完整版高三导数压轴题题型归纳可编辑修改word版.docx

1、完整版高三导数压轴题题型归纳可编辑修改word版1.高考命题回顾导数压轴题题型例 1 已知函数 f(x)exln(xm)（2013 全国新课标卷）(1)设 x0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性；(2)当 m2 时，证明 f(x)0.1(1)解 f(x)exln(xm)f(x)ex f(0)e0 10m1，x m 0 m1 ex(x1(1定义域为x|x1，f(x)ex x mx1 ，显然 f(x)在(1,0上单调递减，在0，)上单调递增1(2)证明 g(x)exln(x2)， 则 g(x)ex (x2)x 21 1h(x)g(x)ex (x2)h(x)ex 20，x 2

2、x 2 所以 h(x)是增函数，h(x)0 至多只有一个实数根，又 g( 1)11e0， 2 3 222所以 h(x)g(x)0 的唯一实根在区间(1，0)内，设 g(x)0 的根为 t，则有 g(t)et 1 0(1 t 0)，1所以，et t2et，t2 2t 2当 x(2，t)时，g(x)g(t)0，g(x)单调递增；1 1t 2t 2所 以 g(x)ming(t)etln(t2) t当 m2 时，有 ln(xm)ln(x2)，t20，所以 f(x)exln(xm)exln(x2)g(x)g(x)min0.例 2 已知函数 f (x) 满足 f (x) =f (1)ex-1 - f (0

3、)x + 1 x2 （2012 全国新课标）2(1)求 f (x) 的解析式及单调区间；(2)若 f (x) 1 x2 + ax + b ，求(a +1)b 的最大值。2（1） f (x) =f (1)ex-1 - f (0)x + 1 x2 2f (x) =f (1)ex-1 - f (0) + x令 x = 1 得： f (0) = 1f (x) =f (1)ex-1 - x + 1 x2 2f (0) =f (1)e-1 = 1 f (1) = e得： f (x) = ex - x + 1 x2 g(x) =2f (x) = ex -1+ xg(x) = ex +1 0 y = g(x)

4、 在 x R 上单调递增f (x) 0 =f (0) x 0, f (x) 0 =f (0) x 0 y = h(x) 在 x R 上单调递增x - 时， h(x) - 与 h(x) 0 矛盾当 a +1 0 时， h(x) 0 x ln(a +1), h(x) 0 x 0)令 F (x) = x2 - x2 ln x(x 0) ；则 F (x) = x(1- 2 ln x)eF (x) 0 0 x e, F (x) ee当 x = 时， F (x)max = 2eee当 a = -1, b =时， (a +1)b 的最大值为2例 3 已 知 函 数f (x) = a ln x + b ， 曲

5、 线 y = f (x) 在 点 (1, f (1) 处 的 切 线 方 程 为x +1 xx + 2 y - 3 = 0 。（2011 全国新课标）（）求 a 、b 的值；（）如果当 x 0 ，且 x 1 时， f (x) ln x + k ，求 k 的取值范围。 ( x +1 - ln x)x -1 x解（） f (x) = x - b(x +1)2 x2由于直线 x + 2 y - 3 = 0 的斜率为- 1 ，2 f (1) = 1, 1且过点(1,1) ，故f (1) = - ,b = 1,即 a - b = - 1 , 解得 a = 1 ， b = 1。 2 2 2（）由（）知f

6、(x) =ln x + 1 ，所以 x +1 xln x k 1 (k -1)(x2 -1)f (x) - (x -1 + x ) = 1- x2(2 ln x + ) 。x考虑函数 h(x) = 2 ln x +(k -1)(x2 -1)x(k -1)(x2 +1) + 2x(x 0) ，则 h (x) = 。x2(i)设k 0k (x2 +1) - (x -1)2，由 h (x) = 知，当x2x 1时， h (x) 0 ，可得11- x2h(x) 0 ；当 x（1，+ ）时，h（x）0ln x k从而当 x0,且 x 1 时，f（x）-（x - 1 +）0，即 f（x）xx - 1 +

7、x .（ii）设 0k 0 ，对称轴 x= 11 - k1 当 x（1，.1）时，（k-1）（x2 +1）1 - k+2x0,故h(x）0,而 h（1）=0，故当 x（1，1）时，h（x）0，可得1 - k11 - x 2h（x） 0 h （x）0,而 h（1）=0，故当 x （1，+ ）时，h（x）0，可得综合得，k 的取值范围为（- ，011 - x 2h（x） 0（ 0 ）。(6) f (x) 在区间 I 上无极值等价于 f (x) 在区间在上是单调函数，进而得到 f (x) 0或 f (x) 0 在 I 上恒成立(7)若 x I ， f (x) 0 恒成立，则 f (x)min 0 ;

8、 若x I ， f (x) 0 恒成立，则f (x)max 0 ，则 f (x)max 0 ；若 x0 I ，使得 f (x0 ) 0 ，则f (x)min g(x) 恒成立，则有 f (x) - g(x) 0 .min(10)若对 x1 I1 、 x2 I2 ， f (x1 ) g(x2 ) 恒成立，则 f (x)min g(x)max .若对 x1 I1 ， x2 I2 ，使得 f (x1 ) g(x2 ) ,则 f (x)min g(x)min .若对 x1 I1 ， x2 I2 ，使得 f (x1 ) g(x2 ) ，则 f (x)max 0) x +1 ln（x+1） x (x -1

9、) ex 1 + x e- x 1- x ln x 1) ln x 0)x + 1 2 x2 2 2x23.题型归纳导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用（构造函数，最值定位）（分类讨论，区间划分）（极值比较）（零点存在性定理应用）（二阶导转换）例 1（切线）设函数 f (x) = x 2 - a .（1）当 a = 1时，求函数 g(x) = xf (x) 在区间0,1 上的最小值；（2）当 a 0 时，曲线 y = f (x) 在点 P(x1 , f (x1 )(x1 a ) 处的切线为l ， l 与 x 轴交于a点 A(x2 ,0) 求证： x1 x2 .例2（最值问题，两边分求

10、）已知函数 f (x) = ln x - ax + 1- a -1 (a R) .x当 a 1 时，讨论 f (x) 的单调性；2设 g(x) = x2 - 2bx + 4. 当 a = 1 时，若对任意 x (0, 2) ，存在 x 1, 2，使4 1 2f (x1) g(x2 ) ，求实数b 取值范围.交点与根的分布例 3（切线交点）已知函数 f ( x) = ax3 + bx2 - 3x (a, b R) 在点(1 , f (1) 处的切线方程为 y + 2 = 0 求函数 f ( x) 的解析式；若对于区间-2, 2上任意两个自变量的值 x1, x2 都有c 的最小值；f ( x1 )

11、 - f ( x2 ) c ，求实数若过点 M (2, m)(m 2) 可作曲线 y = f ( x) 的三条切线，求实数m 的取值范围例 4（综合应用）已知函数f (x) = ln(2 + 3x) - 3 x 2 .2求 f(x)在0,1上的极值；若对任意范围；x 16, 1,3不等式| a - ln x | + ln f (x) + 3x 0成立，求实数 a 的取值若关于 x 的方程 f (x) = -2x + b 在0，1上恰有两个不同的实根，求实数 b 的取值范围.不等式证明例 5 (变形构造法)已知函数 (x) =ax + 1 ，a 为正常数= 9若 f (x) = ln x + (

12、x) ，且 a 2 ，求函数 f (x) 的单调增区间；在中当 a = 0 时，函数 y = f (x) 的图象上任意不同的两点 A(x1 , y1 )， B(x2 , y2 ) ，线段 AB 的中点为C(x0 , y0 ) ，记直线 AB 的斜率为 k ，试证明： k f (x0 ) g(x2 ) - g(x1 ) 0)（1）若 f (x) x 2 对任意的 x 0 恒成立，求实数 a 的取值范围；g(x) =f (x)x , x 1+ x 1（ 2） 当a = 1 时 ， 设 函 数 x ， 若 1 2( e ,1), x12， 求 证x1 x2 (x1 + x2 ) 4例 7（绝对值处理

13、）已知函数 f (x) = x3 + ax2 + bx + c 的图象经过坐标原点，且在 x = 1 处取得极大值（I）求实数 a 的取值范围；(2a + 3)2（II）若方程 f (x) = -9恰好有两个不同的根，求 f (x) 的解析式；（III）对于（II）中的函数 f (x) ，对任意 、 R ，求证： | f (2sin ) - f (2sin ) | 81例 8（等价变形）已知函数 f (x) = ax - 1 - ln x (a R) （）讨论函数 f (x) 在定义域内的极值点的个数；（）若函数 f (x) 在 x = 1处取得极值，对x (0,+) , f (x) bx -

14、 2 恒成立， 求实数b 的取值范围；（）当0 x y e2且 x e 时，试比较y 与1 - ln y x 1 - ln x的大小例 9（前后问联系法证明不等式）已知f (x) = ln x, g(x) = 1 x2 + mx + 7 (m 0)2 2，直线l与函数 f (x), g(x) 的图像都相切，且与函数 f (x) 的图像的切点的横坐标为 1。（I）求直线l 的方程及 m 的值；（II）若 h(x) = f (x +1) - g (x)(其中g ( x) 是g( x) 的导函数) ，求函数 h(x) 的最大值。f (a + b) - f (2a) b - a .（III）当0 b

15、0 ，求 f (x) 在m, 2m 上的最大值；（3）ln(试证明：对任意 n N* ，不等式 1+ n )e a1 a2 an n +1例 11（数学归纳法）已知函数 f (x) = ln(x +1) + mx ，当 x = 0 时，函数 f (x) 取得极大值.（）求实数 m 的值；（）已知结论：若函数 f (x) = ln(x +1) + mx 在区间(a, b) 内导数都存在，且 a -1 ，则存在 x0(a, b) ， 使得f ( x0 ) =f (b) - f (a).试用这个结论证明： 若b - a-1 x g(x) ；（）已知正数 1, 2 ,L, n ，满足 1 + 2 +L

16、+ n = 1，求证：当 n 2 ， n N 时，对 任 意 大 于-1， 且 互 不 相 等 的 实 数x1 , x2 ,L, xn ， 都 有f ( 1 x1 + 2 x2 +L+ n xn ) 1 f (x1 ) + 2 f (x2 ) +L+ n f (xn ) .恒成立、存在性问题求参数范围例 12（分离变量）已知函数 f (x) = x 2 + a ln x (a 为实常数). (1)若 a = -2 ，求证：函数 f (x) 在(1,+)上是增函数； (2)求函数 f (x) 在1,e上的最小值及相应的 x 值；(3)若存在 x 1, e，使得 f (x) (a + 2)x 成立

17、，求实数 a 的取值范围.例13（先猜后证技巧）已知函数 f (x) = 1 + 1n(x + 1)x（）求函数f (x)的定义域（）确定函数f (x)在定义域上的单调性，并证明你的结论.（）若x0时 f (x) kx + 1恒成立，求正整数k的最大值.例 14（创新题型）设函数 f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).()若 x=0 是 F(x)的极值点,求 a 的值；()当 a=1 时,设 P(x1,f(x1), Q(x2, g(x 2)(x10,x20), 且 PQ/x 轴,求 P、Q 两点间的最短距离；()若 x0 时,函数 y=F(x)的图象恒在 y=F

18、(x)的图象上方,求实数 a 的取值范围例 15(图像分析，综合应用) 已知函数 g(x) = ax 2 - 2ax + 1 + b(a 0, b 1) ，在区间2, 3f (x) = g(x)上有最大值 4，最小值 1，设 x （）求 a, b 的值；（）不等式 f (2 x ) - k 2 x 0 在 x -1,1 上恒成立，求实数k 的范围；（）方程导数与数列f (| 2 x - 1 |) + k (2| 2 x - 1 |- 3) = 0有三个不同的实数解，求实数k的范围例16（创新型问题）设函数 f (x) = (x - a)2 (x + b)ex ， a、b R ， x = a 是

19、 f (x) 的一个极大值点若 a = 0 ，求b 的取值范围；1 2 3 4当 a 是给定的实常数，设 x1，x2，x3 是 f (x) 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到 x4 R ，使得 x1，x2，x3，x4 的某种排列 xi , xi , xi , xi（其中i1，i2，i3，i4 =1，2，3，4 ）依次成等差数列?若存在，求所有的b 及相应的 x4 ；若不存在，说明理由导数与曲线新题型例 17（形数转换）已知函数 f ( x) = ln x ,g( x) = 1 ax2 + bx (a 0) .2(1)若a = -2 , 函数h( x) =f ( x) - g( x)在其定义域是增函数,求 b 的取值范围;(2)在(1)的结论下,设函数 ( x) =e2x +bex , x 0, l n2 , 求函数 ( x) 的最小值; (3)设函数 f (x) 的图象C1 与函数 g(x) 的图象C2 交于点P、Q,过线段 PQ 的中点R 作 x轴的垂线分别交 C1、C2 于点 M 、 N ,问是否存在点 R,使 C1 在 M 处的切线与 C2 在xN 处的切线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.例 18（全综合应用）已知函数 f (x) = 1+ ln (0 x 1 对n N* 且 n 2 恒成立,求实数 m 的取值范围.导数与三角函数综合例 19（