完整版高三导数压轴题题型归纳可编辑修改word版.docx

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完整版高三导数压轴题题型归纳可编辑修改word版

1.高考命题回顾

导数压轴题题型

例1已知函数f（x）＝ex－ln（x＋m）．（2013全国新课标Ⅱ卷）

（1）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；

（2）当m≤2时，证明f（x）>0.

1

（1）解f（x）＝ex－ln（x＋m）⇒f′（x）＝ex－＋

⇒f′（0）＝e0－1

＋

＝0⇒m＝1，

xm0m

1ex（x＋1（－1

＋

定义域为{x|x>－1}，f′（x）＝ex－＝

xm

x＋1，

显然f（x）在（－1,0]上单调递减，在[0，＋∞）上单调递增．

1

（2）证明g（x）＝ex－ln（x＋2），则g′（x）＝ex－＋（x>－2）．

x2

11

h（x）＝g′（x）＝ex－＋（x>－2）⇒h′（x）＝ex＋＋

2>0，

x2x2

所以h（x）是增函数，h（x）＝0至多只有一个实数根，

又g′

（1）

1

1

e

<0，g′（0）＝1

1

>0，

－＝－－

232

2

2

所以h（x）＝g′（x）＝0的唯一实根在区间（－1，0）内，

设g′（x）＝0的根为t，则有g′（t）＝et－1＝0（－1

1

所以，et＝＋

⇒t＋2＝e－t，

t＋22

t2

当x∈（－2，t）时，g′（x）g′（t）＝0，g（x）单调递增；

11＋t2

t2

所以g（x）min＝g（t）＝et－ln（t＋2）＝＋＋t＝

当m≤2时，有ln（x＋m）≤ln（x＋2），

t＋2

>0，

所以f（x）＝ex－ln（x＋m）≥ex－ln（x＋2）＝g（x）≥g（x）min>0.

例2已知函数f（x）满足f（x）=

f'

（1）ex-1-f（0）x+1x2（2012全国新课标）

2

（1）求f（x）的解析式及单调区间；

（2）若f（x）≥1x2+ax+b，求（a+1）b的最大值。

2

（1）f（x）=

f'

（1）ex-1-f（0）x+1x2⇒

2

f'（x）=

f'

（1）ex-1-f（0）+x

令x=1得：

f（0）=1

f（x）=

f'

（1）ex-1-x+1x2⇒

2

f（0）=

f'

（1）e-1=1⇔

f'

（1）=e

得：

f（x）=ex-x+1x2⇒g（x）=

2

f'（x）=ex-1+x

g'（x）=ex+1>0⇒y=g（x）在x∈R上单调递增

f'（x）>0=

f'（0）⇔x>0,f'（x）<0=

f'（0）⇔x<0

得：

f（x）的解析式为f（x）=ex-x+1x2

2

且单调递增区间为（0,+∞），单调递减区间为（-∞,0）

（2）f（x）≥1x2+ax+b⇔h（x）=ex-（a+1）x-b≥0得h'（x）=ex-（a+1）2

①当a+1≤0时，h'（x）>0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增

x→-∞时，h（x）→-∞与h（x）≥0矛盾

②当a+1>0时，h'（x）>0⇔x>ln（a+1）,h'（x）<0⇔x

当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）-（a+1）ln（a+1）-b≥0（a+1）b≤（a+1）2-（a+1）2ln（a+1）（a+1>0）

令F（x）=x2-x2lnx（x>0）；则F'（x）=x（1-2lnx）

e

F'（x）>0⇔0

e

e

当x=时，F（x）max=2

e

e

e

当a=-1,b=

时，（a+1）b的最大值为

2

例3已知函数

f（x）=alnx+b，曲线

y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线方程为

x+1x

x+2y-3=0。

（2011全国新课标）

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x>0，且x≠1时，f（x）>

lnx+k，求k的取值范围。

（x+1-lnx）

x-1x

解（Ⅰ）f'（x）=x-b

（x+1）2x2

由于直线x+2y-3=0的斜率为-1，

2

⎧f

（1）=1,

⎨1

且过点（1,1），故⎪

f'

（1）=-,

⎧b=1,

⎪

即⎨a-b=-1,

解得a=1，b=1。

⎩⎪2⎪⎩22

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

lnx+1，所以

x+1x

lnxk1（k-1）（x2-1）

f（x）-（

x-1+x）=1-x2

（2lnx+）。

x

考虑函数h（x）=2lnx+

（k-1）（x2-1）

x

（k-1）（x2+1）+2x

>

（x0），则h'（x）=。

x2

（i）设

k≤0

k（x2+1）-（x-1）2

，由h'（x）=知，当

x2

x≠1

时，h'（x）<0，h（x）递减。

而

h

（1）=0

故当x∈（0,1）时，

h（x）>0，可得

1

1-x2

h（x）>0；

当x∈（1，+∞）时，h（x）<0，可得

lnx

1

1-x2

k

h（x）>0

lnxk

从而当x>0,且x≠1时，f（x）-（

x-1+

）>0，即f（x）>

x

x-1+x.

（ii）设0

∆=4-4（k-1）2>0，对称轴x=1

1-k

>

1当x∈（1，

.

1

）时，（k-1）（x2+1）

1-k

+2x>0,故h'

（x）>0,而h

（1）=0，故当x∈（1，

1

）时，h（x）>0，可得

1-k

1

1-x2

h（x）

<0,与题设矛盾。

（iii）设k≥1.此时x2+1≥2x，（k-1）（x2+1）+2x>0⇒h'（x）>0,而h

（1）=0，

故当x∈（1，+∞）时，h（x）>0，可得综合得，k的取值范围为（-∞，0]

1

1-x2

h（x）<0,与题设矛盾。

例4已知函数f（x）＝（x3+3x2+ax+b）e－x.（2009宁夏、海南）

（1）若a＝b＝－3,求f（x）的单调区间;

（2）若f（x）在（－∞,α）,（2,β）单调增加,在（α,2）,（β,+∞）单调减少,证明β－α＞6.

解:

（1）当a＝b＝－3时,f（x）＝（x3+3x2－3x－3）e－x,故

f′（x）＝－（x3+3x2－3x－3）e－x+（3x2+6x－3）e－x

＝－e－x（x3－9x）＝－x（x－3）（x+3）e－x.

当x＜－3或0＜x＜3时,f′（x）＞0;当－3＜x＜0或x＞3时,f′（x）＜0.

从而f（x）在（－∞,－3）,（0,3）单调增加,在（－3,0）,（3,+∞）单调减少.

（2）f′（x）＝－（x3+3x2+ax+b）e－x+（3x2+6x+a）e－x＝－e－x［x3+（a－6）x+b－a］.由条件得f′

（2）＝0,即23+2（a－6）+b－a＝0,故b＝4－a.

从而f′（x）＝－e－x［x3+（a－6）x+4－2a］.因为f′（α）＝f′（β）＝0,

所以x3+（a－6）x+4－2a＝（x－2）（x－α）（x－β）＝（x－2）［x2－（α+β）x+αβ］.

12-4a

将右边展开,与左边比较系数,得α+β＝－2,αβ＝a－2.

故-=

（+）2-4=

.又（β－2）（α－2）＜0，

即αβ－2（α+β）+4＜0.由此可得a＜－6.于是β－α＞6.

2.

（1）曲线y=f（x）在x=x0处的切线的斜率等于f'（x0），且切线方程为

y=f'（x0）（x-x0）+f（x0）。

在解题中常用的有关结论※

（2）若可导函数y=f（x）在x=x0处取得极值，则f'（x0）=0。

反之，不成立。

（3）对于可导函数f（x）,不等式f'（x）>0（<0）的解集决定函数f（x）的递增（减）区间。

（4）函数f（x）在区间I上递增（减）的充要条件是：

∀x∈If'（x）≥0（≤0）恒成立（

f'（x）不恒为0）.

（5）函数f（x）（非常量函数）在区间I上不单调等价于f（x）在区间I上有极值，则可等价转化为方程f'（x）=0在区间I上有实根且为非二重根。

（若f'（x）为二次函数且

I=R，则有∆>0）。

（6）f（x）在区间I上无极值等价于f（x）在区间在上是单调函数，进而得到f'（x）≥0

或f'（x）≤0在I上恒成立

（7）若∀x∈I，f（x）>0恒成立，则f（x）min>0;若∀x∈I，f（x）<0恒成立，则

f（x）max<0

（8）若∃x0∈I，使得f（x0）>0，则f（x）max>0；若∃x0∈I，使得f（x0）<0，则

f（x）min<0.

（9）设f（x）与g（x）的定义域的交集为D，若∀x∈Df（x）>g（x）恒成立，则有

[f（x）-g（x）]>0.

min

（10）若对∀x1∈I1、x2∈I2，f（x1）>g（x2）恒成立，则f（x）min>g（x）max.

若对∀x1∈I1，∃x2∈I2，使得f（x1）>g（x2）,则f（x）min>g（x）min.

若对∀x1∈I1，∃x2∈I2，使得f（x1）

（11）已知f（x）在区间I1上的值域为A,，g（x）在区间I2上值域为B，

若对∀x1∈I1,∃x2∈I2，使得f（x1）=g（x2）成立，则A⊆B。

（12）若三次函数f（x）有三个零点，则方程f'（x）=0有两个不等实根x1、x2，且极大值大于0，极小值小于0.

（13）证题中常用的不等式:

x

①lnx≤x-1（x>0）②x+1≤ln（x+1）≤x（x>-1）

③ex≥1+x④e-x≥1-x

⑤lnx1）⑥lnx<1-1（x>0）

x+12x222x2

3.题型归纳

①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用

（构造函数，最值定位）（分类讨论，区间划分）（极值比较）（零点存在性定理应用）（二阶导转换）

例1（切线）设函数f（x）=x2-a.

（1）当a=1时，求函数g（x）=xf（x）在区间[0,1]上的最小值；

（2）当a>0时，曲线y=f（x）在点P（x1,f（x1））（x1>

a）处的切线为l，l与x轴交于

a

点A（x2,0）求证：

x1>x2>.

例2（最值问题，两边分求）已知函数f（x）=lnx-ax+1-a-1（a∈R）.

x

⑴当a≤1时，讨论f（x）的单调性；

2

⑵设g（x）=x2-2bx+4.当a=1时，若对任意x∈（0,2），存在x∈[1,2]，使

412

f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围.

②交点与根的分布

例3（切线交点）已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a,b∈R）在点（1,f

（1））处的切线方程为y+2=0．

⑴求函数f（x）的解析式；

⑵若对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x1,x2都有

c的最小值；

f（x1）-f（x2）≤c，求实数

⑶若过点M（2,m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

例4（综合应用）已知函数

f（x）=ln（2+3x）-3x2.

2

⑴求f（x）在[0,1]上的极值；

⑵若对任意范围；

x∈[1

6

1],

3

不等式|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]>0

成立，求实数a的取值

⑶若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值

范围.

③不等式证明

例5（变形构造法）已知函数

（x）=

a

x+1，a为正常数．

=9

⑴若f（x）=lnx+（x），且a2，求函数f（x）的单调增区间；

⑵在⑴中当a=0时，函数y=f（x）的图象上任意不同的两点A（x1,y1），B（x2,y2），线段AB的中点为C（x0,y0），记直线AB的斜率为k，试证明：

k>f'（x0）．

g（x2）-g（x1）<-1

⑶若g（x）=lnx+（x），且对任意的x1,x2∈（0,2]，x1≠x2，都有x2-x1，

求a的取值范围．

.

例6（高次处理证明不等式、取对数技巧）已知函数f（x）=x2ln（ax）（a>0）

（1）若f'（x）≤x2对任意的x>0恒成立，求实数a的取值范围；

g（x）=

f（x）

x,x∈1

+x<1

（2）当

a=1时，设函数x，若12

（e,1）,x1

2

，求证

x1x2<（x1+x2）4

例7（绝对值处理）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象经过坐标原点，且在x=1处取得极大值．

（I）求实数a的取值范围；

（2a+3）2

（II）若方程f（x）=-

9

恰好有两个不同的根，求f（x）的解析式；

（III）对于（II）中的函数f（x），对任意、∈R，求证：

|f（2sin）-f（2sin）|≤81．

例8（等价变形）已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．

（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；

（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0,+∞）,f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围；

（Ⅲ）当0

且x≠e时，试比较

y与1-lnyx1-lnx

的大小．

例9（前后问联系法证明不等式）已知

f（x）=lnx,g（x）=1x2+mx+7（m<0）

22

，直线l

与函数f（x）,g（x）的图像都相切，且与函数f（x）的图像的切点的横坐标为1。

（I）求直线l的方程及m的值；

（II）若h（x）=f（x+1）-g'（x）（其中g'（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值。

f（a+b）-f（2a）

（III）当0

2a

例10（整体把握，贯穿全题）已知函数f（x）=lnx-1．

x

（1）试判断函数f（x）的单调性；

（2）设m>0，求f（x）在[m,2m]上的最大值；

（3）

ln（

试证明：

对任意n∈N*，不等式1+n）e<1+n都成立（其中e是自然对数的底数）．

nn

2

111n

（Ⅲ）证明：

++⋅⋅⋅+>．

a1a2ann+1

例11（数学归纳法）已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值.

（１）求实数m的值；

（２）已知结论：

若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a,b）内导数都存在，且a>-1，

则存在x0

∈（a,b），使得

f'（x0）=

f（b）-f（a）

.试用这个结论证明：

若

b-a

-1

12x-x11

12

x∈（x1,x2），都有f（x）>g（x）；

（３）已知正数1,2,L

n，满足1+2+L

+n=1，求证：

当n≥2，n∈N时，

对任意大于

-1，且互不相等的实数

x1,x2,L

xn，都有

f（1x1+2x2+L

+nxn）>1f（x1）+2f（x2）+L

+nf（xn）.

④恒成立、存在性问题求参数范围

例12（分离变量）已知函数f（x）=x2+alnx（a为实常数）.

（1）若a=-2，求证：

函数f（x）在（1,+∞）上是增函数；

（2）求函数f（x）在[1,e]上的最小值及相应的x值；

（3）若存在x∈[1,e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围.

例13（先猜后证技巧）已知函数f（x）=1+1n（x+1）

x

（Ⅰ）求函数f（x）的定义域

（Ⅱ）确定函数f（x）在定义域上的单调性，并证明你的结论.

（Ⅲ）若x>0时f（x）>

k

x+1

恒成立，求正整数k的最大值.

例14（创新题型）设函数f（x）=ex+sinx,g（x）=ax,F（x）=f（x）－g（x）.

（Ⅰ）若x=0是F（x）的极值点,求a的值；

（Ⅱ）当a=1时,设P（x1,f（x1））,Q（x2,g（x2））（x1>0,x2>0）,且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离；

（Ⅲ）若x≥0时,函数y=F（x）的图象恒在y=F（－x）的图象上方,求实数a的取值范围．

例15（图像分析，综合应用）已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a≠0,b<1），在区间[2,3]

f（x）=g（x）

上有最大值4，最小值1，设x．

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）不等式f（2x）-k⋅2x≥0在x∈[-1,1]上恒成立，求实数k的范围；

（Ⅲ）方程

⑤导数与数列

f（|2x-1|）+k（

2

|2x-1|

-3）=0

有三个不同的实数解，求实数k

的范围．

例16（创新型问题）设函数f（x）=（x-a）2（x+b）ex，a、b∈R，x=a是f（x）的一个极大值点．

⑴若a=0，求b的取值范围；

1234

⑵当a是给定的实常数，设x1，x2，x3是f（x）的3个极值点，问是否存在实数b，可

找到x4∈R，使得x1，x2，x3，x4的某种排列xi,xi,xi,xi

（其中{i1，i2，i3，i4}=

{1，2，3，4}）依次成等差数列?

若存在，求所有的b及相应的x4；若不存在，说明理由．

⑥导数与曲线新题型

例17（形数转换）已知函数f（x）=lnx,

g（x）=1ax2+bx（a≠0）.

2

（1）若a=-2,函数h（x）=

f（x）-g（x）

在其定义域是增函数,求b的取值范围;

（2）在

（1）的结论下,设函数（x）=e2x+bex,x∈[0,ln2],求函数（x）的最小值;（3）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作x

轴的垂线分别交C1、C2于点M、N,问是否存在点R,使C1在M处的切线与C2在

x

N处的切线平行?

若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.

例18（全综合应用）已知函数f（x）=1+ln（0

2-x

（1）是否存在点M（a,b）,使得函数y=f（x）的图像上任意一点P关于点M对称的点Q

也在函数y=

f（x）的图像上?

若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;

2n-1i

122n-1*

（2）

n

定义Sn=∑f（）=

i=1

f（）+f（）+⋅⋅⋅+f（

nn

n）,其中n∈N,求S2013;

（3）

nnn

在

（2）的条件下,令S+1=2a,若不等式2an⋅（a）m>1对∀n∈N*且n≥2恒成立,

求实数m的取值范围.

⑦导数与三角函数综合

例19（