任意角的概念与弧度制教案.docx
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任意角的概念与弧度制教案
课
程
数学
第7早
第节任意角的概念
授课时数
2
授课方法
讲授法
授课时间
授课班级
海乘1601/轮机1601
教学目的
知识目标：
⑴了解角的概念推广的实际背景意义；
⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念.能力目标：
（1）会判断角所在的象限；
（2）会求指定范围内与已知角终边相冋的角；
（3）培养观察能力和计算技能.
教学重点和难点
重点：
终边相同角的概念.
难点：
终边相冋角的表示和确疋.
复习提问与作业布置
P6练习2预习
教学思路、方法、手段
（1）以丰富的生活实例为引例，引入学习新概念一一角的推广；
（2）在演示一一观察一一思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角；
（3）在练习一一讨论中深化、巩固知识，培养能力；
（4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法.
教学备品
教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）
【教学过程】
教学
过程
*揭示课题
任意角的概念与弧度制
*创设情景兴趣导入
问题1
游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈•那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢问题2
用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到
OB位置时，就形成一个角；在扳手由OA逆时针旋转一周
的过程中，就形成了0。
到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于的角•如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按
顺时针方向旋转，形成与上述方向的角.
归纳
通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广.
教师
行为
介绍
质疑
提问
说明
总结
*动脑思考探索新知
概念
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点
O,按逆时针
（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角
.旋转开始
说明
位置的射线OA叫角的始边，终止位置的射线
OB叫做角
的终边，端点O叫做角的顶点.
规定：
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图
（1））,
按顺时针方向旋转所形成的角叫做
负角（如图
（2））.当射线
仔细
没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做
零角.
分析
讲解
关键
占
八、、
学生
行为
了解
思考
求解
讨论
交流
理解
思考
理解
教学
意图
利用
实际
问题
引起
学生
的好
奇心
和求
知欲
生活
实例
有助
于学
生理
解角
的推
广的
意义
结合
图形
讲解
角的
图形
可以
加入
学生
的举
10
教
学
时
过
程
间
明确
明确
（1）
完成
角
表示
以引
导学
生
步步
自然
得出
角
30
3地
30
教师
教学
学生
意图
行为
行为
引导
记忆
角的
类型
强调
角的
推广
象限
引导
领会
角可
或“/O”外，本章中经常用小写希腊字母
、L来
表示角.
概念
观察
展示
数学中经常在平面直角坐标系中研究角•将角的顶点与坐
几象限，就把这个角叫做第几象限的角（或者说这个角在第几
象限）.
强调
60°300°都是第四象限的
特殊
强调
情况
理解
终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°90°180°
270°360°90°270角等都是界限角.
练习7-1
1•在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象
限的角:
类型
经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零
二象限的角，120°是第三象限的角,
*运用知识强化练习
标原点重合，角的始边在x轴的正半轴，此时，角的终边在第
如图所示，30°390°330。
都是第一象限的角，120°是第
除了使用角的顶点与边的字母表示角，将角记为“/AOB”
提问
思考
反馈
学习
巡视
动手
状态
求解
巩固
指导
教学
教师
学生
教学
时
过程
行为
行为
意图
间
⑴60;°⑵210;°⑶225;°⑷300/
交流
知识
40
*动手操作实验观察
用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，
演示
动手
将另一根先转动到OB的位置，然后再按照顺时针方向或逆时
操作
操作
针方向转动，观察木条重复转到OB的位置时所形成角的特征.
由具
*问题引导实践探究
体的
问题
质疑
思考
问题
在直角坐标系中作出390°330°和30°角，这些角的终边
实际
有何关系
提问
求解
操作
探究
引导
390°30°1X360°330°30+（-1）X360.°
学生
引导
领会
即390°330°与30°角之差都是360°角的整数倍数，它们
.rH.步
是射线绕坐标原点旋转到30°角的终边位置后，分别继续按逆
步的
时针或顺时针方向再旋转一周所形成的角.
体会
推广
分析
理解
终边
与30°角终边相同的角还有：
相同
750°30°2X360°-690=30+（-2）X360;°
角的
1110°30°3X360°-1050=30+（-3）X360;°
含义
讲解
自然
所有与30。
角终边相同的角的度数，与30角的度数之差都
得出
恰好为360°的整数倍数•它们（包括30°角）都可以表示为
明确
结论
30°k360°kZ）的形式.因此，与30。
角终边相同的角的
总结
集合为S{130°k360o,kZ}.
50
*动脑思考探索新知
一般地，与角终边相冋的角（包括角在内），都可以
说明
理解
强调
概念
表示为k360°（kZ）的形式.
的关
与角终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为
强调
记忆
键点
S{|k360°,kZ}.
55
*巩固知识典型例题
例1写出与下列各角终边相冋的角的集合，并把其中在
教学
教师
学生
教学
时
过程
行为
行为
意图
间
360°
〜720内的角写出来：
⑴60；⑵
114°26'
质疑
观察
安排
分析
首先要写出与已知角终边相冋的角的集合
S,然后选取
与知
识点
整数
k的值，使得k360°在指定的范围内.
说明
思考
对应
解
⑴与60°角终边相同的角的集合是
的例
{|60°k360°,kZ}.
讲解
主动
题巩
固新
当
ik1时，60°
（1）360°300°;
当k0时，
求解
知
60o
0360°60°;当k1时，60°1360°
420°.所以在
360°
〜720之间与60。
角终边相同的角为300°、
60°和420°.
⑵与114°角终边相同的角的集合是
说明
思考
计算
S{|114°26k360°,kZ
}.
部分
可以
当k0时，114°260360°114°26
引领
教给
理解
当k1时，114°261360°245°34；
学生
完成
当k2时，114°262360°605°34.
所以在360°〜720°之间与114°26角终边相同的角为
114°26、245°34和605°34.
分析
领会
利用
例2
写出终边在y轴上的角的集合.
观察
分析
在0°〜360°范围内，终边在y轴正半轴上的角为90°
图像
终边在y轴负半轴上的角为270,因此，终边在
y轴正半轴、
总结
求解
加强
负半轴上所有的角分别是
问题
k360902k18090,
的理
k360270（2k1）18090,
讲解
理解
解
其中
kZ.⑴式等号右边表示180°的偶数倍再加上90°
（2）
工式^等
号右边表示180°的奇数倍再加上90°可以将它们合并为
180。
的整数倍再加上90°
强调
教学
过程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
解终边在y轴上的角的集合是
引领
明确
规范
写法
S{|n180°90°
n
Z}.
当n取偶数时，角的终边在y轴正半轴上；
当n取奇数时，
角的终边在y轴负半轴上.
70
*运用知识强化练习
1.教材练习在0。
〜360范围内，找出与下列各角终边相同的
提问
思考
及时
角，并指出它们是哪个象限的角：
了解
⑴405;°⑵165°⑶1563;°
⑷5421°
巡视
动手
学生
2.写出与下列各角终边相同的角的集合，
并把其中在360°
求解
知识
360范围内的角写出来：
掌握
⑴45;°⑵55;°⑶220°45'
⑷
1330.°
指导
交流
情况
80
*归纳小结强化思想
培养
本次课学了哪些内容重点和难点各是什么
引导
回忆
学生
总结
*自我反思目标检测
反思
本次课米用了怎样的学习方法
提问
反思
学习
你是如何进行学习的
交流
过程
你的学习效果如何
能力
85
*继续探索活动探究
（1）读书部分：
教材章节；
（2）书面作业：
；练习；
（3）实践调查：
生活中角的概念的推广实例.
说明
记录
90
课
程
数学
第7章
第节弧度制
授课时数
2
授课方法
讲授法
授课时间
授课班级
海乘1601/轮机1601
教学目的
知识目标：
⑴理解弧度制的概念；
⑵理解角度制与弧度制的换算关系•
能力目标：
（1）会进行角度制与弧度制的换算；
（2）会利用计算器进行角度制与弧度制的换算；
（3）培养学生的计算技能与计算工具使用技能.
教学重点和难点
重点：
弧度制的概念，弧度与角度的换算.难点：
弧度制的概念.
复习提问与作业布置
P6练习2预习
教学思路、方法、手段
（1）由问题引入弧度制的概念；
（2）通过观察一一探究，明晰弧度制与角度制的换算关系；
（3）在练习一一讨论中，深化、巩固知识，培养计算技能；
（4）在操作一一实践中，培养计算工具使用技能；
（5）结合实例了解知识的应用.
教学备品
教学课件
【教学过程】
教师学生教学
过程
*揭示课题
.2弧度制
*回顾知识复习导入
问题
角是如何度量的角的单位是什么
解决
将圆周的1圆弧所对的圆心角叫做1度角，记作1
360
1度等于60分（1°=60,'1分等于60秒（1'=60,以度为单位来度量角的单位制叫做角度制.
扩展一
计算：
23°35'26〃+31°40'43〃
角度制下，计算两个角的加、减运算时，经常会带来单位换算上的麻烦.能否重新设计角的单位制，使两角的加、减运
算像10进位制数的加、减运算那样简单呢
*动脑思考探索新知
概念
将等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作
1弧度或1rad.以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
若圆的半径为r，圆心角/AOB所对的圆弧长为2r，那么/AOB的大小就是2r弧度2弧度•
r
规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角
的弧度数为零.
分析
由定义知道，角的弧度数的绝对值等于圆弧长I与半径
r的比，即II丄（rad）.
r
半径为r的圆的周长为2n，故周角的弧度数为
行为行为意图
介绍
质疑
引领
讲解
说明
了解
思考
明确
利用复习角度制为新知识的
学习
做好思考
铺垫
了解
说明理解
记忆
举例
仔细领会
分析
讲解
关键
弧度概念较为抽象讲解时注重分析关键点弧长与角的对应关系
教学
教师
学生
教学
时
过程
行为
行为
意图
间
2nz.、小“’
占
八、、
（rad）2n「ad）-
r
强调
由此得到两种单位制之间的换算关系：
换算
360°2nrad，即180°nrad.
归纳
的方
换算公式
明确
法引
J,on
1=—（rad）0.01745rad
领学
180
180
1rad（）57.35718•
n
生加
强记
说明
忆
1.用弧度制表示角的大小时，在不至于产生误解的情况
下，通常可以省略单位弧度"或"rad的书写.例如，1rad,2rad,
强调
简单
n.…n
说明
了解
说明
一rad，可以分别写作1,2，一.
22
对应
2•采用弧度制以后，每一个角都对应唯一的一个实数；
关系
反之，每一个实数都对应唯一的一个角•于是，在角的集合与
20
实数集之间，建立起了对应的关系.
*巩固知识典型例题
例1把下列各角度换算为弧度（精确到0.001）:
说明
思考
利用
⑴15;°⑵8°;30'⑶100:
分析角度制换算为弧度制利用公式1°=n（rad）001745rad.
例题
180
强化
解⑴1515——0.262°
强调
理解
换算
18012
公式
/n\n17n•
⑵8308.58.5——0.148°
方法
180360
⑶100100—5n1.745.
1809
例2把下列各弧度换算为角度（精确到1'）:
讲解
求解
计算
⑴3n°⑵；⑶.
方面
可由
5
分析弧度制换算角度制利用公式1rad（^80）57.35718•
n
分析
领会
学生
解⑴3n3n匹亠108。
；
55n
引领
计算
自我
主动
教
过
学
程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
/q\180378•
⑵2.12.112019；
求解
完成
nn
30
◎180630
⑶3.5
20032.
nn
*运用知识强化练习
教材练习把下列各角从角度化为弧度（口答）
:
及时
180°；90°；
45°；
15°
；
提问
思考
了解
60°；30°；
120°；
270°
学生
知识
2.把下列各角从弧度化为角度
（口答）：
n
n•一・
n
n
掌握
2
4
8
；
情况
2nn
n
n
巡视
动手
33
6
12
求解
3.把下列各角从角度化为弧度
⑴75；°⑵240°
⑶105；°
⑷67°
.30'
纠错
4.把下列各角从弧度化为角度
答疑
⑴—；⑵匕；
155
⑶乞•
3'
⑷
6n.
指导
交流
40
*自我探索使用工具
培养
准备计算器.
质疑
小组
使用
观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书，小组完成
讨论
计算
计算器弧度与角度转换的方法.
巡视
探究
器能
利用计算器，验证计算例题
1与例题2
汇总
力
50
*巩固知识典型例题
例3某机械米用带传动，由发动机的王动轴带看丄作机的从
动轮转动.设主动轮A的直径为100mm,
从动轮B的直径为
质疑
观察
安排
280mm.问：
主动轮A旋转360°,从动轮
B旋转的角是多少
实际
（精确到1'）
问题
解主动轮A旋转360°就是-
-周，
使学
说明
思考
生了
所以，传动带转过的长度为
nX100=
100n（mm）
再考虑从动轮，传动带紧贴着从动轮B转过100n（mm）的
讲解
主动
解弧
教师
行为
学生教学
行为意图
长度，那么，应用公式1，从动轮B转过的角就等于
r
1005°，
12834-
1407
答从动轮旋转5n用角度表示约为128°34'.
7
求解度制
应用
例4如下图，求公路弯道部分AB的长I（精确到0.1m•图
中长度单位：
m）.
分析知道圆心角和半径，求弧长时，要首先将圆心角换算为
弧度制.
解60°角换算为n弧度，因此
3
IRn453.1421547.1（m）.
113
答弯道部分AB的长I约为m.
说明
提问
引领
介绍
分析明确
思考
重点
分析
题目
中各理解
数据
的处
讨论
计算
部分
交给
求解学生
完成
65
*运用知识强化练习
教材练习填空：
⑴若扇形的半径为10cm，圆心角为60；则该扇形的弧长
I，扇形面积S
⑵已知1的圆心角所对的弧长为1m，那么这个圆的半径是m.
2•自行车行进时，车轮在1min内转过了96圈•若车轮的半径为，则自行车1小时前进了多少米（精确到1m）
提问
巡视
指导
思考
动手
求解
交流
*归纳小结强化思想
本次课学了哪些内容重点和难点各是什么
*自我反思目标检测
引导
及时了解学生知识掌握情况
80
培养
回忆学生
总结
反思
教学
过程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
本次课米用了怎样的学习方法
你是如何进行学习的
你的学习效果如何
提问
反思
交流
学习
过程
能力
85
*继续探索活动探究
（1）读书部分：
教材章节；
（2）书面作业：
学习与训练；
⑶实践调查：
了解弧度制的实际应用.
说明
记录
90
升级会员 