最新五年级同步奥数拓展精编版.docx
《最新五年级同步奥数拓展精编版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新五年级同步奥数拓展精编版.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
最新五年级同步奥数拓展精编版
第一讲整数问题
第1课数的整除
一、知识要点
1.整除一一因数、倍数
必要条件：
（1）a、b、c三个数是整数
（2）b工0
（3）a—b=c
结论：
整数a能被整数b整除，或b能整除a,则a叫做b的倍数，b叫做a的因数。
记作：
b|a
整数a除以整数b（b工0）等于c（c是整数且没有余数），那么说a能被b整除，或b能整除a,a叫做b的倍数，b叫做a的因数。
2.相关基础知识点回顾
（1）0是任何整数的倍数。
（2）1是任何整数的因数。
3.数整除的性质
性质1:
如果a、b都能被m整除，那么它们的和与差也能被m整除。
即：
如果m|a,m|b,那么m|（a±b）。
例如：
如果2|10,2|6，那么2|（10+6）,并且2|（10—6）。
性质2:
如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除即：
如果m|a,n|a,那么[m,n]|a。
例如：
如果6|36,9|36,那么[6,9]|36。
性质3:
如果m、n都能整除a,且m和n互质，那么m与n的积能整除a即：
如果m|a,n|8,且（m,n）=1，那么（mxn）|a。
例如：
如果2|72,9|72,且（2,7）=1,那么18|72。
性质4:
如果a能整除b,b能整除m,那么a能整除m即：
如果a|b,b|m,那么a|m。
精品文档
例：
如果7|14,14|28,那么7|28。
4.数的整除特征
（1）能被2整除的数的特征：
如果一个整数的个位数是偶数（即个位数是2、4、6、8、0）,那么它必能被2整除。
（2）能被5整除的数的特征：
如果一个整数的个位数字是0或5,那么它必能被5整除。
（3）能被3（或9）整除的数的特征：
如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除,那么它必能被3（或9）整除。
（4）能被4（或25）整除的数的特征：
如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除,那么它必能被4（或25）整除。
例：
1864能否被4整除？
解：
1864=1800+64，因为4|64,4是1864的因数，1864是4的倍数，所以4|1864。
（5）能被8（或125）整除的数的特征：
如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除,那么它必能被8（或125）整除。
例：
29375能否被125整除？
解：
29375=29000+375，因为125|375，125是375的因数，375是125的倍数，所以125|29375。
（6）能被11整除的数的特征：
如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。
（奇数位指：
这个数的个位、百位、万位……；偶数位指：
这个数的十位、千位、十万位）
例：
判断13574是否是11的倍数？
解：
这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：
（4+5+1）-（7+3）=0。
因为0是任何
整数的倍数，所以11|0。
因此13574是11的倍数。
例：
判断123456789这九位数能否被11整除？
解：
这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25,偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20.因为25—20=5，又因为115，所以11123456789。
（7）能被7（11或13）整除的数的特征：
一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例：
判断1059282是否是7的倍数？
解：
把1059282分为1059和282两个数。
因为1059-282=777，又因为7|777，所以7|1059282。
因此1059282是7的倍数。
例：
判断3546725能否被13整除？
解：
把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2=819，又13|819，所以13|2821，进而13|3546725。
精品文档
二、典型例题详解
猜猜会是什么数？
【例1】：
一个856五位数，能被3、4、5整除，这样的五位数中，最小的一个是多少？
解：
先将856，看做856ab。
■/3|856ab，则3|8+5+6+a+b,3|19+a+b,「.a+b=2或a+b=5或a+b=8。
•/4|856ab，贝U4|ab,「.ab=偶数
•/5|856ab，贝Ub=0或b=5，又tab为偶数，二b=0
■/a+b=2或a+b=5或a+b=8,且b=0,「.a=2或a=5或a=8
当a=2,b=0时，这个数为85620;当a=5,b=0时，这个数为85650;当a=8,b=0时，这个数为85680。
答：
五位数中最小的一个是85620。
【例2】：
一本老账本上记着：
72只桶，共67.9元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上。
解：
先将67.9，看做整数a679b。
•/72=8X9,且（8,9）=1,.・・8|a679b，且9|a679b。
若8|a679b，则8|79b,所以b=2。
若9|a679b,b=2，贝U9|a6792,9|a+6+7+9+2,9|a+24,所以a应是3。
所以这个数应是
答：
这笔账应是元。
【例3】：
173是一个四位数，在其中的方框中先后填入三个数字，所得到的三个四位数，依次可以被9、11、6整除。
先后填入的三个数字的和是多少?
［方法二］倍数特征
解：
2.71450至少加上多少后就能被4整除?
［方法一］试商法
解：
三、课后作业
1.在□中填入适当的数字，使所组成的数能够被
4整除。
3.一个六位数2356是22的倍数，那么这样
的六位数中，最大的一个是多少？
4.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整
除4875，那么这两个数的差是多少
78□47653□863□□
5.一位采购员买了同样的72只热水杯，可是发票不慎弄湿，单价无法辨认，总价数字也不全，只能看出：
口173.□元。
你能算出热水杯的单价吗？
第一讲整数问题
第2课倍数与因数
（一）
一、知识要点
1.质数与合数
质数：
一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数。
（素数）
合数：
一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。
1不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数
质因数：
如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数
分解质因数：
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数
例：
30分解质因数。
解：
30=2X3X5答：
2、3、5是30的质因数。
分解质因数的方法：
可以用短除式来求质因数
2
、3、5、7、
11、
13、17、
23、
29、
31、
37、
41、
43、47、
53、
59、
61、
67、
71、
73、79
83、
89、
97.
19、
3.公因数与公倍数
公因数：
几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数
公倍数：
几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数
一个数的因数的个数是（
几个数的公因数的个数是（
）的，倍数的个数是（）的。
）的，公倍数的个数是（）的
4.最大公因数与最小公倍数
最大公因数：
在几个自然数的公因数中，最大的一个称为这几个数的最大公因数
a、b的最大公因数=（a，b）
最小公倍数：
在几个自然数的公倍数中，除零外最小的一个称为这几个数的最小公倍数
a、b的最小公倍数=[a、b]
21830
915
3
35
（18,30）=2X3=6
用公有的质因数2除
用公有的质因数3除
除到两个商是互质数为止
[18，30]=2X3X3X5=90
二、典型例题详解
【例1】五年级三个班分别有30、24、42人参加课外科技活动，现在要把参加的人分成人数相等的小级，并
且各班同学不能打乱，那么每组最多多少人？
一共可以分成多少个小组？
用短除法计算:
解：
30=2X3X5
24=2X3X2X2
42=2X3X7
（30,24,42）=2X3=6（人）
30-6=5（个）
24-6=4（个）
42-6=7（个）5+4+7=16（个）
答：
每组最多可以分6人，一共可以分16个组。
【例2】有一种长16厘米，宽12厘米的塑料扣板，如果用这种扣板拼成一个正方形，最少需要多少块？
用短除法计算:
解:
16=2X2X2X2
12=2X2X3
[16,12]=2X2X2X2X3
=48（厘米）
48-16=3（块）
48-12=4（块）
3X4=12（块）
答：
最少需要12块扣板。
【例3】甲对乙说：
“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3
倍、2倍。
”求出甲、乙现在的年龄。
甲现在的年龄是乙的
7倍，则甲的年龄比乙大
6倍;
当甲的年龄是乙的
6倍时，则甲的年龄比乙大
5倍;
当甲的年龄是乙的
5倍时，则甲的年龄比乙大
4倍;
当甲的年龄是乙的
4倍时，则甲的年龄比乙大
3倍;
当甲的年龄是乙的
3倍时，则甲的年龄比乙大
2倍;
当甲的年龄是乙的
2倍时，则甲的年龄比乙大
1倍;
甲、乙的年龄差是
6、5、4、3、2的公倍数。
解：
•••
[6,5,4,3,2]=6X5X4X3X2=60（岁）
60-（7-1）=10（岁）
10+60=70（岁）
答：
甲的年龄是70岁，乙的年龄是10岁。
例4】写出三个小于20的自然数，它们的最大公因数为1，但两两均不互质，共有几组
解：
假设这三个数分别是a、b、c
■/a、b、c两两不互质，且av20,bv20,cv20,则两两间的质因数互不相同且乘积小于20
（a,b）=2或（a,b）=3或（a,b）=5;
（a,c）=2或（a,c）=3或（a,c）=5；
（b,c）=2或（b,c）=3或（b,c）=5；
•••a,b,c三数有可能是2X3=6,2X5=10,3X5=15,2X6=12,3X6=18。
又•••（a,b,c）=1;
（6，10，15）=1；（10，15，12）=11；（10，15，18）=
答：
共有三组，分别是（6、10、15）（10、12、15）（10、15、18）。
、课后习题
1.求56，36，284的最小公倍数。
2.有336个苹果、252个梨子、210个桔子，用这三
种水果最多可以分成多少份相同的礼物？
每份礼物
中，三种水果各占多少？
3.三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时
间分别为半分钟、45秒钟、1分15秒。
三人同时从起
点出发，最少需要多长时间才能再次在起点相会
4.有一个表，每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一
次铃。
中午12点时既亮灯又响铃。
下次既亮灯又响铃
在几点？
5.把一张长120cm宽80cm的长方形纸裁成同样大
小的正方形（纸不能有剩余），至少能裁成多少张这样
的正方形纸，每张裁成的纸是多大？
6.用一个数去除31，61，76都余1，这个数最大是
多少？
第3课倍数与因数（
精品文档
一、知识要点
1.最小公倍数与最大公因数之间的关系
定理一：
两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。
~
即：
如果（a,b）=d，那么（a*d,b=1
定理二：
两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积。
即：
[a,b]x（a,b）=axb
定理三：
两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数
二、典型例题详解
【例1】甲数是36,甲、乙两数的最大公因数是4，最
小公倍数是288，求乙数。
解：
设乙数是a
36xa=4x288
a=4x288-36
a=32
答：
乙数是32。
【练一练】甲数和乙数的最大公因数是6，最小公
倍数是90,且小数不能整除大数，求这两个数。
【例2】已知两数的最大公因数是21,最小公倍数是
126，求这两个数的和是多少？
解：
设这两个数分别为a、b
126-21=6
6=3x2
或
6=1x6
a=3X21=63
a=1x21=21
b=2x21=42
b=6x21=126
63+2仁84
21+126=147
答：
这两个数的和是
84或
147。
【练一练】两个自然数的和是56,它们的最大公因数是7,求这两个数。
【例3】两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,求这两个数的差。
【练一练】已知两个自然数的积是5766,它们的最大公因数是31，求这两个数。
解:
设这两个自然数分别是5a、5b
■/5a+5b=50.a+b=10
•/（a,b）=1且a+b=10
a=1a=3
b=9以b=7
当｛3巳时，5a=5,5b=455b-5a=40
b=9
当｛?
=3时，5a=15,5b=355b-5a=20
b=7
答:
这两个数的差是40或20.
（接【例4】）
如果m=3，贝U3x（a+b）=54,a+b=18
3x（ab—1）=114,ab=39（a、b）=1,
则是39=1x39或58=3x13
•••1+39M18且3+13工16
m工3
答：
这两个自然数是24和30。
【练一练】两个数的差是4，最大公因数与最小公
倍数的积是252，求这两个数。
【例4】两个自然数的和是54,它们的最小公倍数与最大公因数的差是114，求这两个自然数。
解：
设这两个数是A、B。
且A=am；B=bm
■/A+B=54，贝Vam+bm=54/•m（a+b）=54
■/（A、B）=m；
a、b为A、B两数的非有公因数，（a、b）=1
/•[A、B]=mxaxb
■/[A、B]—（A、B）=114,则mxaxb—m=114
/•m（ab—1）=114
■/m（a+b）=54且m（ab—1）=114
则m是54和114的公因数
又•••（54,114）=6,6=1X6=2X3
/•m=1或m=6或m=2或m=3
如果m=1，贝V1x（a+b）=54,a+b=54;
1x（ab—1）=114,ab=115
•/115=1x115或115=5x23
•/115+1工54且5+23工54
/•m^1
如果m=6，则6x（a+b）=54,a+b=9;
6x（ab—1）=114,ab=20
•/（a、b）=1，贝U20=1x20或20=4x5
•••1+20M9,4+5=9
则m=6,a=4,b=5;
A=4x6=24,B=5x6=30
如果m=2，则2x（a+b）=54,a+b=27
2x（ab—1）=114,ab=58
•/（a、b）=1，则58=1x58或58=2x29
•/1+58工27且2+29工27
.m^2
三、课后作业
（2）已知两个自然数的最大公因数为4,最小公倍
（1）某数与24的最大公因数是4,最小公倍数是168,
数为120，求这两个数。
精品文档这个数是多少？
3）两个数的和是70，它们的最大公因数是7，求这
两个数的差是多少？
（4）已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，求这两个数。
（5）两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，求两个数的和。
（6）已知两个自然数的差为30，它们的最小公倍数
与最大公约数的差为450，求这两个自然数。
7）两个数的最大公因数是12，最小公倍数是72，
（8）两个自然数的差是3，它们的最大公因数与最小公倍数的积是180，求这两个数。
复习练习第2课
（1）有一种地砖，长20厘米，宽15厘米，至少需
这两个数的和是多少？
要多少块这样的地砖才能拼成一个实心的正方形？
（2）一箱鸡蛋，四个四个数多3个，五个五个数多
（10）已知a与b、a与c的最大公因数分别是12和
15,a、b、c的最小公倍数是120,求a、b、c。
（3）有一个班的同学包车旅游，如果增加一辆车，正好每辆车坐10人,如果减少一辆车,正好每辆车坐15人,这个班共有多少人？
4个，七个七个数多6个，这箱鸡蛋至少有多少个？
4）一条路长96米,从一端起,每隔4米栽一棵树（路两旁都栽）。
现要再每隔6米栽一棵,已栽上的地
方不用重栽,这条路上共需新栽多少棵树？
第二讲图形的面积
第1课巧求图形面积
、知识要点
精品文档
1.基本平面图形特征及面积公式
特征
面积公式
正方形
1四条边都相等。
2四个角都是直角。
3有四条对称轴。
S=a2
长方形
1对边相等。
2四个角都是直角。
3有二条对称轴。
S=ab
平行四边形
1两组对边平行且相等。
2对角相等，相邻的两个角之和为180°
3平行四边形容易变形。
S=ah
三角形
1两边之和大于第三条边。
2两边之差小于第三条边。
3三个角的内角和是180°。
4有三条边和三个角，具有稳定性。
S=ah*2
形
1只有一组对边平行。
2中位线等于上下底和的一半。
S=（a+b）h+2
2.基本解题方法:
由两个或多个简单的基本几何图形组合成的组合图形，要计算这样的组合图形面积，先根据图形的基本关系，再运用分解、组合、平移、割补、添辅助线等几种方法将图形变成基本图形分别计算。
、典型例题详解
【例1】已知平行四边表的面积是
28平方厘米，求阴
影部分的面积。
【练一练】如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形，需要用多少厘米铁丝？
（单位：
厘米）
【例2】下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。
【练一练】求图中阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
（单位：
厘米）
【例3】如图所示，甲三角形的面积比乙三角形的面积
【练一练］平行四边形ABCD的边长BC=10厘米,
直角三角形BCE的直角边EC长8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米。
求CF的长。
【例4】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
精品文档
【练一练】下面的梯形ABCD中，下底是上底的2
精品文档
已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形
的面积各是多少？
（单位：
厘米）
倍，E是AB的中点，求梯形ABCD的面积是三角形
EDB面积的多少倍？
三、课后作业
精品文档
1--I-'r-
第崔米
下面的梯形中，阴影部分面积是150平方厘米，求梯形的面积。
3.
求图中阴影部分的面积。
单位：
厘米
3—
4•梯形ABCD的面积是45平方厘米，高6厘米。
三
角形AED的面积是
5平方厘米，BC=10
厘米，求阴影部分的面积。
D
2.正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，求：
（1）三角形DEF的面积。
（2）CF的长。
5.正方形ABCD的面积是
100平方厘米，AE=8厘米,精品文厘米，求阴影部分的面
积。
6.求图形中梯形ABCD的面积。
（单位：
厘米）
第2课等积变形求面积
、知识要点
等底等咼
的
三角形
面积相等
平行四边形
2倍，大平行四边形高是
3倍，大平行四边形高是
如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的
小平行四边形高的
如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的
小平行四边形高的。
如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的4倍，大平行四边形高是
小平行四边形高的。
n倍，大平行四边形高是
如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的
升级会员 