人教版高中数学高考总复习函数概念习题及详解及参考答案.docx
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人教版高中数学高考总复习函数概念习题及详解及参考答案
人教版高中数学高考总复习函数概念习题及详解及参考答案
（附参考答案）
一、选择题
1．（文）（2010·浙江文）已知函数f（x）＝log2（x＋1），若f（a）＝1，则a＝（）
A．0B．1
C．2D．3
[答案]B
[解析]由题意知，f（a）＝log2（a＋1）＝1，∴a＋1＝2，
∴a＝1.
（理）（2010·广东六校）设函数f（x）＝，则满足f（x）＝4的x的值是
（）
A．2B．16
C．2或16D．－2或16
[答案]C
[解析]当f（x）＝2x时.2x＝4，解得x＝2.
当f（x）＝log2x时，log2x＝4，解得x＝16.
∴x＝2或16.故选C.
2．（文）（2010·湖北文，3）已知函数f（x）＝，则f（f（））＝（）
A．4B.
C．－4D．－
[答案]B
[解析]∵f（）＝log3＝－2<0
∴f（f（））＝f（－2）＝2－2＝.
（理）设函数f（x）＝，若f（x0）>1，则x0的取值范围是（）
A．（－∞，0）∪（10，＋∞）
B．（－1，＋∞）
C．（－∞，－2）∪（－1,10）
D．（0,10）
[答案]A
[解析]由或⇒x0<0或x0>10.
3．（2010·天津模拟）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f（x）＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有（）
A．7个B．8个
C．9个D．10个
[答案]C
[解析]由x2＝1得x＝±1，由x2＝4得x＝±2，故函数的定义域可以是{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1,2，－1}，{1,2，－2}，{1，－2，－1}，{－1,2，－2}和{－1，－2,1,2}，故选C.
4．（2010·柳州、贵港、钦州模拟）设函数f（x）＝，函数y＝g（x）的图象与y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，则g
（1）等于（）
A．－B．－1
C．－D．0
[答案]D
[解析]设g
（1）＝a，由已知条件知，f（x）与g（x）互为反函数，∴f（a）＝1，即＝1，∴a＝0.
5．（2010·广东六校）若函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝f（1－x）的图象大致为（）
[答案]A
[解析]解法1：
y＝f（－x）的图象与y＝f（x）的图象关于y轴对称．将y＝f（－x）的图象向右平移一个单位得y＝f（1－x）的图象，故选A.
解法2：
由f（0）＝0知，y＝f（1－x）的图象应过（1,0）点，排除B、C；由x＝1不在y＝f（x）的定义域内知，y＝f（1－x）的定义域应不包括x＝0，排除D，故选A.
6．（文）（2010·广东四校）已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表，填写下列g（f（x））的表格，其三个数依次为（）
x
1
2
3
f（x）
2
3
1
x
1
2
3
g（x）
1
3
2
x
1
2
3
g（f（x））
A.3,1,2B．2,1,3
C．1,2,3D．3,2,1
[答案]D
[解析]由表格可知，f
（1）＝2，f
（2）＝3，f（3）＝1，g
（1）＝1，g
（2）＝3，g（3）＝2，
∴g（f
（1））＝g
（2）＝3，g（f
（2））＝g（3）＝2，g（f（3））＝g
（1）＝1，
∴三个数依次为3,2,1，故选D.
（理）（2010·山东肥城联考）已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：
x
1
2
3
f（x）
2
3
1
x
1
2
3
g（x）
3
2
1
则方程g[f（x）]＝x的解集为（）
A．{1}B．{2}
C．{3}D．∅
[答案]C
[解析]g[f
（1）]＝g
（2）＝2，g[f
（2）]＝g（3）＝1；
g[f（3）]＝g
（1）＝3，故选C.
7．若函数f（x）＝loga（x＋1）（a>0且a≠1）的定义域和值域都是[0,1]，则a等于（）
A.B.
C.D．2
[答案]D
[解析]∵0≤x≤1，∴1≤x＋1≤2，
又∵0≤loga（x＋1）≤1，故a>1，且loga2＝1，∴a＝2.
8．（文）（2010·天津文）设函数g（x）＝x2－2（x∈R），f（x）＝，则f（x）的值域是（）
A.∪（1，＋∞）B．[0，＋∞）
C.D.∪（2，＋∞）
[答案]D
[解析]由题意可知f（x）＝
1°当x<－1或x>2时，f（x）＝x2＋x＋2＝2＋
由函数的图可得f（x）∈（2，＋∞）．
2°当－1≤x≤2时，f（x）＝x2－x－2＝2－，
故当x＝时，f（x）min＝f＝－，
当x＝－1时，f（x）max＝f（－1）＝0，
∴f（x）∈.
综上所述，该分段函数的值域为∪（2，＋∞）．
（理）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝
，则f（2010）的值为（）
A．－1B．0
C．1D．2
[答案]B
[解析]f（2010）＝f（2009）－f（2008）＝（f（2008）－f（2007））－f（2008）＝－f（2007），同理f（2007）＝－f（2004），∴f（2010）＝f（2004），
∴当x>0时，f（x）以6为周期进行循环，
∴f（2010）＝f（0）＝log21＝0.
9．（文）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：
a*b＝函数f（x）＝log（3x－2）*log2x的值域为（）
A．（－∞，0）B．（0，＋∞）
C．（－∞，0]D．[0，＋∞）
[答案]C
[解析]∵a*b＝而函数f（x）＝log（3x－2）与log2x的大致图象如右图所示，
∴f（x）的值域为（－∞，0]．
（理）定义max{a、b、c}表示a、b、c三个数中的最大值，f（x）＝max{x，x－2，log2x（x>0）}，则f（x）的最小值所在范围是（）
A．（－∞，－1）B．（－1,0）
C．（0,1）D．（1,3）
[答案]C
[解析]在同一坐标系中画出函数y＝x，y＝x－2与y＝log2x的图象，y＝x与y＝log2x图象的交点为A（x1，y1），y＝x－2与y＝log2x图象的交点为B（x2，y2），则由f（x）的定义知，当x≤x1时，f（x）＝x，当x1∴f（x）的最小值在A点取得，∵010．（文）（2010·江西吉安一中）如图，已知四边形ABCD在映射f：
（x，y）→（x＋1,2y）作用下的象集为四边形A1B1C1D1，若四边形A1B1C1D1的面积是12，则四边形ABCD的面积是
（）
A．9B．6
C．6D．12
[答案]B
[解析]本题考察阅读理解能力，由映射f的定义知，在f作用下点（x，y）变为（x＋1,2y），∴在f作用下|A1C1|＝|AC|，|B1D1|＝2|BD|，且A1、C1仍在x轴上，B1、D1仍在y轴上，故SABCD＝|AC|·|BD|＝|A1C1|·|B1D1|＝SA1B1C1D1＝6，故选B.
（理）设函数f（x）＝，若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为（）
A．1B．2
C．3D．4
[答案]C
[解析]解法1：
当x≤0时，f（x）＝x2＋bx＋c.
∵f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，
∴，解得，
∴f（x）＝，
当x≤0时，由f（x）＝x得，x2＋4x＋2＝x，
解得x＝－2，或x＝－1；
当x>0时，由f（x）＝x得，x＝2，
∴方程f（x）＝x有3个解．
解法2：
由f（－4）＝f（0）且f（－2）＝－2可得，f（x）＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－2，且顶点为（－2，－2），于是可得到f（x）的简图如图所示．方程f（x）＝x的解的个数就是函数图象y＝f（x）与y＝x的图象的交点的个数，所以有3个解．
二、填空题
11．（文）（2010·北京东城区）函数y＝＋lg（2－x）的定义域是________．
[答案][－1,2）
[解析]由得，－1≤x<2.
（理）函数f（x）＝＋的最大值与最小值的比值为________．
[答案]
[解析]∵，∴0≤x≤4，f2（x）＝4＋2≤4＋[x＋（4－x）]＝8，且f2（x）≥4，
∵f（x）≥0，∴2≤f（x）≤2，故所求比值为.
[点评]
（1）可用导数求解；
（2）∵0≤x≤4，∴0≤≤1，故可令＝sin2θ（0≤θ≤）转化为三角函数求解．
12．函数y＝x∈[0，π]的值域为________．
[答案]
[解析]函数表示点（sinα，cosα）与点（2,1）连线斜率．而点（sinα，cosα）α∈[0，π]表示单位圆右半部分，由几何意义，知y∈[0，]．
13．（2010·湖南湘潭市）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f（x）的图象恰好通过n（n∈N*）个整点，则称函数f（x）为n阶整点函数，有下列函数
①f（x）＝sin2x②g（x）＝x3③h（x）＝x
④φ（x）＝lnx.
其中是一阶整点函数的是________．（写出所有正确结论的序号）
[答案]①④
[解析]其中①只过（0,0）点，④只过（1,0）点；②过（0,1），（1,1），（2,8）等，③过（0,1），（－1,3）等．
14．（文）若f（a＋b）＝f（a）·f（b）且f
（1）＝1，则＋＋…＋＝________.
[答案]2011
[解析]令b＝1，则＝f
（1）＝1，
∴＋＋…＋＝2011.
（理）设函数f（x）＝x|x|＋bx＋c，给出下列命题：
①b＝0，c>0时，方程f（x）＝0只有一个实数根；
②c＝0时，y＝f（x）是奇函数；
③方程f（x）＝0至多有两个实根．
上述三个命题中所有的正确命题的序号为________．
[答案]①②
[解析]①f（x）＝x|x|＋c
＝，
如右图与x轴只有一个交点．
所以方程f（x）＝0只有一个实数根正确．
②c＝0时，f（x）＝x|x|＋bx显然是奇函数．
③当c＝0，b<0时，f（x）＝x|x|＋bx＝
如右图方程f（x）＝0可以有三个实数根．
综上所述，正确命题的序号为①②.
三、解答题
15．（文）（2010·深圳九校）某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨，（0≤t≤24）．
（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？
最少水量是多少吨？
（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．
[解析]
（1）设t小时后蓄水池中的水量为y吨，
则y＝400＋60t－120（0≤t≤24）
令＝x，则x2＝6t且0≤x≤12，
∴y＝400＋10x2－120x＝10（x－6）2＋40（0≤x≤12）；
∴当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，
即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨．
（2）依题意400＋10x2－120x<80，
得x2－12x＋32<0，
解得4∵－＝8，∴每天约有8小时供水紧张．
（理）某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在边AM、AN上，假设AB长度为x米．
（1）要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，AB长度应在什么范围内？
（2）若规划建设的仓库是高度与AB长度相同的长方体形建筑，问AB长度为多少时仓库的库容最大？
（墙体及楼板所占空间忽略不计）
[解析]
（1）依题意得三角形NDC与三角形NAM相似，所以＝，即＝，AD＝20－x，
矩形ABCD的面积为S＝20x－x2（0要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，
即20x－x2≥144，
化简得x2－30x＋216≤0，解得12≤x≤18.
所以AB长度应在[12,18]内．
（2）仓库体积为V＝20x2－x3（0V′＝40x－2x2＝0得x＝0或x＝20，
当00，当20所以x＝20时，V取最大值m3，
即AB长度为20米时仓库的库容最大．
16．（2010·皖南八校联考）对定义域分别是Df，Dg的函数y＝f（x），y＝g（x），规定：
函数h（x）＝
（1）若函数f（x）＝，g（x）＝x2，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题
（1）中函数h（x）的值域；
（3）若g（x）＝f（x＋α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y＝f（x），及一个α的值，使得h（x）＝cos4x，并予以证明．
[解析]
（1）由定义知，
h（x）＝
（2）由
（1）知，当x≠1时，h（x）＝x－1＋＋2，
则当x>1时，有h（x）≥4（当且仅当x＝2时，取“＝”）；
当x<1时，有h（x）≤0（当且仅当x＝0时，取“＝”）．
则函数h（x）的值域是（－∞，0]∪{1}∪[4，＋∞）．
（3）可取f（x）＝sin2x＋cos2x，α＝，则g（x）＝f（x＋α）＝cos2x－sin2x，
于是h（x）＝f（x）f（x＋α）＝cos4x.
（或取f（x）＝1＋sin2x，α＝，则g（x）＝f（x＋α）＝1－sin2x.于是h（x）＝f（x）f（x＋α）＝cos4x）．
[点评]本题中
（1）、
（2）问不难求解，关键是读懂h（x）的定义，第（3）问是一个开放性问题，乍一看可能觉得无从下手，但细加观察不难发现，cos4x＝cos22x－sin22x＝（cos2x＋sin2x）（cos2x－sin2x）积式的一个因式取作f（x），只要能够找到α，使f（x＋α）等于另一个因式也就找到了f（x）和g（x）．
17．（文）某种商品在30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系如图所示：
该商品在30天内日销售量Q（件）与时间t（天）之间的关系如表所示：
第t天
5
15
20
30
Q（件）
35
25
20
10
（1）根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
（2）在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对（t，Q）的对应点，并确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式；
（3）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？
（日销售金额＝每件的销售价格×日销售量）
[解析]
（1）P＝
（2）图略，Q＝40－t（t∈N*）
（3）设日销售金额为y（元），
则y＝
＝
若0则当t＝10时，ymax＝900；
若25≤t≤30（t∈N*），
则当t＝25时，ymax＝1125.
由1125>900，知ymax＝1125，
∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大．
（理）（2010·广东六校）某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入x万元，可获得纯利润P＝－（x－40）2＋100万元（已扣除投资，下同），当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：
在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：
每投入x万元，可获纯利润Q＝－（60－x）2＋·（60－x）万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？
[解析]在实施规划前，由题设P＝－（x－40）2＋100（万元），知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W1＝100×10＝1000（万元）
实施规划后的前5年中，由题设P＝－（x－40）2＋100知，每年投入30万元时，有最大利润Pmax＝（万元）
前5年的利润和为×5＝（万元）
设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而剩下的（60－x）万元用于外地区的销售投资，
则其总利润为
W2＝[－（x－40）2＋100]×5＋（－x2＋x）×5＝－5（x－30）2＋4950.
当x＝30时，W2＝4950（万元）为最大值，
从而10年的总利润为＋4950（万元）．
∵＋4950>1000，
∴该规划方案有极大实施价值．
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