人教版高中数学高考总复习函数概念习题及详解及参考答案.docx

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人教版高中数学高考总复习函数概念习题及详解及参考答案

 

(附参考答案)

一、选择题

1.(文)(2010·浙江文)已知函数f(x)=log2(x+1),若f(a)=1,则a=()

A.0B.1

C.2D.3

[答案]B

[解析]由题意知,f(a)=log2(a+1)=1,∴a+1=2,

∴a=1.

(理)(2010·广东六校)设函数f(x)=,则满足f(x)=4的x的值是

()

A.2B.16

C.2或16D.-2或16

[答案]C

[解析]当f(x)=2x时.2x=4,解得x=2.

当f(x)=log2x时,log2x=4,解得x=16.

∴x=2或16.故选C.

2.(文)(2010·湖北文,3)已知函数f(x)=,则f(f())=()

A.4B.

C.-4D.-

[答案]B

[解析]∵f()=log3=-2<0

∴f(f())=f(-2)=2-2=.

(理)设函数f(x)=,若f(x0)>1,则x0的取值范围是()

A.(-∞,0)∪(10,+∞)

B.(-1,+∞)

C.(-∞,-2)∪(-1,10)

D.(0,10)

[答案]A

[解析]由或⇒x0<0或x0>10.

3.(2010·天津模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为f(x)=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有()

A.7个B.8个

C.9个D.10个

[答案]C

[解析]由x2=1得x=±1,由x2=4得x=±2,故函数的定义域可以是{1,2},{-1,2},{1,-2},{-1,-2},{1,2,-1},{1,2,-2},{1,-2,-1},{-1,2,-2}和{-1,-2,1,2},故选C.

4.(2010·柳州、贵港、钦州模拟)设函数f(x)=,函数y=g(x)的图象与y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则g

(1)等于()

A.-B.-1

C.-D.0

[答案]D

[解析]设g

(1)=a,由已知条件知,f(x)与g(x)互为反函数,∴f(a)=1,即=1,∴a=0.

5.(2010·广东六校)若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(1-x)的图象大致为()

[答案]A

[解析]解法1:

y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称.将y=f(-x)的图象向右平移一个单位得y=f(1-x)的图象,故选A.

解法2:

由f(0)=0知,y=f(1-x)的图象应过(1,0)点,排除B、C;由x=1不在y=f(x)的定义域内知,y=f(1-x)的定义域应不包括x=0,排除D,故选A.

6.(文)(2010·广东四校)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表,填写下列g(f(x))的表格,其三个数依次为()

x

1

2

3

f(x)

2

3

1

x

1

2

3

g(x)

1

3

2

x

1

2

3

g(f(x))

A.3,1,2B.2,1,3

C.1,2,3D.3,2,1

[答案]D

[解析]由表格可知,f

(1)=2,f

(2)=3,f(3)=1,g

(1)=1,g

(2)=3,g(3)=2,

∴g(f

(1))=g

(2)=3,g(f

(2))=g(3)=2,g(f(3))=g

(1)=1,

∴三个数依次为3,2,1,故选D.

(理)(2010·山东肥城联考)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:

x

1

2

3

f(x)

2

3

1

x

1

2

3

g(x)

3

2

1

则方程g[f(x)]=x的解集为()

A.{1}B.{2}

C.{3}D.∅

[答案]C

[解析]g[f

(1)]=g

(2)=2,g[f

(2)]=g(3)=1;

g[f(3)]=g

(1)=3,故选C.

7.若函数f(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则a等于()

A.B.

C.D.2

[答案]D

[解析]∵0≤x≤1,∴1≤x+1≤2,

又∵0≤loga(x+1)≤1,故a>1,且loga2=1,∴a=2.

8.(文)(2010·天津文)设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=,则f(x)的值域是()

A.∪(1,+∞)B.[0,+∞)

C.D.∪(2,+∞)

[答案]D

[解析]由题意可知f(x)=

1°当x<-1或x>2时,f(x)=x2+x+2=2+

由函数的图可得f(x)∈(2,+∞).

2°当-1≤x≤2时,f(x)=x2-x-2=2-,

故当x=时,f(x)min=f=-,

当x=-1时,f(x)max=f(-1)=0,

∴f(x)∈.

综上所述,该分段函数的值域为∪(2,+∞).

(理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=

,则f(2010)的值为()

A.-1B.0

C.1D.2

[答案]B

[解析]f(2010)=f(2009)-f(2008)=(f(2008)-f(2007))-f(2008)=-f(2007),同理f(2007)=-f(2004),∴f(2010)=f(2004),

∴当x>0时,f(x)以6为周期进行循环,

∴f(2010)=f(0)=log21=0.

9.(文)对任意两实数a、b,定义运算“*”如下:

a*b=函数f(x)=log(3x-2)*log2x的值域为()

A.(-∞,0)B.(0,+∞)

C.(-∞,0]D.[0,+∞)

[答案]C

[解析]∵a*b=而函数f(x)=log(3x-2)与log2x的大致图象如右图所示,

∴f(x)的值域为(-∞,0].

(理)定义max{a、b、c}表示a、b、c三个数中的最大值,f(x)=max{x,x-2,log2x(x>0)},则f(x)的最小值所在范围是()

A.(-∞,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,3)

[答案]C

[解析]在同一坐标系中画出函数y=x,y=x-2与y=log2x的图象,y=x与y=log2x图象的交点为A(x1,y1),y=x-2与y=log2x图象的交点为B(x2,y2),则由f(x)的定义知,当x≤x1时,f(x)=x,当x1

∴f(x)的最小值在A点取得,∵0

10.(文)(2010·江西吉安一中)如图,已知四边形ABCD在映射f:

(x,y)→(x+1,2y)作用下的象集为四边形A1B1C1D1,若四边形A1B1C1D1的面积是12,则四边形ABCD的面积是

()

A.9B.6

C.6D.12

[答案]B

[解析]本题考察阅读理解能力,由映射f的定义知,在f作用下点(x,y)变为(x+1,2y),∴在f作用下|A1C1|=|AC|,|B1D1|=2|BD|,且A1、C1仍在x轴上,B1、D1仍在y轴上,故SABCD=|AC|·|BD|=|A1C1|·|B1D1|=SA1B1C1D1=6,故选B.

(理)设函数f(x)=,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为()

A.1B.2

C.3D.4

[答案]C

[解析]解法1:

当x≤0时,f(x)=x2+bx+c.

∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2,

∴,解得,

∴f(x)=,

当x≤0时,由f(x)=x得,x2+4x+2=x,

解得x=-2,或x=-1;

当x>0时,由f(x)=x得,x=2,

∴方程f(x)=x有3个解.

解法2:

由f(-4)=f(0)且f(-2)=-2可得,f(x)=x2+bx+c的对称轴是x=-2,且顶点为(-2,-2),于是可得到f(x)的简图如图所示.方程f(x)=x的解的个数就是函数图象y=f(x)与y=x的图象的交点的个数,所以有3个解.

二、填空题

11.(文)(2010·北京东城区)函数y=+lg(2-x)的定义域是________.

[答案][-1,2)

[解析]由得,-1≤x<2.

(理)函数f(x)=+的最大值与最小值的比值为________.

[答案]

[解析]∵,∴0≤x≤4,f2(x)=4+2≤4+[x+(4-x)]=8,且f2(x)≥4,

∵f(x)≥0,∴2≤f(x)≤2,故所求比值为.

[点评]

(1)可用导数求解;

(2)∵0≤x≤4,∴0≤≤1,故可令=sin2θ(0≤θ≤)转化为三角函数求解.

12.函数y=x∈[0,π]的值域为________.

[答案]

[解析]函数表示点(sinα,cosα)与点(2,1)连线斜率.而点(sinα,cosα)α∈[0,π]表示单位圆右半部分,由几何意义,知y∈[0,].

13.(2010·湖南湘潭市)在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数f(x)的图象恰好通过n(n∈N*)个整点,则称函数f(x)为n阶整点函数,有下列函数

①f(x)=sin2x②g(x)=x3③h(x)=x

④φ(x)=lnx.

其中是一阶整点函数的是________.(写出所有正确结论的序号)

[答案]①④

[解析]其中①只过(0,0)点,④只过(1,0)点;②过(0,1),(1,1),(2,8)等,③过(0,1),(-1,3)等.

14.(文)若f(a+b)=f(a)·f(b)且f

(1)=1,则++…+=________.

[答案]2011

[解析]令b=1,则=f

(1)=1,

∴++…+=2011.

(理)设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列命题:

①b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实数根;

②c=0时,y=f(x)是奇函数;

③方程f(x)=0至多有两个实根.

上述三个命题中所有的正确命题的序号为________.

[答案]①②

[解析]①f(x)=x|x|+c

=,

如右图与x轴只有一个交点.

所以方程f(x)=0只有一个实数根正确.

②c=0时,f(x)=x|x|+bx显然是奇函数.

③当c=0,b<0时,f(x)=x|x|+bx=

如右图方程f(x)=0可以有三个实数根.

综上所述,正确命题的序号为①②.

三、解答题

15.(文)(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120吨,(0≤t≤24).

(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?

最少水量是多少吨?

(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象.

[解析]

(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨,

则y=400+60t-120(0≤t≤24)

令=x,则x2=6t且0≤x≤12,

∴y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40(0≤x≤12);

∴当x=6,即t=6时,ymin=40,

即从供水开始到第6小时时,蓄水池水量最少,只有40吨.

(2)依题意400+10x2-120x<80,

得x2-12x+32<0,

解得4

∵-=8,∴每天约有8小时供水紧张.

(理)某物流公司购买了一块长AM=30米,宽AN=20米的矩形地块AMPN,规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C在地块对角线MN上,B、D分别在边AM、AN上,假设AB长度为x米.

(1)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米,AB长度应在什么范围内?

(2)若规划建设的仓库是高度与AB长度相同的长方体形建筑,问AB长度为多少时仓库的库容最大?

(墙体及楼板所占空间忽略不计)

[解析]

(1)依题意得三角形NDC与三角形NAM相似,所以=,即=,AD=20-x,

矩形ABCD的面积为S=20x-x2(0

要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米,

即20x-x2≥144,

化简得x2-30x+216≤0,解得12≤x≤18.

所以AB长度应在[12,18]内.

(2)仓库体积为V=20x2-x3(0

V′=40x-2x2=0得x=0或x=20,

当00,当20

所以x=20时,V取最大值m3,

即AB长度为20米时仓库的库容最大.

16.(2010·皖南八校联考)对定义域分别是Df,Dg的函数y=f(x),y=g(x),规定:

函数h(x)=

(1)若函数f(x)=,g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式;

(2)求问题

(1)中函数h(x)的值域;

(3)若g(x)=f(x+α),其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.

[解析]

(1)由定义知,

h(x)=

(2)由

(1)知,当x≠1时,h(x)=x-1++2,

则当x>1时,有h(x)≥4(当且仅当x=2时,取“=”);

当x<1时,有h(x)≤0(当且仅当x=0时,取“=”).

则函数h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞).

(3)可取f(x)=sin2x+cos2x,α=,则g(x)=f(x+α)=cos2x-sin2x,

于是h(x)=f(x)f(x+α)=cos4x.

(或取f(x)=1+sin2x,α=,则g(x)=f(x+α)=1-sin2x.于是h(x)=f(x)f(x+α)=cos4x).

[点评]本题中

(1)、

(2)问不难求解,关键是读懂h(x)的定义,第(3)问是一个开放性问题,乍一看可能觉得无从下手,但细加观察不难发现,cos4x=cos22x-sin22x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)积式的一个因式取作f(x),只要能够找到α,使f(x+α)等于另一个因式也就找到了f(x)和g(x).

17.(文)某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图所示:

该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如表所示:

第t天

5

15

20

30

Q(件)

35

25

20

10

(1)根据提供的图象,写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式;

(2)在所给直角坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(t,Q)的对应点,并确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式;

(3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?

(日销售金额=每件的销售价格×日销售量)

[解析]

(1)P=

(2)图略,Q=40-t(t∈N*)

(3)设日销售金额为y(元),

则y=

若0

则当t=10时,ymax=900;

若25≤t≤30(t∈N*),

则当t=25时,ymax=1125.

由1125>900,知ymax=1125,

∴这种商品日销售金额的最大值为1125元,30天中的第25天的日销售金额最大.

(理)(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因,长期只能在当地销售,当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持,已知每投入x万元,可获得纯利润P=-(x-40)2+100万元(已扣除投资,下同),当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售,其规划方案为:

在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资,其中在前5年中,每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路,公路5年建成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的5年中,该特产既在本地销售,也在外地销售,在外地销售的投资收益为:

每投入x万元,可获纯利润Q=-(60-x)2+·(60-x)万元,问仅从这10年的累积利润看,该规划方案是否可行?

[解析]在实施规划前,由题设P=-(x-40)2+100(万元),知每年只需投入40万,即可获得最大利润100万元,则10年的总利润为W1=100×10=1000(万元)

实施规划后的前5年中,由题设P=-(x-40)2+100知,每年投入30万元时,有最大利润Pmax=(万元)

前5年的利润和为×5=(万元)

设在公路通车的后5年中,每年用x万元投资于本地的销售,而剩下的(60-x)万元用于外地区的销售投资,

则其总利润为

W2=[-(x-40)2+100]×5+(-x2+x)×5=-5(x-30)2+4950.

当x=30时,W2=4950(万元)为最大值,

从而10年的总利润为+4950(万元).

∵+4950>1000,

∴该规划方案有极大实施价值.

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