学年第一学期七年级数学《有理数》提优练习含答案.docx
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学年第一学期七年级数学《有理数》提优练习含答案
2020-2021学年第一学期七年级数学《有理数》提优练习
一．选择题
1．﹣2020的绝对值是（ ）
A．﹣2020B．2020C．
D．
2．已知a在数轴上的位置如图所示，则|a+2|﹣|a﹣3|的值为（ ）
A．﹣5B．5C．2a﹣1D．1﹣2a
3．下列说法：
①﹣a＜0；②|﹣a|＝|a|；③相反数大于它本身的数一定是负数；④绝对值等于它本身的数一定是正数．其中正确的序号为（ ）
A．①②B．②③C．①③D．③④
4．一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的
，第二次剪去剩下绳子的
，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．一种零件的直径尺寸在图纸上是
（单位：
mm），它表示这种零件的标准尺寸是20mm，则加工要求尺寸最大不超过（ ）
A．0.03mmB．0.02mmC．20.03mmD．19.98mm
6．数轴上：
原点左边有一点M，从M对应着数m，有如下说法：
①﹣m表示的数一定是正数：
②若|m|＝8，则m＝﹣8；
③在﹣m，
，m2，m3中，最大的数是m2或﹣m；
④式子|m
|的最小值为2．
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图，数轴上的点M，N表示的数分别是m，n，点M在表示0，1的两点（不包括这两点）之间移动，点N在表示﹣1，﹣2的两点（不包括这两点）之间移动，则下列判断正确的是（ ）
A．m2﹣2n的值一定小于0
B．|3m+n|的值一定小于2
C．
的值可能比2000大
D．
的值不可能比2000大
8．如果实数x、y，满足|x+2|+（x+y）2＝0，那么xy的值等于（ ）
A．
B．
C．﹣4D．4
9．若x，y为有理数，且|x+1|+（y﹣1）2＝0，则（
）2011的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．﹣2011
10．一台机器有大、小齿轮用同一传送带连接，若大小齿轮的齿数分别为36和12个，大齿轮每分钟2.5×103转，则小齿轮10小时转（ ）
A．1.5×106转B．5×105转C．4.5×106转D．15×106转
二．填空题
11．中国的领水面积约为370000km2，将370000科学记数法表示为 ．
12．一家商店将某种服装按成本价每件160元提高50%标价，又以8折优惠卖出，则这种服装每件的售价是 元．
13．动点A，B分别从数轴上表示10和﹣2的两点同时出发，以7个单位长度/秒和4个单位长度/秒的速度沿数轴向负方向匀速运动， 秒后，点A，B间的距离为3个单位长度．
14．有理数a、b、c在数轴上位置如图，则|c﹣a|﹣|a﹣b|﹣|b+c|的值为 ．
15．若|a﹣3|与（a+b）2互为相反数，则代数式﹣2ab2的值为
16．我们知道，在数轴上，点M，N分别表示数m，n则点M，N之间的距离为|m﹣n|．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c|
|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为 ．
17．计算（﹣1）100﹣（﹣1）107的结果为 ．
18．已知有理数a，b满足ab＜0，a+b＞0，7a+2b+1＝﹣|b﹣a|，则
的值为 ．
19．已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是 ．
20．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为 ．
三．解答题
21．计算下列各式：
（1）
；
（2）
．
22．出租车司机小明某天下午的营运全是在东西走向的长江路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车路程（单位：
千米）如下：
﹣13，﹣2，+6，+8，﹣3，﹣5，+4，﹣6，+7，若小明家距离出车地点的西边15千米处，送完最后一名乘客，小明还要行驶多少千米才能到家？
23．已知a与﹣3互为相反数，b与
互为倒数．
（1）a＝ ；b＝ ．
（2）已知|m﹣a|+（b+n）2＝0，求nm．
24．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；
数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如数轴上数x与5两点之间的距离等于|x﹣5|，
（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝ ；若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；
（3）当a取何值时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是多少？
请说明理由．
25．已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且|a+2|+（b﹣5）2＝0，规定A、B两点之间的距离记作AB＝|a﹣b|．
（1）求A、B两点之间的距离AB；
（2）设点P在A、B之间，且在数轴上对应的数为x，通过计算说明是否存在x的值使PA+PB＝10；
（3）设点P不在A、B之间，且在数轴上对应的数为x，此时是否又存在x的值使PA+PB＝10呢？
26．“中欧班列”是指按照固定车次线路条件开行，往来于中国与欧洲及“一带一路”沿线各国的集装箱国际铁路联运班列．其中从我国义乌到亚欧国家的一趟班列近似直线（东西方向），若某班列从我国某城市出发（规定向东为正，向西为负），下面记录数据分别为每一天的行程（单位：
km）：
﹣1008，1100，﹣976，1010，﹣872，946．问6天后，此班列在该城市什么方向？
距离多远？
共计行程多少千米？
27．20筐白菜，以每筐15千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示．记录如下：
与标准质量的差值
（单位：
千克）
﹣3.5
﹣2
﹣1.5
0
1
2.5
筐数
2
4
2
1
3
8
（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重 千克．
（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？
（3）若白菜每千克售价1.8元，则出售这20筐白菜可卖多少元？
28．某年的“十•一”黄金周期间，南京市山陵风景在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
人数变化单位：
万人
1.6
0.8
0.4
﹣0.4
﹣0.8
0.2
﹣1.2
（1）请判断七天内游客人数最多的是哪天？
最少的是哪天？
它们相差多少万人？
（2）若9月30日的游客人数为2万人，求这7天的游客总人数是多少万人？
29．小明爸爸上周买进某种股票1000股，每股27.3元，下表为本周每天该股票的涨跌情况：
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌
+1
+1.5
﹣1.5
﹣2.5
+0.5
（1）星期三收盘时，每股是多少元？
（2）本周内最高价是每股多少元？
最低价是每股多少元？
（3）若小明爸爸按本周五的收盘价将股票全部卖出，你认为他会获利吗？
30．阅读与计算：
出租车司机小李某天上午营运时是在太原迎泽公园门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：
km）如下：
﹣3，+6，﹣2，+1，﹣5，﹣2，+9，﹣6．
（1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？
（2）将第几位乘客送到目的地时，小李离迎泽公园门口最远？
（3）若汽车消耗天然气量为0.2m3/km，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？
（4）若出租车起步价为5元，起步里程为3km（包括3km），超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？
一．选择题
1．﹣2020的绝对值是（ ）
A．﹣2020B．2020C．
D．
【解答】B
【解析】根据绝对值的概念可知：
|﹣2020|＝2020，
故选B．
2．已知a在数轴上的位置如图所示，则|a+2|﹣|a﹣3|的值为（ ）
A．﹣5B．5C．2a﹣1D．1﹣2a
【解答】A
【解析】由a在数轴上的位置可知，﹣3＜a＜﹣2，
∴a+2＜0，a﹣3＜0，
∴|a+2|﹣|a﹣3|＝﹣a﹣2﹣3+a＝﹣5，
故选A．
3．下列说法：
①﹣a＜0；②|﹣a|＝|a|；③相反数大于它本身的数一定是负数；④绝对值等于它本身的数一定是正数．其中正确的序号为（ ）
A．①②B．②③C．①③D．③④
【解答】B
【解析】当a为负数时，﹣a＞0，因此①不正确；
无论a为何值，|﹣a|＝|a|，因此②正确；
只有负数的相反数大于它本身，因此③正确；
因为|0|＝0，0不是正数，也不是负数，因此④不正确；
故选B．
4．一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的
，第二次剪去剩下绳子的
，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】C
【解析】∵第一次剪去绳子的
，还剩
m；
第二次剪去剩下绳子的
，还剩
m，
……
∴第100次剪去剩下绳子的
后，剩下绳子的长度为（
）100m；
故选C．
5．一种零件的直径尺寸在图纸上是
（单位：
mm），它表示这种零件的标准尺寸是20mm，则加工要求尺寸最大不超过（ ）
A．0.03mmB．0.02mmC．20.03mmD．19.98mm
【解答】C
【解析】
表示的意义：
标准尺寸是20mm，可以在标准尺寸的基础上多0.03mm，或在标准尺寸的基础上少0.02mm，
因此加工要求尺寸最大不超过20+0.03＝20.03mm，
故选C．
6．数轴上：
原点左边有一点M，从M对应着数m，有如下说法：
①﹣m表示的数一定是正数：
②若|m|＝8，则m＝﹣8；
③在﹣m，
，m2，m3中，最大的数是m2或﹣m；
④式子|m
|的最小值为2．
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】D
【解析】数轴上点M对应着数m，在原点左边，因此m＜0，
∴﹣m＞0，即﹣m是正数，因此①正确；
若|m|＝8，则m＝±8；又m＜0，因此m＝﹣8，故②正确；
∵m＜0，
∵﹣m＞0，
0，m2＞0，m3＜0，
当﹣1＜m＜0时，﹣m＞m2，当m≤﹣1时，﹣m≤m2，因此③正确；
∵m2
2，
∴|m
|
2，因此④正确；
故选D．
7．如图，数轴上的点M，N表示的数分别是m，n，点M在表示0，1的两点（不包括这两点）之间移动，点N在表示﹣1，﹣2的两点（不包括这两点）之间移动，则下列判断正确的是（ ）
A．m2﹣2n的值一定小于0
B．|3m+n|的值一定小于2
C．
的值可能比2000大
D．
的值不可能比2000大
【解答】B
【解析】由题意得，0＜m＜1，﹣2＜n＜﹣1，
∴m2＞0，﹣2n＞0，
∴m2﹣2n＞0，因此选项A不符合题意；
∵0＜m＜1，﹣2＜n＜﹣1，
∴﹣2＜m+n＜0，0＜2m＜2，
∴﹣2＜3m+n＜2，因此选项B符合题意；
m﹣n＝m+（﹣n）＞1，∴
1，因此选项C不符合题意；
的值无穷大，而﹣1
，因此
可能大于2000，因此选项D不符合题意，
故选B．
8．如果实数x、y，满足|x+2|+（x+y）2＝0，那么xy的值等于（ ）
A．
B．
C．﹣4D．4
【解答】D
【解析】由|x+2|+（x+y）2＝0，得
x+2＝0，y+x＝0．
解得x＝﹣2，y＝2．
那么xy的值等于4，
故选D．
9．若x，y为有理数，且|x+1|+（y﹣1）2＝0，则（
）2011的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．﹣2011
【解答】C
【解析】根据题意得，x+2＝0，y﹣2＝0，
解得x＝﹣2，y＝2，
所以，（
）2011＝（
）2011＝﹣1．
故选C．
10．一台机器有大、小齿轮用同一传送带连接，若大小齿轮的齿数分别为36和12个，大齿轮每分钟2.5×103转，则小齿轮10小时转（ ）
A．1.5×106转B．5×105转C．4.5×106转D．15×106转
【解答】C
【解析】小齿轮10小时转60×2.5×103×10×（36÷12）＝4.5×106转．
故选C．
二．填空题
11．中国的领水面积约为370000km2，将370000科学记数法表示为 ．
【解答】3.7×105
【解析】370000＝3.7×105，
故答案为3.7×105．
12．一家商店将某种服装按成本价每件160元提高50%标价，又以8折优惠卖出，则这种服装每件的售价是 元．
【解答】192
【解析】160×（1+50%）×80%＝192（元），
故答案为192．
13．动点A，B分别从数轴上表示10和﹣2的两点同时出发，以7个单位长度/秒和4个单位长度/秒的速度沿数轴向负方向匀速运动， 秒后，点A，B间的距离为3个单位长度．
【解答】3或5
【解析】设运动的时间为t秒，则运动后A所表示的数为（10﹣7t），B所表示的数为（﹣2﹣4t），由题意得，
|10﹣7t﹣（﹣2﹣4t）|＝3，
解得，t＝3或t＝5．
故答案为3或5．
14．有理数a、b、c在数轴上位置如图，则|c﹣a|﹣|a﹣b|﹣|b+c|的值为 ．
【解答】2b
【解析】由有理数a、b、c在数轴上位置可知，a＞0，b＜0，c＜0，且|b|＞|c|＞|a|，
∴c﹣a＜0，a﹣b，0，b+c＜0，
∴|c﹣a|﹣|a﹣b|﹣|b+c|＝a﹣c﹣a+b+b+c＝2b，
故答案为2b．
15．若|a﹣3|与（a+b）2互为相反数，则代数式﹣2ab2的值为
【解答】﹣54
【解析】∵|a﹣3|与（a+b）2互为相反数，
∴|a﹣3|+（a+b）2＝0，
∴a﹣3＝0，a+b＝0，
解得a＝3，b＝﹣3，
∴﹣2ab2＝﹣2×3×（﹣3）2＝﹣6×9＝﹣54．
故答案为﹣54．
16．我们知道，在数轴上，点M，N分别表示数m，n则点M，N之间的距离为|m﹣n|．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c|
|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为 ．
【解答】4.5或0.5
【解析】∵|a﹣c|＝|b﹣c|＝1
∴点C在点A和点B之间
∵
|d﹣a|＝1
∴|d﹣a|＝2.5
不妨设点A在点B左侧，如图
（1）
（1）线段BD的长为4.5
如图
（2）
线段BD的长为0.5
故答案为4.5或0.5．
17．计算（﹣1）100﹣（﹣1）107的结果为 ．
【解答】2
【解析】原式＝1﹣（﹣1）＝1+1＝2，
故答案为2
18．已知有理数a，b满足ab＜0，a+b＞0，7a+2b+1＝﹣|b﹣a|，则
的值为 ．
【解答】0
【解析】由题意得：
（1）若a＞0，则b＜0，a+b＞0，则7a+2b+1＝5a+（2a+2b）+1＞0，而﹣|b﹣a|＜0，
故：
这种情况不存在；
（2）同理若a＜0，则b＞0，可得：
0．
故答案为0．
19．已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是 ．
【解答】1119
【解析】若使|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的值最大，则最低位数字最大d＝9，最高位数字最小a＝1即可，同时为使|c﹣d|最大，则c应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故c为1，此时b只能为1．
所以此数为1119．
故答案为1119．
20．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为 ．
【解答】见解析
【解析】当x≤﹣1时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|＝﹣x﹣1﹣x+2﹣x+3＝﹣3x+4；
当﹣1＜x≤2时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|＝x+1﹣x+2﹣x+3＝﹣x+6；
当2＜x≤3时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|＝x+1+x﹣2﹣x+3＝x+2；
当x＞3时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|＝x+1+x﹣2+x﹣3＝3x﹣4．
综上所述，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为
．
故答案为
．
三．解答题
21．计算下列各式：
（1）
；
（2）
．
【解答】见解析
【解析】
（1）
＝21；
（2）
＝4
（
）
1
＝2+（
）
1
＝1．
22．出租车司机小明某天下午的营运全是在东西走向的长江路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车路程（单位：
千米）如下：
﹣13，﹣2，+6，+8，﹣3，﹣5，+4，﹣6，+7，若小明家距离出车地点的西边15千米处，送完最后一名乘客，小明还要行驶多少千米才能到家？
【解答】11千米
【解析】﹣13﹣2+6+8﹣3﹣5+4﹣6+7＝﹣4（千米），
15﹣|﹣4|＝11（千米），
小明还要行使11千米才能到家．
23．已知a与﹣3互为相反数，b与
互为倒数．
（1）a＝ ；b＝ ．
（2）已知|m﹣a|+（b+n）2＝0，求nm．
【解答】
（1）3，﹣2；
（2）8
【解析】
（1）∵﹣3与3互为相反数，∴3是﹣3的相反数，
∵
（﹣2）＝1，
∴﹣2与
互为倒数．
故答案为3，﹣2；
（2）由题意得，|m﹣3|+（﹣2+n）2＝0，
∴m＝3，n＝2，
∴nm＝23＝8，
24．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；
数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如数轴上数x与5两点之间的距离等于|x﹣5|，
（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝ ；若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；
（3）当a取何值时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是多少？
请说明理由．
【解答】
（1）3；5；
（2）1或﹣5；（3）9
【解析】
（1）观察数轴可得：
数轴上表示4和1的两点之间的距离是3；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是5；
故答案为3；5；
（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么|a﹣（﹣2）|＝3
∴|a+2|＝3
∴a+2＝3或a+2＝﹣3
∴a＝1或a＝﹣5；
故答案为1或﹣5；
∵|a+4|+|a﹣2|表示数a与﹣4的距离与a和2的距离之和；
若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值等于2和﹣4之间的距离，等于6
∴|a+4|+|a﹣2|的值为6；
（3）|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|表示一点到﹣5，1，4三点的距离的和
∴当a＝1时，该式的值最小，最小值为6+0+3＝9．
∴当a＝1时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是9．
25．已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且|a+2|+（b﹣5）2＝0，规定A、B两点之间的距离记作AB＝|a﹣b|．
（1）求A、B两点之间的距离AB；
（2）设点P在A、B之间，且在数轴上对应的数为x，通过计算说明是否存在x的值使PA+PB＝10；
（3）设点P不在A、B之间，且在数轴上对应的数为x，此时是否又存在x的值使PA+PB＝10呢？
【解答】
（1）7；
（2）不存在；（3）存在使PA+PB＝10的x值，分别为6.5或﹣3.5
【解析】
（1）∵|a+2|+（b﹣5）2＝0，
∴a+2＝0，b﹣5＝0，
解得：
a＝﹣2，b＝5，
则AB＝|a﹣b|＝|﹣2﹣5|＝7；
（2）若点P在A、B之间时，PA＝|x﹣（﹣2）|＝x+2，|PB|＝|x﹣5|＝5﹣x，
∴PA+PB＝x+2+5﹣x＝7＜10，
∴点P在A、B之间不合题意，
则不存在x的值使PA+PB＝10；
（3）若点P在AB的延长线上时，PA＝|x﹣（﹣2）|＝x+2，PB＝|x﹣5|＝x﹣5，
由PA+PB＝10，得到x+2+x﹣5＝10，
解得：
x＝6.5；
若点P在AB的反向延长线上时，PA＝|x﹣（﹣2）|＝﹣2﹣x，PB＝|x﹣5|＝5﹣x，
由PA+PB＝10，得到﹣2﹣x+5﹣x＝10，
解得：
x＝﹣3.5，
综上，存在使PA+PB＝10的x值，分别为6.5或﹣3.5．
26．“中欧班列”是指按照固定车次线路条件开行，往来于中国与欧洲及“一带一路”沿线各国的集装箱国际铁路联运班列．其中从我国义乌到亚欧国家的一趟班列近似直线（东西方向），若某班列从我国某城市出发（规定向东为正，向西为负），下面记录数据分别为每一天的行程（单位：
km）：
﹣1008，1100，﹣976，1010，﹣872，946．问6天后，此班列在该城市什么方向？
距离多远？
共计行程多少千米？
【解答】在该城市东边，距离200km，共计行程5912km
【解析】（﹣1008）+1100+（﹣976）+1010+（﹣872）+946＝200（km），
|﹣1008|+1100+|﹣976|+1010+|﹣872|+946＝5912（km），
答：
6天后，此班列在该城市东边，距离200km，共计行程5912km．
27．20筐白菜，以每筐15千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示．记录如下：
与标准质量的差值
（单位：
千克）
﹣3.5
﹣2
﹣1.5
0
1
2.5
筐数
2
4
2
1
3
8
（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重 千克．
（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？
（3）若白菜每千克售价1.8元，则出售这20筐白菜可卖多少元？
【解答】
（1）6；
（2）超过5千克；（3）549元
【解析】
（1）最重的一筐超过2.5千克，最轻的差3.5千克，2.5﹣（﹣3.5）＝6（千克），
故最重的一筐比最轻的一筐重6千克．
故答案为6；
（2）2×（﹣3.5）+4×（﹣2）+2×（﹣1.5）+1×0+3×1+8×2.5
＝﹣7﹣8﹣3+0+3+20
＝5（千克）．
故20筐白菜总计超过5千克；
（3）1.8×（15×20+5）
＝1.8×305
＝549（元）．
故出售这20筐白菜可卖549元．
28．某年的“十•一”黄金周期间，南京市山陵风景在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
人数变化单位：
万人
1.6
0.8
0.4
﹣0.4
﹣0.8
0.2
﹣1.2
（1）请判断七天内游客人数最多的是哪天？
最少的是哪天？
它们相差多少万人？
（2）若9月30日的游客人数为2万人，求这7天的游客总人数是多少万人？
【解答】
（1）10月3日人数最多；10月7日人数最少，相差2.2万人；
（2）27.2万人
【解析】
（1）10月3日人数最多；10月7日
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