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1、0361聚合物流变学聚合物流变学成型论文 聚合物流变学聚合物流变学成型论文 2 张量和连续介质力学引论2.1矢量与张量我们经常遇到的物理量可用标量、矢量、张量表示。）等。标量（Scalars ）：温度（T ），能量（E ），体积（V ），时间（t ），表观剪切速率（，速度（），加速度（），动量（m ），力（）矢量（Vectors ）：位置矢量（）等。张量（Tensors ）：应力张量（），应变速率张量（），旋转张量（），取向张量（），界面张量（），面积张量（）等。 构象张量（）2.1.1 矢量2.1.1.1 矢量的表述方法用黑体字母表示矢量（或在字母上加一横），称为Gibbs 表示法。例如，。

2、另一种表示法称为指标表述法。位置矢量可表示如下：=p 11+p 22+p 33=p i i （2-1）i =13式中1、2和3是单位矢量，p 1、p 2和p 3是矢量在三个坐标方向的分量。式（2-1）可以简化为：=p i i （2-2）式中i 称为哑指标，又称求和指标。再作简化，式（2-2）可以写成：=p i （2-3）式中i 称为自由指标。式（2-2）和（2-3）都属于指标表示法，但式（2-2）称为实体表示法，式（2-3）称为分量表示法。式（2-2）中采用爱因斯坦求和约定，式中i 是重复指标，i =1, 2, 3，表示三项之和，因此式（2-2）与式（2-1）相当。Gibbs 表述法直观，不依

3、赖坐标体系，书写简明，易于图示。但是，在进行数值运算时，矢量必须通过在给定坐标体系中的投影值，即坐标分量来表示。而指标表述法可直接将分量值简明地表示出来，便于数学推导，适于数值计算。指标表述法举例： a i b i =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3，i =1, 2, 3 a k b i c k =a k c k b i =(a 1c 1+a 2c 2+a 3c 3)b i ，i , k =1, 2, 3 式中下标k 是求和指标，i 是自由指标。 a i =a i ，i =1, 2, 3等式两边的自由指标必须相同，如果写成a i =a j 就错了。 2.1.1.2ij 和e ijk 的

4、定义 ij 称作克罗内克算符（Kronecker Delta）0ij 1 当i j 时当i =j 时其定义为i j ij 。因此ij 是个单位张量。100ij =010001 e ijk 称作排列符 （顺序算符） （permutation symbol）e 123=e 231=e 312=1 e 132=e 321=e 213=1其余皆为零。2.1.1.3 矢量运算指标表述法 矢量的点积即：+顺时针排列为正逆时针排列为负 其余排列为零3333=cos =a i i b j j =(i j )a i b ji =1j =1i =1j =1=ij a i b j =a i b i =a i b i

5、 =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3iji也可简化地写作：=(a i i )(b j j )=a i b j i j =a i b j ij =a i b i =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3所以，矢量的点积为标量。 矢量的数值=2=p i p i =p 1p 1+p 2p 2+p 3p 3=22p 12+p 2+p 3 矢量的微分设矢量为(x 1, x 2, x 3)，则d =单位矢量为dx i =, i dx i dx 3=dx 2+dx 1+x i x 3x 2x 1 p ii = 矢量的叉积= =w i =e ijk u j v kw i =e i 1k u 1v k

6、 +e i 2k u 2v k +e i 3k u 3v k=(e i 11u 1v 1+e i 12u 1v 2+e i 13u 1v 3)+(e i 21u 2v 1+e i 22u 2v 2+e i 23u 2v 3)+(e i 31u 3v 1+e i 32u 3v 2+e i 33u 3v 3)=(e i 12u 1v 2+e i 13u 1v 3)+(e i 21u 2v 1+e i 23u 2v 3)+(e i 31u 3v 1+e i 32u 3v 2)当i =1时，w 1=u 2v 3u 3v 2 当i =2时，w 2=u 3v 1u 1v 3 当i =3时，w 3=u 1v

7、 2u 2v 1 因此=(u 2v 3u 3v 2)1+(u 3v 1u 1v 3)2+(u 1v 2u 2v 1)312=u 1u 2v 1v 23u 3 v 3上面两种表述的结果相同，但是采用e ijk 符号的表达式较简明，便于运算。 e 恒等式e ijk e ist =js kt jt ks （2-4）式中i 是求和指标，j , k , s , t 皆为自由指标。注意：（a ）式中不同项中的指标若相同，不可认为是求和指标。只有在同一项中相同的指标才能定义为求和指标。（b ）等式两边的自由指标必须一致。 交换律=ji kt =kt jia ij B ij =B ij a ijij 的置换性

8、质a i ij =a j a i ji =a j a ijklmn kr =a ijrlmn如果我们想把a k 变成a i ，可以乘以ik ，即a k ik =a i ，或者a k ki =a i 。 2.1.1.4 矢量在不同坐标中的表示法如图2-1所示，把坐标轴旋转度后，若矢量在原来坐标体系中的表达式为=p i i ，则在新坐标体系中应为=p i i 。作为位置矢量并没有改变，所以p i i =p i i 。两边乘以j ，得p i i j =p i i j p i ij =p i ij =p j式中ij =i j ，称为方向余弦。方向余弦表示矢量在不同坐标间的转换关系：x 11图2-1 坐

9、标轴旋转示意图2p j =p i ij =ij p i ，j =1, 2, 3即p j =+2j p 2+3j p 3。 1j p 1同样可对式p i i =p i i 两边乘以j ，得p i i j =p i i j所以p i ji =p i ij =p j这样一矢量在不同坐标中的转换可写成p i =ji p j （2-5） p i =ij p j （2-6）式中ji =j i ，ij =i j 。注意：ji 中写在前面的下标代表新坐标。按照矢量点积的定义，方向余弦可表示为ij =i j =j i =cos i , j )表2-1列出了ij 的九个分量，可用矩阵表示。” e 1” e2表2-

10、1 方向余弦表 e e11 21 3112 22 32 e 13 23 33” e ij 是个特殊的张量，具有以下特性： ij ji ，因此不是一个对称张量；ij =1 ji =(ij )T ji =(ij )1所以，ij =Tij 1（2-7）凡是满足式（2-7）条件的矩阵称为正交矩阵。由正交矩阵实施的变换称为正交变换，也即能使坐标发生旋转。对正交矩阵，可以证明：(ik )(kj )即ij =T=(ik )(kj )=ij（2-8）1ik jk2.1.2 张量简介2.1.2.1 标量、矢量、张量的定义当直角坐标系改变（即从一个坐标系变换成另一个坐标系）时，满足如下转换关系的分量所组成的集合分

11、别是标量、矢量和张量：, x 2, x 3) 标量：(x 1, x 2, x 3)=(x 1式中一个分量相等。（2-9）, x 2, x 3)ki 矢量：F i (x 1, x 2, x 3)=F k (x 1, x 2, x 3)=F k (x 1, x 2, x 3)ik （2-10） F i (x 1式中三个分量乘以转换因子后分别相等。(x 1, x 2, x 3)mi nj 张量：t ij (x 1, x 2, x 3)=t mn(x 1, x 2, x 3)=t mn (x 1, x 2, x 3)im jn （2-11） t ij式中九个分量乘以转换因子后分别相等。张量是由数个元素

12、组成的集合体，可用矩阵表示。在聚合物加工中，重要的张量如应力张量ij ，速度梯度张量u i x j ，应变速率张量ij ，取向张量S ijkl ，构象张量C ij ，界面张量q ij 等。从上面定义可知，标量与坐标系无关，而矢量、张量与坐标系有关。通过指标表述变量的换算，可以证明上面定义的有效性。例如是标量，那么当坐标系改变后，是否还是同一标量值呢？)=ji ki p j p k =jk p j p k =p j p j =p i p i =(ji p j )(ki p k再如，并矢是张量，在另一个坐标系中应如何表述呢？=ji kl p j p k p i p l =ji p j kl p k

13、可见此张量在新坐标系中的并矢需乘以转换因子才能与原来的相等。张量的阶数与分量数归纳如下：T =T T i =ri T r T ij =ri sj T rs阶数N 分量数0 1 1 3 2 9 3 27 N 3N T ijk =ri sj tk T rst T ijkl =ri sj tk ul T rstu =ir js kt lu T ijkl T rstu2.1.2.2 张量的运算 转置：T ij =ji对称：ij =ji反对称：ij =ji求逆：1ik kj =ij ；求迹：tr =ii =11+22+33 加减法： 乘法：标量矢量相乘：标量张量相乘：矢量点积：矢量叉积：并矢：张量的单点

14、积：张量的双点积：张量矢量点积：矢量张量点积：张量矢量叉积：矢量张量叉积： 张量的缩并：=u i v i+=ij +ija =au ia =a ij=u i v i=e ijk u j v k=u i v j=ik kj:=ij ji=ij v j=v i ij=e jkl ij v k=e ijl v i jkT 缩并T 缩并ijkl ijjl T ijji 四阶张量二阶张量标量2.1.2.3 运算符号的定义运算符号的定义见表2-2。表2-2 各种运算符号的定义Gibbs 表示法 矢量点积（内积） 叉积（矢积） 并矢（外积） =标量梯度 grad = 矢量梯度 grad = 散度 div =

15、 旋度 curl = = 2=2指标表示法v i u i v i e ijk u j v ku i v j x i =, i张量的阶数1 0 12 1 2 0 1 1 0v i x j =v i , j v i=v i , i x i ve ijk k =e ijk v k , j x jx i2v j v jx =x x =v j , iii i i 2=, ii x i x i x i x i注：（a ） =1+2+3=i 称为det 算子或哈密顿算子；（b ） =x 1x 2x 3x i称为拉普拉斯算子。2.2 连续介质中的应力2.2.1 应力简介根据连续介质力学的观点，不管是什么原因引

16、起的，物体所受的力都可以分成三种类型： 外力，例如，地球吸引力（称为体力）、静电与磁性吸引力等，都是作用在物体上的非接触力。因此这类外力也被称作长程力。 表面力，指施加在物体外表面的接触力。因为施加在物体的外表面上，故常作为边界条件处理。 内部应力，我们可以想象将一物体分割成为许多宏观尺度足够小而微观尺度足够大的单元，单元表面存在着相互作用力（此单元被称作微元体，也叫做体积元。），这种作用力被称作应力；换句话说，应力就是由毗邻的流体质点直接施加给所研究的微元体表面的接触力，因此，应力又被称作近程力。图2-2给出了单元表面作用力的示意图。图2-2 单元表面的作用力图中S 是截面积，是作用力，为法

17、向单位矢量。P 点应力()的定义为()=lim （2-12）S 0S。为了进一步分析P 点微元体受力情况，我们采用一立方体表示这一微元体（见图2-3）x 21图2-3 微元体P 受力分析图中(2)=(2)，即(2)与(2)绝对值相等，方向相反。P 微元体受到了三个独立作用(1)力的作用：，(2)，(3)；每个作用力又可按图2-3的直角坐标系分解成三个分量。所以对于微元体P 来说，总共受到独立的九个分量的作用：垂直于x 1的平面上的单位面积作用力为(1)=111+212+313 （2-13）垂直于x 2的平面上的单位面积作用力为(2)=121+222+323 （2-14）垂直于x 3的平面上的单

18、位面积作用力为(3)=131+232+333 （2-15）上式中11，12，13，21为应力分量；前面一个下标表示作用力方向，后一个下标表示作用面。式（2-13）、（2-14）、（2-15）可合并为(j )=ij i （2-16）式中ij 是个二阶张量，有九个分量，可以写成矩阵形式：111213ij =212223313233现在的问题是应力ij 是否能完全表示物体内部的受力情况。也就是说，如果物体内部某点的ij 已知，那么该点在任何作用面上的作用力是否已经可求？答案是肯定的。下面来证明这一点。任取一P 点，并任取一作用面S ，受力分析见图2-4。已知ij ，j ，求()。设图中四面体的高为h

19、 ，四面体体积V =当h 0，V 0，此时作用在P 点3h S 。上的力应达到平衡。即()dS +(1)(S 1)+(2)(S 2)+(3)(S 3)=0 1=cos (1)12=cos (2)23=cos (3)3 ()=(1)1(2)2(3)3因为所以()(j )=(j )=(1)1+(2)2+(3)3()=j j将式（2-16）与()=t j j 代入上式得t i ()=j ij （2-17）()上式称作Cauchy 公式。若用矩阵表示，可写成t i ()=(12111213 （2-18）3)212223313233由于物体受力后角动量守恒，故ij 是个对称张量，ij =ji 。2.2.

20、2 主应力与主轴当一物体受力后，其内部某一微元体各个面上的作用力的方向不一定与坐标轴相一致。但是，我们可以通过旋转使得它们相一致。1x 旋转1ij =” ijx” 3图2-5 微元体旋转示意图表示旋转后坐标中的应力，即 图中ij 是原坐标轴中应力表示值，ij0010011121311=022ij =212223ij 0=0200333132330003T j =i ij ，T 1=i i 1，T 2=i i 2，T 3=i i 3，T 1=i i 1，T 2=i i 2，T 3=i i 3 T j =i ij，x 2，x 3是旋转后新坐标系的三的三个分量，被称为主应力。x 11，2，3是ij个

21、轴，称为主轴。与主轴相垂直的三个平面称作主平面。i 是主平面的单位法向矢量。2.3 动力学方程在聚合物加工中，基本守恒方程包括：连续性方程，动力学方程，能量方程，传质方程。其中，能量方程与传质方程将在第五章中讲述。连续性方程表现了质量守恒原理。动力学方程也叫运动方程，表达了动量守恒原理。2.3.1 质量守恒根据图2-6所示的质量守恒原理，我们可以建立一体积元的质量平衡表达式如下：体积元图2-6 质量守恒原理流进质量流出质量质量变化率设质量变化率增加为正，减少为负。则（流出质量流进质量）质量变化率=0为了推导连续性方程，首先把一体积元的外表面分成两组平面，每一组由三个平面组成。质量从一组平面流进

22、，从另一组平面流出。（见图2-7）（1） 质量变化率dx 1dx 2dx 3，其中为密度。t图 2-7 体积元的两组平面（2） 流动引起的质量变化（流体携带的质量）x 1分量（通过与x 1垂直的平面的量）为u 1dx 2dx 3x =dx u 1dx 2dx 3x =0=(u 1)x =dx 1(u 1)x =0dx 2dx 3=(u 1)dx 2dx 3(u 1)dx dx dx =11111x 1123式中u 1称为质量通量，其量纲为M 。 2L t (u 2)dx 1dx 2dx 3x 2同样可以求得x 2分量的表达式：x 3分量的表达式：(u 3)dx 1dx 2dx 3 x 3根据上

23、述质量平衡表达式，可得(u 1)(u 2)(u 3)dx dx dx +123t dx 1dx 2dx 3=0 x x x 123(u 1)(u 2)(u 3)+=0t x 1x 2x 3得到连续性方程式(u i )+=0 （2-19）t x i用矢量表述法表示，连续性方程可写成：+=0 t+=0 （2-20） t令D ，连续性方程可写成： +t DtD +=0 Dtu D +i =0 （2-21） Dt x i式中D =+u i =+，称为随体时间导数（物质导数），又称Stokes 导数（微Dt t x i tD =0，则=0，得出不可压缩流体的连续性方t Dt=0商）。对于不可压缩流体，=

24、0，程：u i=0 （2-22） x i从式（2-20）可知域变化，u iD 是由两项组成。在一流场中，代表场的非定常性所引起的局Dt t为场的非均匀性所引起的变化，或称为u i 引起的对流项。=0，表示局t x i域不变；u i=0，表示对流不变。+u i =0，表示随体不变。不可压缩流体具t x i x iD =0。 Dt有随体不变的性质，即2.3.2 动量平衡与推导连续性方程同样，先把流体的一个体积元外表面分成两组平面，每组包括三个平第一组平面图 2-8 两组平面上的应力111x 1x 第二组平面面（见图2-8）。图中应力张量下标约定为第一个下标表示作用力方向，第二个下标表示作用面。作用

25、于一体积元的可能的力包括：（1）表面应力；（2）重力；（3）流体携带的动量通量；（4）体积元内动量变化率；（5）其它力，如电力、磁力等。把所有作用于流体体积元的力分解成x 1、x 2、x 3三个方向，分别求平衡。x 1方向的平衡：（1）表面应力S 1S 1=(T 11+dT 11)T 11dx 2dx 3+(T 12+dT 12)T 12dx 1dx 3+(T 13+dT 13)T 13dx 1dx 2=T T 11Tdx 1dx 2dx 3+12dx 1dx 2dx 3+13dx 1dx 2dx 3x 1x 2x 3T 1idV x i（2）重力B 1设f 1是x 1方向的单位质量的重力（重

26、力加速度）B 1=f 1dx 1dx 2dx 3=f 1dV（3）流体携带的动量通量C 1动量通量等于动量密度乘以速度。已知动量密度为，则动量通量为()。在x 1方向的动量密度为1，流进第一组平面的动量流为：(u 1)u 1dx 2dx 3x 1=0+(u 1)u 2dx 1dx 3x 2=0+(u 1)u 3dx 2dx 1x 3=0流出第一组平面的动量为：(u 1)u 1dx 2dx 3x 1=dx 1+(u 1)u 2dx 1dx 3x 2=dx2+(u 1)u 3dx 2dx 1x 3=dx3C 1=流进的动量流流出的动量流=x (u )dx 1u 11dx 2dx 3+1x (u 1

27、u 2)dx 1dx 2dx 3+(u 1u 3)dx 1dx 2dx 3 2x 3=x u 1u i dV i（4）体积元内动量的变化率RR =t (u 1dx 1dx 2dx 3)=t(u 1)dV 假设其它力可以忽略不计，则由力的平衡可得R =S 1+B 1+C 1t (u x u T j 1)dV +(1u j )dV =1dV +f 1dV j x j同样，可求得学x 2方向与x 3方向的力的平衡方程：x 2方向t (u T 2)dV +x (u 2u j )dV =2j x dV +f 2dV j jx 3方向(u dV +x (u T 3j t 3)3u j )dV =dV +f 3dV j x j合并x 1、x 2、x 3三个方向的平衡方程，得到流体的动力学方程：(u )+(u T ij t i x i u j )=+f i ，i =1, 2, 3 j x j因为(u i t i )=u