相交线与平行线常考题目及答案绝对经典.docx
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相交线与平行线常考题目及答案绝对经典
相交线与平行线
一.选择题(共3小题)
1.在同一平面内,有8条互不重合的直线,l1,l2,l3⋯8l,若l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,l4∥l5⋯以此类推,则l1和l8的位置关系是()
A.平行B.垂直C.平行或垂直D.无法确定
2.如图,直线AB、CD相交于O,OE⊥AB,OF⊥CD,则与∠1互为余角的
有()
二.填空题(共4小题)
4.一块长方体橡皮被刀切了3次,最多能被分成块.5.如图,P点坐标为(3,3),l1⊥l2,l1、l2分别交x轴和y轴于A点和B点,则四边形OAPB的面积为.
6.如图,直线l1∥l2,∠1=20°,则∠2+∠3=
7.将一副学生用三角板按如图所示的方式放置.若AE∥BC,则∠AFD的度
数是.
评卷人得分
三.解答题(共43小题)
8.已知:
直线EF分别与直线AB,CD相交于点F,E,EM平∠FED,AB∥CD,H,P分别为直线AB和线段EF上的点.
(1)如图1,HM平分∠BHP,若HP⊥EF,求∠M的度数.
(2)如图2,EN平分∠HEF交AB于点N,NQ⊥EM于点Q,当H在直线AB上运动(不与点F重合)时,探究∠FHE与∠ENQ的关系,并证明你的结论.
9.我们知道,两条直线相交,有且只有一个交点,三条直线相交,最多只有三个交点,那么,四条直线相交,最多有多少个交点?
一般地,n条直线最多有多少个交点?
说明理由.
10.如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC.
(1)若∠EOC=7°0,求∠BOD的度数.
(2)若∠EOC:
∠EOD=4:
5,求∠BOD的度数.
11.如图,直线EF,CD相交于点0,OA⊥OB,且OC平分∠AOF,
(1)若∠AOE=4°0,求∠BOD的度数;
(2)若∠AOE=α,求∠BOD的度数;(用含α的代数式表示)
(3)从
(1)
(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系?
12.如图1,已知MN∥PQ,B在MN上,C在PQ上,A在B的左侧,D在C的右侧,DE平分∠ADC,BE平分∠ABC,直线DE、BE交于点E,∠CBN=100°.
(1)若∠ADQ=13°0,求∠BED的度数;
(2)将线段AD沿DC方向平移,使得点D在点C的左侧,其他条件不变,若∠ADQ=°n,求∠BED的度数(用含n的代数式表示).
13.如图,将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上,若∠1=26
(1)求∠2的度数
(2)若∠3=19°,试判断直线n和m的位置关系,并说明理由.
l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D,点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合.记∠AEP=∠1,∠PFB=∠2,∠EPF=
∠3.
(1)若点P在图
(1)位置时,求证:
∠3=∠1+∠2;
(2)若点P在图
(2)位置时,请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系;
(3)若点P在图(3)位置时,写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明.
1)试探索∠ABC,∠BCP和∠CPN之间的数量关系,并说明理由;
1)求证:
AE∥CD;
2)求∠B的度数.
17.探究题:
(1)如图1,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明理由吗?
(2)反之,若∠B+∠D=∠E,直线AB与直线CD有什么位置关系?
简要说明理由.
(3)若将点E移至图2的位置,此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?
直接写出结论.
(4)若将点E移至图3的位置,此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?
直接写出结论.
(5)在图4中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系?
直接写出结论.
18.如图1,AB∥CD,在AB、CD内有一条折线EPF.
(1)求证:
∠AEP+∠CFP=∠EPF.
(2)如图2,已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q,试探索∠
EPF与∠EQF之间的关系.
(3)如图3,已知∠BEQ=∠BEP,∠
∠DFP,则∠P与∠Q有什么关
系,说明理由.
∠DFP,有∠P与∠Q的关系
4)已知∠BEQ=∠BEP,∠DFQ=
1=∠2,∠3:
∠1=8:
1,求∠4的度
20.如图,一个由4条线段构成的“鱼”形图案,其中∠1=50°,∠2=50°,∠3=130°,找出图中的平行线,并说明理由.
21.如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD.
(1)若∠AOC=7°0,∠DOF=9°0,求∠EOF的度数;
(2)若OF平分∠COE,∠BOF=1°5,若设∠AOE=°x.①则∠EOF=.(用含x的代数式表示)
②求∠AOC的度数.
22.如图,直线AB、CD相交于点O,已知∠AOC=75°,OE把∠BOD分成两个角,且∠BOE:
∠EOD=2:
3.
(1)求∠EOB的度数;
(2)若OF平分∠AOE,问:
OA是∠COF的角平分线吗?
试说明理由.
23.如图,直线AB、CD相交于点O,∠AOC=72°,射线OE在∠BOD的内部,∠DOE=2∠BOE.
(1)求∠BOE和∠AOE的度数;
(2)若射线OF与OE互相垂直,请直接写出∠DOF的度数.
3.
(1)求∠BOD的度数;
2)如图2,点F在OC上,直线GH经过点F,FM平分∠OFG,且∠MFH
∠BOD=9°0,求证:
OE∥GH.
25.如图,直线AB.CD相交于点O,OE平分∠BOC,∠COF=90°.
1)若∠BOE=7°0,求∠AOF的度数;
2)若∠BOD:
∠BOE=1:
2,求∠AOF的度数.
26.几何推理,看图填空:
(1)∵∠3=∠4(已知)∴∥()
(2)∵∠DBE=∠CAB(已知)∴∥()
(3)∵∠ADF+=180°(已知)
∴AD∥BF()
27.如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD.
1)若∠AOC=6°8,∠DOF=9°0,求∠EOF的度数.
28.将一副三角板拼成如图所示的图形,∠DCE的平分线CF交DE于点F.
(1)求证:
CF∥AB.
2)求∠DFC的度数.
29.看图填空,并在括号内注明说理依据.
如图,已知AC⊥AE,BD⊥BF,∠1=35°,∠2=35°,AC与BD平行吗?
AE与
BF平行吗?
解:
因为∠1=35°,∠2=35°(已知),
所以∠1=∠2.
所以∥().又因为AC⊥AE(已知),所以∠EAC=90°.()
所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°.
同理可得,∠FBG=∠FBD+∠2=所以∠EAB=∠FBG().
30.已知如图所示,∠B=∠C,点B、A、E在同一条直线上,∠EAC=∠B+∠C,且AD平分∠EAC,试说明AD∥BC的理由.
33.阅读下面的推理过程,在括号内填上推理的依据,如图:
因为∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°(已知)
所以∠1=∠4,(
所以a∥c.(
又因为∠2+∠3=180°(已知)
∠3=∠6(
所以∠2+∠6=180°,()
所以a∥b.()
34.已知:
如图,AB∥CD,FG∥HD,∠B=100°,FE为∠CEB的平分线,求
明理由;
(3)应用:
若两个角的两边分别互相平行,其中一个角是另一个角的2倍,
求这两个角的度数.
37.已知AD∥BC,AB∥CD,E为射线BC上一点,AE平分∠BAD.
(1)如图1,当点E在线段BC上时,求证:
∠BAE=∠BEA.
(2)如图2,当点E在线段BC延长线上时,连接DE,若∠ADE=3∠CDE,∠AED=6°0.
①求证:
∠ABC=∠ADC;
38.如图,已知a∥b,ABCDE是夹在直线a,b之间的一条折线,试研究∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的大小之间有怎样的等量关系?
请说明理由.
39.如图,AB∥DC,增加折线条数,相应角的个数也会增多,∠B,∠E,∠
(1)如图1,点E在直线BD上的左侧,直接写出∠ABE,∠CDE和∠BED之间的数量关系是.
(2)如图2,点E在直线BD的左侧,BF,DF分别平分∠ABE,∠CDE,直接写出∠BFD和∠BED的数量关系是.
(3)如图3,点E在直线BD的右侧BF,DF仍平分∠ABE,∠CDE,那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系?
请说明理由.
41.
(1)如图,直线a,b,c两两相交,∠3=2∠1,∠2=155°,求∠4的度数.
(2)如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE,∠AOD:
∠BOE=4:
1,求∠AOF的度数.
42.如图,已知CD⊥DA,DA⊥AB,∠1=∠2.试说明DF∥AE.请你完成下列填空,把解答过程补充完整.
解:
∵CD⊥DA,DA⊥AB,
∴∠CDA=9°0,∠DAB=9°0.()
∴∠CDA=∠DAB.(等量代换)
又∠1=∠2,
从而∠CDA﹣∠1=∠DAB﹣.(等式的性质)
即∠3=.
43.如图1,AB∥CD,EOF是直线AB、CD间的一条折线.
(1)说明:
∠O=∠BEO+∠DFO.
(2)如果将折一次改为折二次,如图2,则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系,证明你的结论.
(3)若将折线继续折下去,折三次,折四次⋯折n次,又会得到怎样的结论?
请写出你的结论.
44.如图,已知∠1=60°,∠2=60°,∠MAE=45°,∠FEG=15°,EG平分∠AEC,∠NCE=7°5.求证:
1)AB∥EF.
45.如图,∠E=∠1,∠3+∠ABC=180°,BE是∠ABC的角平分线.
E为AB、CD间的一点,连结EA、EC.
1)如图①,若∠A=30°,∠C=40°,则∠AEC=.
2)如图②,若∠A=100°,∠C=120°,则∠AEC=.
3)如图③,请直接写出∠A,∠C与∠AEC之间关系是
47.如图,已知AB∥CD,EF⊥AB于点G,若∠1=30°,试求∠F的度数.
48.生活中到处都存在着数学知识,只要同学们学会用数学的眼光观察生活,就会有许多意想不到的收获,如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的:
(1)请你计算出图1中的∠ABC的度数.
49.如图,将一张矩形纸片ABCD沿EF对折,延长DE交BF于点G,若∠EFG=50°,求∠1,∠2的度数.
50.如图所示,在长方体中.
(1)图中和AB平行的线段有哪些?
2)图中和AB垂直的直线有哪些?
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参考答案及解析
一.选择题(共3小题)
1.在同一平面内,有8条互不重合的直线,l1,l2,l3⋯8l,若l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,l4∥l5⋯以此类推,则l1和l8的位置关系是()
A.平行B.垂直C.平行或垂直D.无法确定
【分析】如果一条直线垂直于两平行线中的一条,那么它与另一条一定也垂直.再根据“垂直于同一条直线的两直线平行”,可知L1与L8的位置关系是平行.
【解答】解:
∵l2∥l3,l3⊥l4,l4∥l5,l5⊥l6,l6∥l7,l7⊥l8,
∴l2⊥l4,l4⊥l6,l6⊥l8,
∴l2⊥l8.
∵l1⊥l2,
∴l1∥l8.
故选A
【点评】灵活运用“垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键.
2.如图,直线AB、CD相交于O,OE⊥AB,OF⊥CD,则与∠1互为余角的
有()
A.3个B.2个C.1个D.0个
【分析】由OE⊥AB,OF⊥CD可知:
∠AOE=∠DOF=9°0,而∠1、∠AOF都与∠EOF互余,可知∠1=∠AOF,因而可以转化为求∠1和∠AOF的余角共有多少个.
【解答】解:
∵OE⊥AB,OF⊥CD,
∴∠AOE=∠DOF=9°0,
即∠AOF+∠EOF=∠EOF+∠1,
∴∠1=∠AOF,
∴∠COA+∠1=∠1+∠EOF=∠1+∠BOD=9°0.
∴与∠1互为余角的有∠COA、∠EOF、∠BOD三个.
故选A.
【点评】本题解决的关键是由已知联想到可以转化为求∠1和∠AOF的余角.
3.如图所示,同位角共有()
A.6对B.8对C.10对D.12对【分析】在基本图形“三线八角”中有四对同位角,再看增加射线GM、HN后,增加了多少对同位角,求总和.
【解答】解:
如图,由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有四对,射线GM和直线CD被直线EF所截,形成2对同位角;射线GM和直线HN被直线EF所截,形成2对同位角;射线HN和直线AB被直线EF所截,形成2对同位角.
则总共10对.
故选C.
【点评】本题主要考查同位角的概念.即两个都在截线的同旁,又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角.
二.填空题(共4小题)4.一块长方体橡皮被刀切了3次,最多能被分成8块.【分析】一块长方体橡皮被刀切了3次,最多能被分成23=8块.
【解答】解:
长方体橡皮可以想象为立体图形,第一次最多切2块,第二次在第一次的基础上增加2倍,第三次在第二次的基础上又增加2倍,故最多能被分成8块.
【点评】本题考查了学生的空间想象能力,分清如何分得到的块数最多是解决本题的关键.
5.如图,P点坐标为(3,3),l1⊥l2,l1、l2分别交x轴和y轴于A点和B点,则四边形OAPB的面积为9.
【分析】过P分别作x轴和y轴的垂线,交x轴和y轴与C和D.构造全等三角形△PDB≌△PCA(ASA)、正方形CODP;所以S四边形OAPB=S正方形ODPC=3×
3=9.
【解答】解:
过P分别作x轴和y轴的垂线,交x轴和y轴于点C和D.∵P点坐标为(3,3),
∴PC=PD;
又∵l1⊥l2,
∴∠BPA=90°;
又∵∠DPC=9°0,
∴∠DPB=∠CPA,
在△PDB和△PCA中
∴△PDB≌△PCA(ASA),
∴S△DPB=S△PCA,
S四边形OAPB=S正方形ODPC+S△PCA﹣S△DPB,
即S四边形OAPB=S正方形ODPC=3×3=9.
故答案是:
9.
【点评】本题综合考查了垂线、坐标与图形性质、三角形的面积.解答此题时,利用了“割补法”求四边形OAPB的面积.
6.如图,直线l1∥l2,∠1=20°,则∠2+∠3=200°
【分析】过∠2的顶点作l2的平行线l,则l∥l1∥l2,由平行线的性质得出∠4=∠1=20°,∠BAC+∠3=180°,即可得出∠2+∠3=200°.
【解答】解:
过∠2的顶点作l2的平行线l,如图所示:
则l∥l1∥l2,
∴∠4=∠1=20°,∠BAC+∠3=180°,
∴∠2+∠3=180°+20°=200°;
故答案为:
200°.
【点评】本题考查了平行线性质:
两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.
7.将一副学生用三角板按如图所示的方式放置.若AE∥BC,则∠AFD的度
数是75°.
【分析】根据平行线的性质得到∠EDC=∠E=45°,根据三角形的外角性质得到∠AFD=∠C+∠EDC,代入即可求出答案.
【解答】解:
∵∠EAD=∠E=45°,
∵AE∥BC,
∴∠EDC=∠E=45°,
∵∠C=30°,
∴∠AFD=∠C+∠EDC=7°5,
故答案为:
75°.
【点评】本题主要考查对平行线的性质,三角形的外角性质等知识点的理解和掌握,能利用性质进行推理是解此题的关键,题型较好,难度适中.
.解答题(共43小题)
8.已知:
直线EF分别与直线AB,CD相交于点F,E,EM平∠FED,AB∥CD,H,P分别为直线AB和线段EF上的点.
(1)如图1,HM平分∠BHP,若HP⊥EF,求∠M的度数.
(2)如图2,EN平分∠HEF交AB于点N,NQ⊥EM于点Q,当H在直线AB上运动(不与点F重合)时,探究∠FHE与∠ENQ的关系,并证明你的结论.【分析】
(1)首先作MQ∥AB,根据平行线的性质,推得∠M=(∠FHP+∠HFP);然后根据HP⊥EF,推得∠FHP+∠HFP=90°,据此求出∠M的度数即可.
(2)①首先判断出∠NEQ=∠NEF+∠QEF=(∠HEF+∠DEF)=∠HED,然后根据NQ⊥EM,可得∠NEQ+∠ENQ=9°0,推得∠ENQ=(180°﹣∠HED)=∠CEH,再根据AB∥CD,推得∠FHE=2∠ENQ即可.
②首先判断出∠NEQ=∠QEF﹣∠NEF=(∠DEF﹣∠HEF)=∠HED,然后根据NQ⊥EM,可得∠NEQ+∠ENQ=9°0,推得∠ENQ=(180°﹣∠HED)=∠CEH,再根据AB∥CD,推得∠FHE=180°﹣2∠ENQ即可.
解答】∵AB∥CD,MQ∥AB,
∴MQ∥CD,
∴∠1=∠FHM,∠2=∠DEM,
∴∠1+∠2=∠FHM+∠DEM=(∠FHP+∠FED)=(∠FHP+∠HFP),
∵HP⊥EF,
∴∠HPF=90°,
∴∠FHP+∠HFP=180°﹣90°=90°,
∵∠1+∠2=∠M,
∴∠M=.
∵NQ⊥EM,∴∠NEQ+∠ENQ=9°0,
∴∠ENQ=(180°﹣∠HED)=∠CEH,∵AB∥CD,
∠NEQ=∠QEF﹣∠NEF=
∴∠FHE=∠CEH=2∠ENQ.
∠DEF﹣∠HEF)=∠HED,
∵NQ⊥EM,∴∠NEQ+∠ENQ=9°0,
∴∠ENQ=(180°﹣∠HED)=∠CEH,
∵AB∥CD,
∴∠FHE=180°﹣∠CEH=18°0﹣2∠ENQ.
综上,可得
当H在直线AB上运动(不与点F重合)时,∠FHE=2∠ENQ或∠FHE=180°﹣2∠ENQ.
【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
①定理1:
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:
两直线平行,同位角相等.定理2:
两条平行线被地三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:
两直线平行,同旁内角互补.③定理3:
两条平
行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:
两直线平行,内错角相等.
9.我们知道,两条直线相交,有且只有一个交点,三条直线相交,最多只有三个交点,那么,四条直线相交,最多有多少个交点?
一般地,n条直线最多有多少个交点?
说明理由.
【分析】分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数,找出规律即可解答.
【解答】解:
如图:
2条直线相交有1个交点;
3条直线相交有1+2个交点;
4条直线相交有1+2+3个交点;
5条直线相交有1+2+3+4个交点;
6条直线相交有1+2+3+4+5个交点;
【点评】本题考查的是多条直线相交的交点问题,解答此题的关键是找出规律,即n条直线相交有个交点.
10.如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC.
(1)若∠EOC=7°0,求∠BOD的度数.
(2)若∠EOC:
∠EOD=4:
5,求∠BOD的度数.
【分析】
(1)根据角平分线的定义求出∠AOC的度数,根据对顶角相等得到答案;
(2)设∠EOC=4,x根据邻补角的概念列出方程,解方程求出∠EOC=8°0,根据角平分线的定义和对顶角相等计算即可得到答案.
【解答】解:
(1)∵∠EOC=7°0,OA平分∠EOC,
∴∠AOC=3°5,
∴∠BOD=∠AOC=3°5;
(2)设∠EOC=4x,则∠EOD=5x,
∴5x+4x=180°,
解得x=20°,
则∠EOC=8°0,
又∵OA平分∠EOC,
∴∠AOC=4°0,
∴∠BOD=∠AOC=4°0.
【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质以及角平分线的定义,掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键.
11.如图,直线EF,CD相交于点0,OA⊥OB,且OC平分∠AOF,
(1)若∠AOE=4°0,求∠BOD的度数;
(2)若∠AOE=α,求∠BOD的度数;(用含α的代数式表示)
(3)从
(1)
(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系?
【分析】
(1)、
(2)根据平角的性质求得∠AOF,又有角平分线的性质求得∠FOC;然后根据对顶角相等求得∠EOD=∠FOC;∠BOE=∠AOB﹣∠AOE,∠BOD=∠EOD﹣∠BOE;
(3)由
(1)、
(2)的结果找出它们之间的倍数关系.
【解答】解:
(1)∵∠AOE+∠AOF=18°0(互为补角),∠AOE=4°0,∴∠AOF=14°0;
又∵OC平分∠AOF,
∴∠EOD=∠FOC=7°0(对顶角相等);
而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=5°0,
∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=2°0;
(2)∵∠AOE+∠AOF=18°0(互为补角),∠AOE=α,
∴∠AOF=18°0﹣α;
又∵OC平分∠AOF,
∴∠FOC=∠AOF=9°0﹣α,
∴∠EOD=∠FOC=9°0﹣α(对顶角相等);
而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=9°0﹣α,
∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=α;
(3)从
(1)
(2)的结果中能看出∠AOE=2∠BOD.
【点评】本题利用垂直的定义,对顶角和互补的性质计算,要注意领会由垂直得直角这一要点.
12.如图1,已知MN∥PQ,B在MN上,C在PQ上,A在B的左侧,D在C的右侧,DE平分∠ADC,BE平分∠ABC,直线DE、BE交于点E,∠CBN=100°.
(1)若∠ADQ=13°0,求∠BED的度数;
(2)将线段