最近五年高考数学解析几何压轴题大全含答案.docx
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最近五年高考数学解析几何压轴题大全含答案
.
最近五年高考数学解析几何压轴题大全（含答案）
1.【2009年陕西卷】21．（本小题满分12分）
已知双曲线C的方程为
22
yx
221（0,0）
ab
ab
，离心率
5
e，顶点到渐近线的
2
距离为25
5
。
（I）求双曲线C的方程；
（II）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两
条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若
1
APPB,[,2]，求AOB面积的取值范围。
3
【答案】
21．（本小题满分14分）
已知双曲线C的方程为
22
yx
221（a0,b0）,
ab
离心率
5
e,顶点到渐近线的距离为
2
25
5
.
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第
一，二象限.若
1
APPB,[,2],求△AOB面积的取值范围.
3
25
解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（O,a）到渐近线axby0
的距离为，
5
∴
ab25ab25
,
即
225c5
ab
ab
25
5
5
2
a
2,
c
b
1,
c
由得
∴双曲线C的方程为
a
c
5,
222
cab
2
y
4
21.
x
.
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y2x.
设A（m,2m）,B（n,2n）,m0,n0.
由APPB得P点的坐标为
mn2（mn）
（,）,
11
将P点坐标代入
2
y
4
21,
x化简得
mn
2
（1n）
4
.
设∠AOB
114
2,tan（）2,tan,sin,sin2.
2225
又
|OA|5m|OB|5n
4
111
S|OA||OB|sin22mn（）1.
AOB
22
记
由
111
S（）（）1,[,2],
23
1
89
得又S
（1）=2,S（
S'（）01,）,S
（2）,
3
34
当1时，△AOB的面积取得最小值2，当
1
3
时，△AOB的面积取得最大值
8
2.
∴△AOB面积的取值范围是
8
[2,].
3
解答二（Ⅰ）同解答一
（Ⅱ）设直线AB的方程为ykxm,由题意知|k|2,m0.
由{
ykxm
y2x
得A点的坐标为（,2）,
mm
2k2k
由{
ykxm
y2x
得B点的坐标为（,2）.
mm
2k2k
由APPB得P点的坐标为
m12m1
（（）,（））,
12k2k12k2k
将P点坐标代入
222
y4m
（1）
2
x得
1.
2
44k
设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.
111
SSS|OQ||XA||OQ||x8|m（xAxB）
AOBAOQBOQ
222
=
2
1mm14m11
m（）（）1.
2
22k2k24k2
.
.
以下同解答一.
3.【2010年陕西卷】20.（本小题满分13分）
22
xy
:
1
22
ab
的顶点为A1,A2,B1,B2，焦
y
B2
l如图，椭圆C
A
点为
F1,F2,
|AB|7，
11
S11222S1122
ABABBFBF
P
n（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于F点、与
A1
F1
ox
A2
F
2
B
椭圆相交于A,B亮点的直线，|OP|=1，是否存在上述直线
B1l使APPB1成立？
若存在，求出直线l的方程；若不存
在，请说明理由。
【答案】
（Ⅰ）
由
|AB|7知
11
227
ab，①
由
S11222S1122知a=2c，②
ABABBFBF
又
222
bac，③
由①②③解得
24,23
ab，
故椭圆C的方程为
22
xy
43
1
（Ⅱ）
设A，B两点的坐标分别为
（x,y）,（x,y），
1122
假设使APPB1成立的直线l存在，
（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为ykxm，
由l与n垂直相交于P点且|OP|=1得
|m|
1k
2
1，即
221
mk
.
.
∵APPB1，|OP|=1，
∴OAOB（OPPA）（OPPB）
=
2
OPOPPBPAOPPAPB
=1+0+0-1=0,
即
x1x2y1y20
将ykxm代入椭圆方程，得
222
（34k）x8kmx（4m12）0
由求根公式可得
8km
xx
122
34k
，④
2
4m12
xx
122
34k
⑤
0xxyyxx（kxm）（kxm）
12121212
=
22
x1x2kx1x2km（x1x2）m
=
22
（1k）xxkm（xx）m
1212
将④，⑤代入上式并化简得
222222
（1k）（4m12）8kmm（34k）0⑥
将
212
mk代入⑥并化简得
2
5（k1）0，矛盾
即此时直线l不存在
（ⅱ）当l垂直于x轴时，满足|OP|1的直线l的方程为x=1或x=-1，
当X=1时，A,B,P的坐标分别为（1,3）,（1,3）,（1,0）
22
，
∴
33
AP（0,）,PB（0,），
22
∴
APPB
9
4
1
当x=-1时，同理可得APPB1，矛盾
即此时直线l也不存在
综上可知，使APPB1成立的直线l不存在
.
.
4.【2011年陕西卷】17．（本小题满分12分）
如图，设P是圆
2225
xy上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上
一点，且
4
MDPD
5
（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为
4
5
的直线被C所截线段的长度
【答案】17．解：
（Ⅰ）设M的坐标为（x,y）P的坐标为（xp,yp）
xpx,
由已知得
5
ypy,
4
∵P在圆上，∴
2
25
xy25，即C的方程为
4
22
xy
2516
1
（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为
4
5
的直线方程为
4
yx3，
5
设直线与C的交点为
Ax1,y1,Bx2,y2
将直线方程43
yx代入C的方程，得
5
23
x
x
2525
2
1
即
2380
xx
∴
341341
x,x∴线段AB的长度为
12
22
164141222
ABxxyy1xx41
121212
25255
18．（本小题满分12分）
叙述并证明余弦定理。
5.【2012年陕西卷】19.（本小题满分12分）
已知椭圆
2
x
2
C1:
y1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率.
4
（Ⅰ）求椭圆
C的方程；
2
（Ⅱ）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆
C和C2上，OB2OA，求直线AB的方
1
程.
.
.
6.【2013年陕西卷】20.（本小题满分13分）
已知动圆过定点A（4,0）,且在y轴上截得的弦MN的长为8.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程;
（Ⅱ）已知点B（－1,0）,设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是
PBQ的角平分线,证明直线l过定点.
2【答案】（Ⅰ）y8x
抛物线方程;（Ⅱ）定点（1,0）
【解析】（Ⅰ）A（4,0）,设圆心C
MN
222
（x,y）,MN线段的中点为E，由几何图像知ME,CACMMEEC
2
2
22222
（
x4）y4xy8x
（Ⅱ）点B（－1,0）,
22
设.
P（x1,y）,Q（x,y）,由题知yy0，yy0,y8x,y8x
12212121122
yyyy
1212yyyyyyyy
8（）（）08
12122112
22
x1x1
12
y8y8
12
0
yy1
2
直线PQ方程为：
（8）
21
yy1（xx）yyxy
111
xxyy
2121
.
.
2
y（y2y）y（yy）8xyy（y2y1）88xy0,x
11211
1
所以，直线PQ过定点（1,0）
.
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