⋅j

所以piβji=pi′δij=p′j

这样一矢量在不同坐标中的转换可写成

pi=βji⋅p′j（2-5）pi′=βij⋅pj（2-6）

式中βji=′j⋅i，βij=i⋅j。

注意：

βji中写在前面的下标代表新坐标。

按照矢量点积的定义，方向余弦可表示为

βij=i′⋅j=j⋅i=cosi′,j）

表2-1列出了βij的九个分量，可用矩阵表示。

–”e1–”e

2

表2-1方向余弦表

––ee

β11β21β31

β12β22β32

–eβ13β23β33

–”eβij是个特殊的张量，具有以下特性：

βij≠βji，因此不是一个对称张量；

βij=1βji=（βij）Tβji=（βij）−1

所以，βij=

T

βij−1

（2-7）

凡是满足式（2-7）条件的矩阵称为正交矩阵。

由正交矩阵实施的变换称为正交变换，

也即能使坐标发生旋转。

对正交矩阵，可以证明：

（βik）（βkj）

即δij=

T

=（βik）（βkj）=δij

（2-8）

−1

βikβjk

2.1.2张量简介

2.1.2.1标量、矢量、张量的定义

当直角坐标系改变（即从一个坐标系变换成另一个坐标系）时，满足如下转换关系的分量所组成的集合分别是标量、矢量和张量：

′,x2′,x3′）标量：

φ（x1,x2,x3）=φ（x1

式中一个分量相等。

（2-9）

′,x2′,x3′）βki矢量：

Fi（x1,x2,x3）=Fk′（x1

′,x2′,x3′）=Fk（x1,x2,x3）βik（2-10）Fi′（x1

式中三个分量乘以转换因子后分别相等。

′（x1′,x2′,x3′）βmiβnj张量：

tij（x1,x2,x3）=tmn

′（x1′,x2′,x3′）=tmn（x1,x2,x3）βimβjn（2-11）tij

式中九个分量乘以转换因子后分别相等。

张量是由数个元素组成的集合体，可用矩阵表示。

在聚合物加工中，重要的张量如应力张量τij，速度梯度张量∂ui∂xj，应变速率张量Δij，取向张量Sijkl，构象张量Cij，界面张量qij等。

从上面定义可知，标量与坐标系无关，而矢量、张量与坐标系有关。

通过指标表述变量的换算，可以证明上面定义的有效性。

例如⋅是标量，那么当坐标系改变后，是否还是同一标量值呢？

′）=β′jiβkip′jpk′=δjkp′jpk′=p′jp′j⋅=pipi=（β′jip′j）（βkipk

再如，并矢是张量，在另一个坐标系中应如何表述呢？

′=βjiβklp′jpk′pipl=βjip′jβklpk

可见此张量在新坐标系中的并矢需乘以转换因子才能与原来的相等。

张量的阶数与分量数归纳如下：

T=T′Ti=βriTr′

′Tij=βriβsjTrs

阶数N分量数

011329327N3N

′Tijk=βriβsjβtkTrst

′Tijkl=βriβsjβtkβulTrstu

′=βirβjsβktβluTijklTrstu

2.1.2.2张量的运算

①转置：

Tτij=τji

对称：

τij=τji

反对称：

τij=−τji

求逆：

−1τikτkj=δij；

求迹：

trτ=τii=τ11+τ22+τ33

②加减法：

③乘法：

标量－矢量相乘：

标量－张量相乘：

矢量点积：

矢量叉积：

并矢：

张量的单点积：

张量的双点积：

张量－矢量点积：

矢量－张量点积：

张量－矢量叉积：

矢量－张量叉积：

④张量的缩并：

±=ui±vi

+=τij+σij

a=aui

a=aτij

⋅=uivi

×=eijkujvk

=uivj

⋅=τikσkj

:

=τijσji

⋅=τijvj

⋅=viτij

×=ejklτijvk

×=eijlviτjk

T⎯缩并⎯→T⎯缩并

ijklijjl⎯→Tijji四阶张量

二阶张量

标量

2.1.2.3运算符号的定义

运算符号的定义见表2-2。

表2-2各种运算符号的定义

Gibbs表示法矢量

点积（内积）⋅叉积（矢积）×并矢（外积）⊗=标量梯度gradφ=∇φ矢量梯度grad=∇散度div=∇⋅旋度curl=∇×∇=∇⋅∇=Δ∇2φ=∇⋅∇φ=Δφ

2

指标表示法

viuivieijkujvk

uivj∂φ∂xi=φ,i

张量的阶数

101

2120110

∂vi∂xj=vi,j∂vi

=vi,i∂xi∂v

eijkk=eijkvk,j∂xj

∂∂xi

2

⎛∂vj⎞∂vj

⎜⎜∂x⎟⎟=∂x∂x=vj,ii

ii⎝i⎠

∂⎛∂φ⎞∂2φ⎜⎟==φ,ii⎜⎟∂xi⎝∂xi⎠∂xi∂xi

注：

（a）∇=

∂∂∂∂

1+2+3=i称为det算子或哈密顿算子；（b）Δ=∇⋅∇∂x1∂x2∂x3∂xi

称为拉普拉斯算子。

2.2连续介质中的应力

2.2.1应力简介

根据连续介质力学的观点，不管是什么原因引起的，物体所受的力都可以分成三种类型：

⑴外力，例如，地球吸引力（称为体力）、静电与磁性吸引力等，都是作用在物体上的非接触力。

因此这类外力也被称作长程力。

⑵表面力，指施加在物体外表面的接触力。

因为施加在物体的外表面上，故常作为边界条件处理。

⑶内部应力，我们可以想象将一物体分割成为许多宏观尺度足够小而微观尺度足够大的单元，单元表面存在着相互作用力（此单元被称作微元体，也叫做体积元。

），这种作用力被称作应力；换句话说，应力就是由毗邻的流体质点直接施加给所研究的微元体表面的接触力，因此，应力又被称作近程力。

图2-2给出了单元表面作用力的示意图。

图2-2单元表面的作用力

图中δS是截面积，δ是作用力，为法向单位矢量。

P点应力（）

的定义为

（）=lim

δ（2-12）

δS→0δS

。

为了进一步分析P点微元体受力情况，我们采用一立方体表示这一微元体（见图2-3）

x2

1

图2-3微元体P受力分析

图中（−2）

=

（2），即（−2）与

（2）绝对值相等，方向相反。

P微元体受到了三个独立作用

（1）

力的作用：

，

（2）

，（3）

；每个作用力又可按图2-3的直角坐标系分解成三个分量。

所

以对于微元体P来说，总共受到独立的九个分量的作用：

垂直于x1的平面上的单位面积作用力为

（1）=τ111+τ212+τ313（2-13）

垂直于x2的平面上的单位面积作用力为

（2）=τ121+τ222+τ323（2-14）

垂直于x3的平面上的单位面积作用力为

（3）=τ131+τ232+τ333（2-15）

上式中τ11，τ12，τ13，τ21……为应力分量；前面一个下标表示作用力方向，后一个下标表示作用面。

式（2-13）、（2-14）、（2-15）可合并为

（j）

=τiji（2-16）

式中τij是个二阶张量，有九个分量，可以写成矩阵形式：

⎡τ11τ12τ13⎤

τij=⎢τ21τ22τ23⎥

⎢τ⎥⎣31τ32τ33⎦

现在的问题是应力τij是否能完全表示物体内部的受力情况。

也就是说，如果物体内部某点的τij已知，那么该点在任何作用面上的作用力是否已经可求？

答案是肯定的。

下面来证明这一点。

任取一P点，并任取一作用面δS，受力分析见图2-4。

已知τij，νj，求（）

。

设图中四面体的高为h，四面体体积V=当h→0，V→0，此时作用在P点3hδS。

上的力应达到平衡。

即

（）dS+（−1）（δS⋅1）+（−2）（δS⋅2）+（−3）（δS⋅3）=0

∵⋅

1=cos

（1）≡ν1

⋅2=cos

（2）≡ν2

⋅3=cos（3）≡ν3

∴（）=−（−1）ν1−（−2）ν2−（−3）ν3

因为所以（）

（−j）

=−（j）

=

（1）ν1+

（2）ν2+（3）ν3

（）=jνj

将式（2-16）与（）

）

=tjj代入上式得

ti（）=νjτij（2-17）

（）

上式称作Cauchy公式。

若用矩阵表示，可写成

ti（）=（ν1ν2

⎡τ11τ12τ13⎤

⎥（2-18）

ν3）⎢τττ212223⎥⎢⎢⎦⎣τ31τ32τ33⎥

由于物体受力后角动量守恒，故τij是个对称张量，τij=τji。

2.2.2主应力与主轴

当一物体受力后，其内部某一微元体各个面上的作用力的方向不一定与坐标轴相一致。

但是，我们可以通过旋转使得它们相一致。

1

x旋转

1

τij[=]τ”ij

x”3

图2-5微元体旋转示意图

′表示旋转后坐标中的应力，即图中τij是原坐标轴中应力表示值，τij

′00⎤⎡σ100⎤⎡τ11τ12τ13⎤⎡τ11

′=⎢0τ22′τij=⎢τ21τ22τ23⎥→τij0⎥=⎢0σ20⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

′⎥0τ33⎢⎢⎣τ31τ32τ33⎥⎦⎣0⎦⎢⎣00σ3⎥⎦

Tj=νiτij，T1=νiτi1，T2=νiτi2，T3=

νiτi3

′，T1′=νiτi′1，T2′=νiτi′2，T3′=νiτi′3Tj′=νiτij

′，x2′，x3′是旋转后新坐标系的三′的三个分量，被称为主应力。

x1σ1，σ2，σ3是τij

个轴，称为主轴。

与主轴相垂直的三个平面称作主平面。

νi是主平面的单位法向矢量。

2.3动力学方程

在聚合物加工中，基本守恒方程包括：

连续性方程，动力学方程，能量方程，传质方程。

其中，能量方程与传质方程将在第五章中讲述。

连续性方程表现了质量守恒原理。

动力学方程也叫运动方程，表达了动量守恒原理。

2.3.1质量守恒

根据图2-6所示的质量守恒原理，我们可以建立一体积元的质量平衡表达式如下：

体积元

图2-6质量守恒原理

流进质量＝流出质量＋质量变化率

设质量变化率增加为正，减少为负。

则

（流出质量－流进质量）＋质量变化率=0

为了推导连续性方程，首先把一体积元的外表面分成两组平面，每一组由三个平面组成。

质量从一组平面流进，从另一组平面流出。

（见图2-7）

（1）质量变化率

∂ρ

dx1dx2dx3，其中ρ为密度。

∂t

图2-7体积元的两组平面

（2）流动引起的质量变化（流体携带的质量）

x1分量（通过与x1垂直的平面的量）为

[ρu1dx2dx3]x=dx−[ρu1dx2dx3]x=0

=[（ρu1）x=dx1−（ρu1）x=0]dx2dx3

=δ（ρu1）dx2dx3

∂（ρu1）dxdxdx=

1

1

1

1

1

∂x1

123

式中ρu1称为质量通量，其量纲为⎢

⎡M⎤

。

2⎣Lt⎦

∂（ρu2）dx1dx2dx3

∂x2

同样可以求得x2分量的表达式：

x3分量的表达式：

∂（ρu3）dx1dx2dx3∂x3

根据上述质量平衡表达式，可得

⎡∂（ρu1）∂（ρu2）∂（ρu3）⎤∂ρ

dxdxdx+++⎥123∂tdx1dx2dx3=0⎢∂xxx∂∂123⎦⎣

∂ρ∂（ρu1）∂（ρu2）∂（ρu3）+++=0

∂t∂x1∂x2∂x3

得到连续性方程式

∂ρ∂（ρui）+=0（2-19）

∂t∂xi

用矢量表述法表示，连续性方程可写成：

∂ρ

+∇⋅ρ=0∂t

∂ρ

+ρ∇⋅+⋅∇ρ=0（2-20）∂t

令

∂ρDρ

，连续性方程可写成：

+⋅∇ρ≡

∂tDt

Dρ

+ρ∇⋅=0Dt

∂uDρ

+ρi=0（2-21）Dt∂xi

式中

D∂∂∂

=+ui=+⋅∇，称为随体时间导数（物质导数），又称Stokes导数（微Dt∂t∂xi∂t

Dρ∂ρ

=0，则=0，得出不可压缩流体的连续性方∂tDt

∇⋅=0

商）。

对于不可压缩流体，∇ρ=0，程：

∂ui

=0（2-22）∂xi

从式（2-20）可知域变化，ui

Dρ∂ρ

是由两项组成。

在一流场中，代表场的非定常性所引起的局Dt∂t

∂ρ∂ρ为场的非均匀性所引起的变化，或称为ui引起的对流项。

=0，表示局

∂t∂xi

域不变；ui

∂ρ∂ρ∂ρ=0，表示对流不变。

+ui=0，表示随体不变。

不可压缩流体具

∂t∂xi∂xi

Dρ

=0。

Dt

有随体不变的性质，即

2.3.2动量平衡

与推导连续性方程同样，先把流体的一个体积元外表面分成两组平面，每组包括三个平

第一组平面

图2-8两组平面上的应力

11

1

x1

x第二组平面

面（见图2-8）。

图中应力张量下标约定为第一个下标表示作用力方向，第二个下标表示作用面。

作用于一体积元的可能的力包括：

（1）表面应力；

（2）重力；（3）流体携带的动量通量；（4）体积元内动量变化率；（5）其它力，如电力、磁力等。

把所有作用于流体体积元的力分解成x1、x2、x3三个方向，分别求平衡。

x1方向的平衡：

（1）表面应力S1

S1=[（T11+dT11）−T11]dx2dx3+[（T12+dT12）−T12]dx1dx3+[（T13+dT13）−T13]dx1dx2

==

∂T∂T11∂T

dx1dx2dx3+12dx1dx2dx3+13dx1dx2dx3∂x1∂x2∂x3∂T1i

dV∂xi

（2）重力B1

设f1是x1方向的单位质量的重力（重力加速度）

B1=ρf1dx1dx2dx3=ρf1dV

（3）流体携带的动量通量C1

动量通量等于动量密度乘以速度。

已知动量密度为ρ，则动量通量为（ρ）。

在x1方

向的动量密度为ρ1，流进第一组平面的动量流为：

[（ρu1）u1dx2dx3]x1

=0+[（ρu1）u2dx1dx3]x2

=0+[（ρu1）u3dx2dx1]x3

=0

流出第一组平面的动量为：

[（ρu1）u1dx2dx3]x1

=dx1

+[（ρu1）u2dx1dx3]x2

=dx

2

+[（ρu1）u3dx2dx1]x3=dx

3C1=流进的动量流−流出的动量流

=−⎡⎢

∂⎣∂x（ρu）dx∂⎤

1u11dx2dx3+1∂x（ρu1u2）dx∂1dx2dx3+（ρu1u3）dx1dx2dx3⎥2∂x3⎦

=−∂

∂x[ρu1ui]dVi

（4）体积元内动量的变化率R

R=

∂

∂t（ρu1dx1dx2dx3）=∂∂t

（ρu1）dV假设其它力可以忽略不计，则由力的平衡可得

R=S1+B1+C1

∂

∂t（ρu∂xu∂Tj1）dV+∂（ρ1uj）dV=1dV+ρf1dVj∂xj

同样，可求得学x2方向与x3方向的力的平衡方程：

x2方向

∂

∂t（ρu∂T2）dV+∂∂x（ρu2uj）dV=2j∂xdV+ρf2dVjj

x3方向

∂

（ρudV+∂x（ρu∂T3j∂t3）∂3uj）dV=dV+ρf3dVj∂xj

合并x1、x2、x3三个方向的平衡方程，得到流体的动力学方程：

∂

（ρu）+∂（ρu∂Tij∂ti∂xiuj）=+ρfi，i=1,2,3j∂xj

因为

∂

（ρuiti）=ρ∂u