第一章的晶面符号及单形和聚形.docx
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第一章的晶面符号及单形和聚形
第四节晶体的定向和晶面符号
从上面的讨论中可知，对晶体的各部分必须有统一的命名才能有共同的语言。
如上面提到的是底心C，还是底心A和B？
又如图示两个图形都属于L44L25PC对称型，并且都是由四方柱和四方双锥组成的。
但是由于四方柱和四方双锥的相对位置不同，因而具有不同的形
态，要确切的描述他们，就必须确定晶面在空间的相对位置。
也就是要对晶体进行定向。
此外在我们谈到晶体的共性时，曾讲过晶体的各向异性，即晶体的物理化学性质在各个方向上有差异，为了确切地分析和研究这些性质，我们也要确定晶面在空间的相对位置。
如果没有统一的规定，那么来自同一个问题可说成是不一样的事，而不同的问题又可讲成是一回事，这就会引起混乱。
结晶学上对晶体的取向有统一的规定，并且还规定了一套结晶符号来命名晶体内的几何要素（点、线、面等）。
一、晶体的定向（三轴定向）：
晶体的定向就是在晶体中选定一个三维坐标系统。
具体来说就是选取三根直线作为结晶轴，也就是晶体中的坐标轴X、Y、Z，注意其选取不是任意的，一般选择对称轴或平行于晶棱的直线等。
作为晶体的坐标轴一般系交于晶体中心的三条直线，标记为X轴（前为正，后为负），Y轴（右为正、左为负），Z轴（上为正、下为负）。
结晶轴（晶体中的坐标轴）之间的夹角称为轴角，分别以α（Y∧Z），β（Z∧X），γ（X∧Y）表示。
即在晶体上确定如下坐标系统：
（1）晶轴：
交于晶体中心的三条直线。
为x、y、z。
（2）轴角:
α、β、γ
（3）轴长和轴率：
即确定结晶轴（晶体中格子构造中的行列）上作为长度计量单位的线段。
但是，在讨论晶体外形几何特征时只涉及晶面、晶棱的方向问题，并不考虑它们的具体位置和大小。
因而不需知道三个轴单位（行列上的结点间距）的绝对长度，只需求得三个轴单位之间的比值即可。
为此，把a轴、b轴、c轴的轴单位连比（a：
b：
c）称为轴率。
所以人们往往在晶体定向中，将轴率a：
b：
c和轴角α、β、γ合称为晶体几何常数。
也就是我们前面所讲的平行六面体参数（常数）、点阵常数、晶胞常数或晶格常数。
各晶系的晶体几何常数特点
等轴晶系：
a=b=c，a=b=g=90；
四方晶系：
a=b≠c，a=b=g=90；
三方和六方晶系：
a=b≠c，a=b=90，g=120；
三方晶系菱面体格子：
a=b=c，a=b=g≠60≠90≠10928’16’’
斜方晶系：
a≠b≠c，a=b=g=90；
单斜晶系：
a≠b≠c，a=g=90，b>90；
三斜晶系：
a≠b≠c，a≠b≠g；
图示各晶系的晶体几何常数特点
晶体的三轴定向:
选择三个不共面的坐标轴x,y,z安置晶体
晶体的四轴定向:
一个直立轴，三个水平轴
三轴定向和四轴定向的比较
二、晶体定向原则：
适宜的晶棱方向作为结晶轴；符合晶体本身的对称；适宜的对称元素作为结晶轴；尽量使得晶轴之间夹角为90
1等轴晶系的定向:
晶体几何常数为:
a=b=g=90°,a=b=c
三个互相垂直的L4,Li4或L2为x,y,z轴；z轴直立，y轴左右水平，x轴前后水平。
2四方晶系的定向:
晶体几何常数:
a=b=g=90°,a=b<>c；唯一的L4或Li4为z轴;相互垂直的L2,或相互垂直的对称面法线,或适当的晶棱为x,y轴；z轴直立，y轴左右水平，x轴前后水平。
3斜方晶系的定向:
晶体几何常数:
a=b=g=90°,a<>b<>c；三个相互垂直的L2为z,x,y轴;或L2为z轴,相互垂直的对称面法线为x,y轴。
z轴直立，y轴左右水平，x轴前后水平。
4单斜晶系的定向:
晶体几何常数:
a=b=90°,g>90°；a<>b<>c
L2为y轴;或对称面法线为y轴，z轴起立，y轴左右水平，x轴前后向前下倾斜。
5三斜晶系的定向:
晶体几何常数:
α<>b<>g<>90°；a<>b<>c
适当的晶棱为x,y,z轴。
大致上z轴直立，y轴左右，x轴前后。
6三方和六方晶系的四轴定向：
选择唯一的高次轴作为直立结晶轴c轴，在垂直z轴的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴，即x轴、y轴以及d轴（U轴）。
晶体几何常数:
a=b=90°,g=120°,a=b<>c；z轴直立，y轴左右水平，x轴前后水平偏左30°
三、整数定律（有理指数定律或阿羽毛依定律，R.J.Hauy,1784）
但是，以上所有的规定都必须和晶体内部的格子构造相一致，否则不成立。
法国学者阿羽依总结出了一条整数定理，为正确建立晶体定向和结晶符号奠定了基础。
整数定理的具体内容是，如果以平行于三根不共面晶棱的直线作为坐标轴，则晶体上任
意二晶面在三个坐标轴上所截截距的比值之比为一简单整数比。
即晶面在结晶轴上的截距系数之比为简单的整数比。
原因是晶面在结晶轴上的截距处是结点，而结点在三维空间作周期性重复排列，形成以晶面为界面的许多完全相同的空间格子。
所以结果是截距系数之比一是简单的，二为整数比。
设二晶面A1B1C1和A2B2C2在三根坐标轴上的截距分别为OA1、OB1、OC1和OA2、OB2、
OC2，令：
OA1/OA2:
OB1/OB2:
OC1/OC2=e:
f:
g则e:
f:
g必可化为简单的整数比。
因为：
OA1＝ma，OB1＝pb，OC1＝scOA2＝na，OB2＝qb，OC2＝tc
m,n,p,q,s,t都为整数，故m/n:
p/q:
s/t可化为整数比。
对于实际晶体而言，e:
f:
g不仅可以化为整数比，而且可以化为简单的整数比。
四、晶面符号
1、晶面符号的概念：
它是根据晶面（或晶体中平行于晶面的其他平面与各结晶轴的交截关系，用简单的数字符号形式来表达它们在晶体上方位的一种晶体学符号。
目前国际上通用的都是米氏符号（Miller‘ssymbol），亦称米勒符号：
（hkl）；（hkil）。
2.晶面指数:
晶面符号的产生
晶体上任意一个晶面，若它在三个结晶轴x轴、y轴、z轴上的截距依次为OA、OB、OC,已知轴率为a∶b∶c，则该晶面在晶轴上的截距系数p,q,r分别为:
p=OX/a,q=OY/b,r=OZ/c其倒数比1/p:
1/q:
1/r=h:
k:
l
晶面指数（米氏指数）:
取h:
k:
l的最简单整数比,此时的h,k,l就称为晶面指数;
注意正负之分。
3、截距系数的倒数比
米氏指数（Millerindices）是指：
用来表达晶面在晶体上之方向的一组无公约数的整数，它们的具体数值等于该晶面在结晶轴上所截截距系数的倒数比。
最小简化后用小括号括上而得晶面符号。
注意因对称，同一个晶面的所有晶面符号的绝对值恒等于零。
如果将米氏指数按顺序连写，并置于园括号内,表达为（hkl）,便构成了晶面的米氏符号。
按x、y、z轴顺序，不得颠倒！
晶轴有正负方向，指数的负号写在上面晶面可与晶轴垂直,平行或斜交。
考察晶体模型晶面的晶面符号：
CubeOctahedron
Dodecahedron
Allthreecombined:
4四轴定向的晶面符号
定义同三轴定向，指数的排列顺序依次为X、Y、U和Z轴，轴率为1：
1：
1：
C，C=c/a，
用（hkil）的形式表达，h:
k:
i:
l=1/OX:
1/OY:
1/OU:
1/OZ
由于X、Y和U轴相交120°，不难证明：
h+k+i=0
五、晶棱符号、晶带与晶带定律
1、晶棱符号：
表征晶棱方向的符号，所有平行的晶棱具有同一个晶棱符号。
晶棱符号只涉及方向,不涉及具体位置。
截距系数比：
表达为[uvw]；u:
v:
w=MR/a:
MK/b:
MF/c；[uvw]=[uvw]
此例：
[uvw]=[123]
四轴定向时的晶棱符号：
以[uvmw]的形式表达，也有三指数形式:
[uvw]
2、晶带:
（zone）：
彼此间的交棱均相互平行的一组晶面之组合。
晶带轴（zoneaxis）：
用以表示晶带方向的一根直线，它平行于该晶带中的所有晶面，也就是平行于该晶带中各个晶面的公共交棱方向。
晶带符号（zonesymbol）：
在晶体上用相应的晶带轴（晶棱）符号来表示。
一个晶体上有多少个方向的晶棱，就有多少个晶带，实际晶体上的晶带是为数不多的。
例如：
（110）,（100）,（110）,（010）…的交棱相互平行，组成一个晶带;直线CC’即可表达为此晶带的晶带轴。
此组晶棱的符号,即该晶带轴的符号，为[001]（或者[001]）晶带。
晶带符号例如
3、晶带定律（zonelaw）：
即：
任一属于[uvw]晶带的晶面（hkl），必定有：
hu+kv+lw=0－晶带方程
简单的证明：
三维空间的一般平面方程为Ax+By+Cz+D=0；系数A、B、C决定该平面的方向，常数项D决定距原点的距离。
那么过坐标原点且平行于（hkl）的平面方程则可以表达为hx+ky+lz=0
因（hkl）晶面属于[uvw]晶带,故直线[uvw]上的任一点均满足平面方程,即用u,v,w替代x,y,z,便得到上述的晶带方程。
另一种表达方式：
晶体上每一个晶面与其它晶面相交，必有两个以上互不平行的晶棱。
因此，每一个晶面至少属于两个晶带。
晶带定律的应用：
1、已知两个晶面，求包含此二晶面的晶带之符号
如二已知晶面（hkl）和（mnp），其交棱（即晶带）的符号[uvw]为：
u:
v:
w=（kp-nl）:
（lm-ph）:
（hn-mk）
因为有：
hu+kv+lw=0
（1）
mu+nv+pw=0
（2）
解联立式
（1）和式
（2）的方程组，可得。
如包含（110）和（201）晶面的晶带符号为[112]或[112]
2、求同时属于某二已知晶带的该晶面之晶面符号。
作业：
求同时属于[102]和[112]晶带的晶面之符号。
3、判断某已知晶面是否属于某个已知晶带。
作业：
已知晶带[112]，确定（021）和（130）晶面是否属于该晶带？
思考题
晶体定向的原则，各晶系晶体定向的方法和晶体几何常数的特点。
为什么四方晶系和三、六方晶系的晶体的轴单位具有a=b≠c的特征？
{111}、{100}和{110}在等轴、四方、斜方、单斜（L2PC）和三斜晶系中分别代表什么单形？
{1011}、{1120}和{1121}在三方和六方晶系中各代表什么单形？
简述整数定律的内容。
证明四轴定向的晶面符号中h+k+i=0。
晶面（2135）是否肯定在c轴上的截距最短？
对于三个水平结晶轴来说，是否肯定在d轴上的截距最短？
为什么？
晶体形态如图。
回答下列问题：
对称型，所属晶族和晶系；
如何进行晶体定向？
各晶面的晶面符号；
单形名称和单形符号。
第五节晶体的理想形态----单形和聚形
在晶体的对称这一章里，我们研究了晶体的对称和分类。
显然我们已经发现了这样的情况：
同一对称型的晶体，可以具有完全不同的形态，此如：
同样为对称型（3L44L36L29PC）的立方体和八面体其形态就不同。
对此人们不得不再作分类以示区别。
本节我们就讨论理想晶体形态：
单形和聚形。
一、单形：
（1）单形的概念：
单形是由对称要素联系起来的一组同形等大的晶面的总和。
或说：
单形是一组晶面，这组晶面可以靠对称型中全部对称要素的作用使其自身相互重复，因此，同一单形的所有晶面彼此都是相等的----性质相同、形状相同、大小相同。
如立方体为（001）单形，某几个同形等大的晶面，通过对称型中的对称要素的作用可以彼此重复。
（2）单形的推导：
根据上述概念我们可以导出如下三条结论：
以单形中任意一个晶面为原始晶面，通过对称型中全部对称要素的作用，必可以导出该单形的全部晶面。
在同一对称型中，由于原始晶面与对称要素的相对位置不同，可以导出不同的单形。
对称型不同，所导出的单形的对称性亦不相同。
下面我们来举例：
例如L4PC（4/m）对称型，L4⊥P交点为C有三种情况：
A、原始晶面I⊥P，//L4每旋转3600/4=900，就出现三个图形相同大小相等的晶面Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，形成3个“四方柱”的单形，上下未封，其他不能再导出别的晶面。
B、原始晶面⊥L4、//P，原始晶面I通过P反映只得到Ⅱ，这也是一个单形“平行双面”
C、原始晶面与L4及P斜交，原始晶面I绕L4旋转3600，出现4个图样斜交的晶面（等腰三角形），各自通过P反映则在P的另一面出现四个同形等大的镜象晶面。
这又推导出来的。
（3）单形的种类：
47种，共有146种，但从几何形上看，有些是相同的，为方便在几何形态上不同的单形共47种，后为几何单元。
按照上面所说的方法，可以将32种晶类（对称型）群，有的单形全部推导出来，去掉其中重复的，可以得出47种理想晶体的单形来，其中低级晶旋7种，中级晶旋25种，高级晶旋15种。
（4）单形性质的划分：
根据单形几何性质的不同，可将单形作如下划分：
一般形与特殊形：
根据单形中晶面与对称要素的相对位置来划分。
如单形晶面处于一般位置，不与任何对称要素垂直或//的对称要素等角相交。
这样推导出来的单形即为一般形。
反之为特殊形。
经研究发现每一种对称型（晶类）所推导现来的几种单形中，必有也只有一个一般形，于是就以这个单形来给它所属的晶类命名。
例如我们前面推导L4PC的单形时，出现了三种单形，“四方柱、平行双面、八面双锥”其中“四方双锥”一般形，所以L4PC这种晶类就命名为“四方双锥晶类”。
开形和闭形：
根据单形的晶面是否可以自相闭合来划分。
凡是单形的晶面不能封闭，一定空间者称为“开形”；反之则为“闭形”。
另外还有左右形、正负形、定变形等划分，限于专业性质，就不讲了。
二、聚形：
1、聚形的概念：
两个或两个以上单形的聚合称为聚形。
显然有多少种单形相聚，其聚形上就会出现多少种不同的晶面，它们的性质各异。
对于理想形态而言，在同一聚形中，同种单形的晶面应同形等大。
单形的聚合不是任意的，在任何情况下，单形的相聚必定遵循对称性一致的原则，即只有属于同一对称型的单形才能相聚!
!
!
即聚形上的各个单形都属于同一种对称型，因此聚形中每一单形的对称型当然都与该聚形的对称型一致。
2．聚形的分析：
同一单形的晶面形状,大小,性质完全相同;
一个聚形最多只可能由7种单形相聚。
套样分析聚形上的单形呢？
一般遵循以下顺序：
①找出晶体所有的对称要素，确定对称型、晶系和晶族。
②根据原则进行晶体定向;
③确定单形的数目，以及每种单形的晶面数,与对称要素间关系等;
④将各个单形与该对称型中的单形相比较，确定出单形名称。
以视览在的理想晶体形态为例，分析如下：
ⅰ从形状可找出其对称型为3L3PC（MMM或2/M2/M2/M）是为斜方双锥晶类。
ⅱ它有a、b、c、d、e、m、k7种不同的晶面，故有7种不同的单形。
ⅲa、b、c、三种各由两相互平行的面组成，是为平行双面。
ⅳd、m、k三种单形各有四个晶面，这四个晶面扩展开去，相交而成为棱切面为棱形的柱，这三种单形为斜方柱。
ⅴe具有8个晶面，扩展以后，相邻的四个面会聚于一点，显然这种单形是为斜方双锥。
因其为一般形，故以此来命名。
同学们要找常用的对称型来分析。
必须注意，真实晶体形态以单形态者出现的为数不多，大量的晶体形态是由属于同一晶类的单形聚合而成并封闭一定空间的几何多面体，这就是聚形。
另外，我们也应明白，真实的晶体不可能是开形，否则怎么能成为封闭空间的几何多面体呢。
如单形四方柱是开形，不能是真实的晶体形态，只有和其它单形（如平行双面）聚合，才形成了四方柱体的真实晶体形态。
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