【答案】D
4．已知命题p：
∃x0>0，x0＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是（ ）
A．（－∞，1）B．（－∞，1]
C．（1，＋∞）D．[1，＋∞）
【解析】p为假命题，等价于方程x＋a－1＝0无正实根，
即x＝1－a≤0，得a≥1.
【答案】D
5．命题p：
∀x∈R，sinx＋cosx≥－
，命题q：
∃x<0，e－x<1，下列选项中是真命题的是（ ）
A．p∧qB．（綈p）∨q
C．p∧（綈q）D．（綈p）∧（綈q）
【解析】因为命题p：
sinx＋cosx＝
sin
≥－
恒成立，故命题p为真命题；
对于命题q：
当x<0时，－x>0，从而得到e－x>1，故命题q是假命题，根据复合命题真值表可知p∧（綈q）是真命题．
【答案】C
【知识要点】
1．逻辑联结词
命题中的__“或”“且”“非”__叫逻辑联结词．
（1）当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中至少有一个是假命题时，p∧q是假命题．
（2）命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词、存在量词
（1）全称量词
短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__全称量词__，并用符号__∀__表示．含有全称量词的命题，叫做__全称命题__，全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”，简记作__∀x∈M，p（x）__．
（2）存在量词
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做__存在量词__，并用符号__∃__表示．含有存在量词的命题，叫做__特称命题__，特称命题“存在M中的元素x0，使p（x0）成立”，简记作__∃x0∈M，p（x0）__．
（3）两种命题的关系
全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.
命题
命题的否定
∀x∈M，p（x）
∃x0∈M，綈p（x0）
∃x0∈M，p（x0）
∀x∈M，綈p（x）
（4）全称量词和存在量词
量词名词
常见量词
表示符号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个、任何等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
∃
典例剖析 【p6】
考点1 含逻辑联结词命题的真假判断
（1）若命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，则（ ）
A．命题p与命题q都是真命题
B．命题p与命题q都是假命题
C．命题p是真命题，命题q是假命题
D．命题p是假命题，命题q是真命题
【解析】因为綈p为真命题，所以p为假命题，又p∨q为真命题，所以q为真命题．
【答案】D
（2）设命题p：
∃x0∈R，x
－x0＋1<0；命题q：
若a2>b2，则a>b，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．p∧（綈q）
C．（綈p）∧q
D．（綈p）∧（綈q）
【解析】因为x2－x＋1＝
＋
≥
＞0成立，
所以不存在x0∈R，x
－x0＋1<0，
故命题p为假命题，綈p为真命题；
当a＝－2，b＝1时，a2>b2成立，但a>b不成立，
故命题q为假命题，綈q为真命题；
故命题p∧q，（綈p）∧q，p∧（綈q）均为假命题，
命题（綈p）∧（綈q）为真命题．
【答案】D
【点评】判断含有逻辑联结词命题真假的2个步骤：
（1）先判断简单命题p，q的真假；
（2）再根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假．
考点2 全称命题与特称命题
（1）命题“对任意x∈R，都存在m0＞1，使得m0x>ex成立”的否定为（ ）
A．对任意x∈R，都存在m0>1，使得m0x≤ex成立
B．对任意x∈R，不存在m0>1，使得m0x>ex成立
C．存在x0∈R，对任意m>1，都有mx0≤ex0
D．存在x0∈R，对任意m>1，都有mx0>ex0
【解析】∵全称命题的否定是特称命题，
∴命题“对任意x∈R，都存在m0>1，使得m0x>ex成立”的否定是：
“存在x0∈R，对任意m>1，都有mx0≤ex0成立”．
【答案】C
（2）若命题“∃x0∈R，使得x
＋（a－1）x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－1，3）
B．[－1，3]
C．（－∞，－1）∪（3，＋∞）
D．（－∞，－1]∪[3，＋∞）
【解析】由题得Δ＝（a－1）2－4>0，所以a2－2a－3>0，
∴（a－3）（a＋1）>0，∴a>3或a<－1.
【答案】C
【点评】
（1）对全（特）称命题进行否定的方法：
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定．
（2）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p（x0）成立．
考点3 根据命题的真假求参数的取值范围
（1）命题“∃x0∈R，2x
－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
【解析】因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－2
≤a≤2
.
【答案】[－2
，2
]
（2）已知a>0，且a≠1，命题p：
函数y＝loga（x＋1）在x∈（0，＋∞）内单调递减，命题q：
曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与x轴交于不同的两点．若“p∨q”为假，则a的取值范围是（ ）
A.
B.
∪
C.
D.
∪
【解析】当01.曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与x轴交于不同的两点等价于（2a－3）2－4>0，即a<
或a>
.若q为假，则a∈
.若使“p∨q”为假，则a∈（1，＋∞）∩
，即a∈
.
【答案】A
已知a∈R，命题p：
∀x∈[－2，－1]，x2－a≥0，命题q：
∃x0∈R，x
＋2ax0－（a－2）＝0.
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
【解析】
（1）因为命题p：
∀x∈[－2，－1]，x2－a≥0.
令f（x）＝x2－a，
根据题意，只要x∈[－2，－1]时，f（x）min≥0即可，
也就是1－a≥0，即a≤1.
（2）由
（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，
命题q为真命题时，Δ＝4a2－4（2－a）≥0，
解得a≤－2或a≥1，
因为命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，所以命题p与q一真一假，
当命题p为真，命题q为假时，－2当命题p为假，命题q为真时，a>1.
综上：
a>1或－2【点评】以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式（组）求解即可．
方法总结 【p7】
1．逻辑中“或”“且”“非”的含义与集合中“并”“交”“补”的含义非常类似，在一定条件下可相互转化．
2．判定复合命题真假的办法是：
首先判定简单命题的真假，再判定复合命题的真假．
3．否命题与命题的否定是两个不同的概念，要会区别，另外要掌握一些常见词的否定词．
4．要判断一个全称命题的真假，必须对限定的集合M中的每一元素x，验证p（x）是否成立．要判断一个特称命题是真命题，只要能在集合M中找到一个元素x0，使p（x0）成立即可；如果在集合M中，使p（x）成立的元素不存在，那么这个特称命题是假命题．
5．注意：
一个全称命题的否定是特称命题，如命题“∀x∈M，p（x）成立”的否定“∃x0∈M，p（x0）不成立”；特称命题的否定是全称命题，如命题“∃x0∈M，p（x0）成立”的否定“∀x∈M，p（x）不成立”．
走进高考 【p7】
1．（2017·山东）已知命题p：
∀x>0，ln（x＋1）>0；命题q：
若a＞b，则a2>b2，下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧qB．p∧（綈q）
C．（綈p）∧qD．（綈p）∧（綈q）
【解析】由x>0得x＋1>1，ln（x＋1）>0，知p是真命题，由－1>－2，（－1）2<（－2）2，可知q是假命题，即p，綈q均是真命题，故选B.
【答案】B
考点集训 【p177】
A组题
1．命题“∀x∈[－2，＋∞），x＋3≥1”的否定为（ ）
A．∃x0∈[－2，＋∞），x0＋3<1
B．∃x0∈[－2，＋∞），x0＋3≥1
C．∀x∈[－2，＋∞），x＋3<1
D．∀x∈（－∞，－2），x＋3≥1
【解析】∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈[－2，＋∞），x＋3≥1”的否定是“∃x0∈[－2，＋∞），x0＋3＜1”．
【答案】A
2．设p、q是两个命题，若綈（p∨q）是真命题，那么（ ）
A．p是真命题且q是假命题
B．p是真命题且q是真命题
C．p是假命题且q是真命题
D．p是假命题且q是假命题
【解析】若綈（p∨q）是真命题，则p∨q是假命题，则p，q均为假命题．
【答案】D
3．下列命题正确的是（ ）
A．∀x∈（0，＋∞），
B．∀x∈（0，2），cosx>0
C．∃x0∈（－1，0），2x0＋2＝3
D．∃x0∈（3，＋∞），x
＋5x0－24＝0
【解析】选项A不正确，如取x＝
，有
>x.因为当x∈
时，cosx<0，所以选项B不正确．当x∈（－1，0）时，x＋2∈（1，2），2x＋2∈（2，4），所以选项C正确．由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以选项D不正确.
【答案】C
4．已知命题p：
∀x，y∈R，x（x＋1）＋2>y（2－y），q：
∃x0∈R，1＋
①p∧q；②p∨q；③（綈p）∧（綈q）；④（綈p）∨（綈q），其中是真命题的有（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【解析】∵x（x＋1）＋2－y（2－y）＝x2＋x＋y2－2y＋2＝
＋（y－1）2＋
>0，∴命题p为真；∵y＝1＋
是减函数，y＝x是增函数，∴它们的图象在第一象限有交点，从而1＋
【答案】A
5．若命题“∀x∈
，x＋
≥m”是假命题，则实数m的取值范围是________．
【解析】即“∃x0∈
，x0＋
＝2，x＝1时取等号．所以m>2.
【答案】
6．命题p：
若a，b∈R，则“ab＝0”是“a＝0”的充分条件，命题q：
函数y＝
的定义域是[3，＋∞），则“p∨q”，“p∧q”，“綈p”中是真命题的为________．
【解析】∵若ab＝0，则a＝0或b＝0，即a＝0不成立；故命题p：
“ab＝0”是“a＝0”的充分条件，为假命题；∵函数y＝
的定义域是
，∴命题q为真命题；由复合命题真值表得：
綈p为真命题；p∨q为真命题；p∧q假命题．
【答案】p∨q，綈p
7．已知命题p：
∀x∈[0，1]，a≥ex，命题q：
“∃x0∈R，x
＋4x0＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是__________．
【解析】命题p为真：
a≥e；命题q为真：
16－4a≥0，a≤4，
因为命题“p∧q”是真命题，
所以p，q都为真，即实数a的取值范围是
.
【答案】
8．已知命题p：
“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：
“∃x0∈R，x
＋2ax0＋a＋2＝0”，若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．
【解析】命题p为真：
a≤（x2）min＝1.
命题q为真：
Δ＝4a2－4（a＋2）≥0⇔a≤－1或a≥2.
∵“p∨q”为真命题，∴p、q中至少有一个为真命题．
即a≤1或a≤－1或a≥2，所以a≤1或a≥2.
∴“p∨q”是真命题时，实数a的取值范围是（－∞，1]∪[2，＋∞）．
B组题
1．已知命题p是命题“若ac>bc，则a>b”的逆命题；命题q：
若复数（x2－1）＋（x2＋x－2）i是实数，则实数x＝1，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∨qB．（綈p）∧q
C．p∧（綈q）D．（綈p）∧（綈q）
【解析】由题得命题p：
若a>b，则ac>bc，是假命题．
因为（x2－1）＋（x2＋x－2）i是实数，
所以x2＋x－2＝0，∴x＝－2或x＝1.
所以命题q是假命题，
故（綈p）∧（綈q）是真命题．
【答案】D
2．已知函数f（x）＝4|a|x－2a＋1.若命题：
“∃x0∈（0，1），使f（x0）＝0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】由“∃x0∈（0，1），使得f（x0）＝0”是真命题，得f（0）·f
（1）<0⇒（1－2a）（4|a|－2a＋1）<0⇔
或
⇒a>
.
【答案】
3．命题p：
关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；命题q：
函数y＝－（5－2a）x是减函数，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．
【解析】先求出命题p，q为真命题时实数a的取值范围，x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，则Δ＝（2a）2－4×1×4<0，解得－2－21，得a<2，即命题q：
a<2.p∨q为真命题，则p和q至少有一个为真，p∧q为假命题，则p和q至少有一个为假，所以p和q一真一假，但当p为真时，q一定为真，故p假且q真，所以实数a的取值范围是（－∞，－2]．
【答案】（－∞，－2]
4．已知m∈R，命题p：
对∀x∈
，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：
∃x0∈
，使得m≤ax0成立．
（1）若p为真命题，求m的取值范围；
（2）当a＝1时，若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．
【解析】
（1）设y＝2x－2，则y＝2x－2在[0，1]上单调递增，
∴ymin＝－2.
∵对任意x∈[0，1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，
∴m2－3m≤－2，即m2－3m＋2≤0，
解得1≤m≤2.
∴m的取值范围是
.
（2）a＝1时，y＝x在区间[－1，1]上单调递增，
∴ymax＝1.
∵存在x0∈[－1，1]，使得m≤ax0成立，
∴m≤1.
∵p∧q为假，p∨q为真，
∴p与q一真一假，
①当p真q假时，
可得
解得1＜m≤2；
②当p假q真时，
可得
解得m<1.
综上可得1＜m≤2或m＜1.
∴实数m的取值范围是（－∞，1）∪（1，2]．
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