微分方程2.docx

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微分方程2

常微分方程数值解法

§1引言

§2欧拉法和改进的欧拉法

§3龙格-库塔法

§4阿当姆斯方法

§1引言

在高等数学里我们已经接触过常微分方程，对于一些典型的常微分方程，有求解析解的基本方法，但多数情况下，遇到的问题比较复杂，此时，只能利用近似方法求解，一般有两种近似方法。

实际求解的常微分方程，大多是定解问题┉┉满足指定条件的特解

本章讨论常微分方程，数值解的最简单问题┉┉一阶方程初值问题，即函数f（x）满足下列微分方程和初值条件：

在几何问题是（6-1）表现为一簇曲线，称（6-1）的积分曲线，初值问题（6-1）（6-2）就是要求一条过（x0,y0）的积分曲线

方程的精确解y（x）称为积分曲线。

方程是否有解，解是否唯一？

定理1对初值问题（6-1）（6-2），若f（x,y）在区域G={a≤x≤b,|y|＜∞}

内连续，且关于y满足李普希兹条件，即存在常数L，使|f（x,y1）-f（x,y2）|≤L|y1-y2|（6-3）

对G中任意两个y1,y2均成立，其中L是与x,y无关的常数，则初值问题（6-1）（6-2）在（a,b）内存在唯一解，且解是连续可微的。

设f（x，y）在带形区域R：

｛a≤x≤b，-∞＜y＜+∞｝上为x，y的连续函数，且对任意的y满足李普希茨（Libusize）条件

｜f（x，y1）-f（x，y2）｜≤L｜y1-y2｜

其中（x，y1）、（x，y2）∈R，L为正常数。

在求初值问题（6-1）（6-2）的数值解时，我们通常采用离散化方法，求在自变量x的离散点a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b

上的准确解y（x）的近似值

y0，y1，y2，…，yn

常取离散点x0，x1，x2，…，xn为等距，即