答案 A
解析 根据机械能守恒定律可知v1＝v2，再根据速率变化特点知，小球由M到P再到N，速率先减小至最小，再增大到原速率.小球由M到Q再到N，速率先增大至最大，再减小到原速率.由两球运动速率特点以及两条路径的路程相等可画出如图所示图像，由图像可知小球沿MQN路径运动的平均速率大，所以t1>t2，故选项A正确.
6.如图3所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动.已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，在最高点时对轨道的压力大小为N2.重力加速度大小为g，则N1－N2的值为（ ）
图3
A.3mgB.4mgC.5mgD.6mg
答案 D
解析 设小球在最低点速度为v1，在最高点速度为v2，根据牛顿第二定律，在最低点有N1－mg＝m，在最高点有N2＋mg＝m，从最高点到最低点，根据机械能守恒有mg·2R＋mv＝mv，联立以上三式可以得到：
N1－N2＝6mg，故选项D正确.
7.质量为4kg的物体被人由静止开始向上提升0.25m后速度达到1m/s，不计空气阻力，g取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A.人对物体传递的功为12J
B.合外力对物体做功为12J
C.物体克服重力做功为10J
D.人对物体做的功等于物体增加的动能
答案 C
解析 人提升物体的过程中，人对物体做了功，对物体传递了能量，不能说人对物体传递了功，A错误；合外力对物体做的功（包括重力）等于物体动能的变化，W合＝mv2＝2J，B错误；物体克服重力做的功等于物体重力势能的增加量，WG＝mgh＝10J，C正确；W人＝mgh＋mv2＝12J，D错误.
8.如图4所示，传送带与水平地面的夹角为θ，传送带以速度v匀速运动，在传送带底端无初速度地放置一个质量为m的物体，当物体上升高度h时，物体已经相对传送带静止，在这个过程中对物体分析正确的是（ ）
图4
A.动能增加mgh
B.动能增加mv2
C.重力势能增加mgh
D.重力势能增加mgh＋mv2
答案 BC
解析 当物体相对传送带静止时，物体的速度与传送带的速度相等，物体的动能增加了mv2，选项B正确，选项A错误；物体升高了h，物体的重力势能增加了mgh，选项C正确，D错误.
9.2016年跳水世界杯赛在巴西里约热内卢举行，中国选手邱波在男子10米台的较量中以557.75分获得冠军.在高台跳水比赛中，质量为m的邱波进入水中后受到水的阻力（包含浮力）而竖直向下做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F，则在他减速下降深度为h的过程中，下列说法正确的是（g为当地的重力加速度）（ ）
A.他的动能减少了Fh
B.他的重力势能减少了mgh
C.他的机械能减少了（F－mg）h
D.他的机械能减少了Fh
答案 BD
解析 根据动能定理，动能的减少量等于合外力所做的功，所以ΔEk＝Fh－mgh，A错误；他的重力势能减少了mgh，B正确；他的机械能减少量是除重力之外的力所做的功Fh，C错误，D正确.
10.如图5所示，卷扬机的绳索通过光滑定滑轮用力F拉位于粗糙斜面上的木箱，使之沿斜面加速向上移动.在移动过程中，下列说法正确的是（ ）
图5
A.F对木箱做的功等于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力所做的功之和
B.F对木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和
C.木箱克服重力做的功等于木箱增加的重力势能
D.F对木箱做的功等于木箱增加的机械能与木箱克服摩擦力所做的功之和
答案 CD
解析 木箱加速上移的过程中，拉力F做正功，重力和摩擦力做负功，支持力不做功，由动能定理得：
WF－WG－Wf＝mv2－0.
即WF＝WG＋Wf＋mv2.
A、B错误，D正确.又因木箱克服重力做功WG等于木箱重力势能的增加量，故C正确.
11.如图所示，A、B、C、D四图中的小球以及小球所在的左侧斜面完全相同，现从同一高度h处由静止释放小球，使之进入右侧不同的竖直轨道：
除去底部一小圆弧，A图中的轨道是一段斜面，高度大于h；B图中的轨道与A图中轨道相比只是短了一些，且斜面高度小于h；C图中的轨道是一个内径略大于小球直径的管道，其上部为直管，下部为圆弧形，与斜面相连，管的高度大于h；D图中的轨道是个半圆形轨道，其直径等于h.如果不计任何摩擦阻力和拐弯处的能量损失，小球进入右侧轨道后能到达h高度的是（ ）
答案 AC
解析 小球在运动过程中机械能守恒，A、C图中小球不能脱离轨道，在最高点速度为零，因而可以达到h高度.但B、D图中小球都会脱离轨道而做斜抛运动，在最高点具有水平速度，所以在最高点的重力势能要小于mgh（以最低点为零势能面），即最高点的高度要小于h，选项A、C正确.
12.如图6所示，重10N的滑块在倾角为30°的斜面上，从a点由静止开始下滑，到b点接触到一个轻弹簧，滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点.已知ab＝1m，bc＝0.2m，那么下列说法中正确的是（ ）
图6
A.整个过程中滑块动能的最大值为6J
B.整个过程中弹簧弹性势能的最大值为6J
C.从c到b弹簧的弹力对滑块做功6J
D.整个过程中弹簧、滑块与地球组成的系统机械能守恒
答案 BCD
解析 滑块能回到原出发点，所以机械能守恒，D正确；以c点为参考点，则a点的机械能为6J，c点时的速度为0，重力势能为0，所以弹性势能的最大值为6J，从c到b弹簧的弹力对滑块做的功等于弹性势能的减少量，故为6J，所以选项B、C、D正确.
二、实验题（本题共2小题，共12分）
13.（6分）“验证机械能守恒定律”的实验采用重物自由下落的方法.（g取10m/s2）
（1）用公式mv2＝mgh，对纸带上起点的要求是初速度为________，为达到此目的，所选择的纸带第1、2两点间距应接近________.
（2）若实验中所用重物质量m＝1kg，打点纸带如图7甲所示，打点时间间隔为0.02s，则记录B点时，重物速度vB＝________，重物的动能EkB＝________，从开始下落至B点，重物的重力势能减少量是__________，因此可得出的结论是__________________________.
图7
（3）根据纸带算出相关各点的速度值，量出下落的距离，则以为纵轴，以h为横轴画出的图线应是图乙中的________.
答案
（1）0 2mm
（2）0.59m/s 0.174J 0.176J 在实验误差允许的范围内，重物动能的增加量等于重力势能的减少量 （3）C
解析
（1）初速度为0，所选的第1、2两点间距应接近2mm.
（2）vB＝＝m/s＝0.59m/s
EkB＝mv＝×1×0.592J≈0.174J
ΔEp＝mgh＝1×10×17.6×10－3J＝0.176J
在实验误差允许的范围内，重物动能的增加量等于重力势能的减少量.
（3）由mv2＝mgh可得＝gh∝h，故选项C正确.
14.（6分）某同学根据机械能守恒定律，设计实验探究弹簧的弹性势能与压缩量的关系.
（1）如图8甲所示，将轻质弹簧下端固定于铁架台，在上端的托盘中依次增加砝码，测量相应的弹簧长度，部分数据如下表，由数据算得劲度系数k＝________N/m.（g取9.80m/s2）
图8
砝码质量/g
50
100
150
弹簧长度/cm
8.62
7.63
6.66
（2）取下弹簧，将其一端固定于气垫导轨左侧，如图乙所示，调整导轨使滑块自由滑动时，通过两个光电门的速度大小________.
（3）用滑块压缩弹簧，记录弹簧的压缩量x；释放滑块，记录滑块脱离弹簧后的速度v.释放滑块过程中，弹簧的弹性势能转化为________.
（4）重复（3）中的操作，得到v与x的关系如图丙，由图可知，v与x成________关系.由上述实验可得结论：
对同一根弹簧，弹性势能与弹簧的________成正比.
答案
（1）50
（2）相等 （3）滑块的动能 （4）正比 压缩量的二次方
解析
（1）加50g砝码时，弹簧弹力F1＝mg＝k1（l0－l1），加100g砝码时F2＝2mg＝k1（l0－l2），ΔF＝F2－F1＝k1（l1－l2），则k1≈49.5N/m，同理由加100g砝码和加150g砝码的情况可求得k2≈50.5N/m，则劲度系数k＝＝50N/m.
（2）使滑块通过两个光电门时的速度大小相等，就可以认为滑块离开弹簧后做匀速直线运动.
（3）弹性势能转化为滑块的动能.
（4）图线是过原点的直线，所以v与x成正比，整个过程弹性势能转化为动能，即E弹＝Ek＝mv2，弹性势能与速度的二次方成正比，则弹性势能与弹簧压缩量x的二次方成正比.
三、计算题（本题共4小题，共40分，解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，有数值计算的答案中须明确写出数值和单位）
15.（8分）在地面处，以30m/s的初速度竖直向上抛出一个小球，不计空气阻力，取地面为零势能面.问：
（g取10m/s2）
（1）小球距地面多高时，它的重力势能是动能的2倍？
（2）若小球在运动过程中，动能是重力势能的2倍时，它的速度大小为多少？
答案
（1）30m
（2）10m/s
解析
（1）设小球距地面高度为h时，Ep＝2Ek
由机械能守恒定律知Ep＋Ek＝mv
在离地面h高处物体的重力势能Ep＝mgh
由以上三个方程解得h＝30m
（2）设当小球速度为v时，Ek＝2Ep，Ek＝mv2
由机械能守恒定律知Ek＋Ep＝mv
由以上三个方程解得v＝10m/s.
16.（10分）如图9所示，竖直平面内半径为R的光滑半圆形轨道，与水平轨道AB相连接，AB的长度为s.一质量为m的小球，在水平恒力F作用下由静止开始从A向B运动，小球与水平轨道间的动摩擦因数为μ，到B点时撤去力F，小球沿圆轨道运动到最高点时对轨道的压力为2mg，重力加速度为g.求：
图9
（1）小球在C点的加速度大小；
（2）恒力F的大小.
答案
（1）3g
（2）μmg＋
解析
（1）由牛顿第三定律知在C点，轨道对小球的弹力N＝2mg.小球在C点时，受到重力和轨道对球向下的弹力，由牛顿第二定律得N＋mg＝ma，解得a＝3g.
（2）设小球在B、C两点的速度分别为v1、v2，在C点由a＝得v2＝.
从B到C过程中，由机械能守恒定律得mv＝mv＋mg·2R.
解得v1＝.
从A到B过程中，由动能定理得Fs－μmgs＝mv－0.
解得F＝μmg＋.
17.（10分）如图10所示，轨道ABCD平滑连接，其中AB为光滑的曲面，BC为粗糙水平面，CD为半径为r的内壁光滑的四分之一圆管，管口D正下方直立一根劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定，上端恰好与D端齐平.质量为m的小球在曲面AB上距BC高为3r处由静止下滑，进入管口C端时与圆管恰好无压力作用，通过CD后压缩弹簧，压缩过程中小球速度最大时弹簧弹性势能为Ep.已知小球与水平面BC间的动摩擦因数为μ，求：
图10
（1）水平面BC的长度s；
（2）小球向下压缩弹簧过程中的最大动能Ekm.
答案
（1）
（2）mgr＋－Ep
解析
（1）由小球在C点对轨道没有压力，
有mg＝m
小球从出发点运动到C点的过程中，由动能定理得3mgr－μmg·s＝mv
解得s＝.
（2）速度最大时，小球加速度为0，设弹簧压缩量为x.
由kx＝mg，得x＝
由C点到速度最大时，小球和弹簧构成的系统机械能守恒
设速度最大时的位置为零势能面，有
mv＋mg（r＋x）＝Ekm＋Ep
解得Ekm＝mgr＋－Ep.
18.（12分）如图11所示，绷紧的皮带与水平面的夹角θ＝30°，皮带在电动机的带动下，始终保持v0＝2m/s的速率运行，现把一质量为m＝10kg的工件（可看成质点）轻轻放在皮带的底端，经过时间1.9s，工件被传送到h＝1.5m的高处，取g＝10m/s2，求：
图11
（1）工件与皮带间的动摩擦因数；
（2）电动机由于传送工件多消耗的电能.
答案
（1）
（2）230J
解析
（1）由题图可知，皮带长s＝＝3m.
工件速度达到v0前，做匀加速运动的位移
s1＝t1＝t1，
匀速运动的位移为s－s1＝v0（t－t1），
解得加速运动的时间t1＝0.8s.
加速运动的位移s1＝0.8m，
所以加速度a＝＝2.5m/s2，
由牛顿第二定律有：
μmgcosθ－mgsinθ＝ma，
解得：
μ＝.
（2）从能量守恒的观点看，显然电动机多消耗的电能用于增加工件的动能、势能以及克服皮带与工件之间发生相对位移时摩擦力做功产生的热量.
在时间t1内，皮带运动的位移
s皮＝v0t1＝1.6m，
在时间t1内，工件相对皮带的位移
s相＝s皮－s1＝0.8m，
在时间t1内，摩擦生热
Q＝μmgcosθ·s相＝60J，
工件获得的动能Ek＝mv＝20J，
工件增加的重力势能Ep＝mgh＝150J，
电动机多消耗的电能W＝Q＋Ek＋Ep＝230J.
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