平面向量高考试题含详细答案.docx
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平面向量高考试题含详细答案
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平面向量高考试题含详
细答案
平面向量高考试题精选
（一）
一.选择题（共14小题）
1.（2015河北）设D为△ABC所在平面内一点，前二3五，则（）
a.b-ad^ab--1ac
C・AD^AB-^ACD-AD^AB
2.（2015福建）已知蓝_Ll?
，IAB|=^5IAC|=t»若P点是aABC所在平面内一点，且由二色:
高,则说•沃的最大值等于（）
A.13B.15C.19D.21
3.（2015四川）设四边形ABCD为平行四边形，AB=6,而|=4,若点M、N满足丽二3筋，DN=2NC»则赢•而二（）
A.20B.15C.9D.6
4.（2015安徽）ZiABC是边长为2的等边三角形，已知向量二，E满足获二2三，
AC=2a+b,则下列结论正确的是（）
A.b=1B.a_LbC.ab=lD.（4a+b）-LBC
5.（2015陕西）对任意向量』、b,下列关系式中不恒成立的是（）
A.|a'-bl|a|Ib|B,W|gT引|
C.（a+b）"=a+bD.（0+b）=a--K
6.（2015重庆）若非零向量三，E满足a二，且（/E）J_（3^-2b）,则W与E的夹角为（）
A.—B.—C.更D.n424
7.（2015重庆）已知非零向量型匕满足।b=4|,,且&_L（2a+b）则
目与b的夹角为（）
A.—B.—C.空D.3236
8.（2014湖南）在平面直角坐标系中，0为原点，A（-1,0）,B（0,V3），
C（3,0）,动点D满足CD|=1,5>1]OA+OB+OD的取值范围是（）
A.[4,6]B.[V19-1,^Gl9+1]C.[2^3，2近]D.[V?
-1,祈+1]
9.（2014桃城区校级模拟）设向量彳，1W满足后|二后|二1,a-b=-y=60。
，则|W|的最大值等于（）
A.2B.V3C.V2D.1
10.（2014天津）己知菱形ABCD的边长为2,NBAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上，BE=Xbc,DF=nDC，若近帚1,CECF=贝lj入+h=（）
3
A.1B.2c.至D.工23612
11.（2014安徽）设W,E为非零向量，E=24,两组向量高，工,―高和y,不’了3'y4，均由2个石和2个b排列而成，若47]+7^2+三门+总了4所有可能取值中的最小值为4|之二则』与己的夹角为（）
A.空B.2Lc.2D.0336
12.（2014四川）平面向量短（1,2）,1（4,2）,^ma+b（mGR）,且《与
1的夹角等于《与E的夹角，则m二（）
A.-2B.-1C.1D.2
13.（2014新课标I）设D,E,F分别为aABC的三边BC,CA,AB的中点，贝U
eb+fc=（）
A.ADB.工丽C.BCD.或？
22
14.（2014福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，0为平行四边形ABCD
所在平面内任意一点，则林十根十江+而等于（）
A.OMB.2OMC.3而D.4OT
二.选择题（共8小题）
15.（2013浙江）设有、石为单位向量，非零向量百x[+y7px、yeR.若
£、7；的夹角为30°,则厚的最大值等于.
12Ib|
16.（2013北京）已知点A（1,-1）,B（3,0）,C（2,1）.若平面区域D由所有满足布二人亚+乩疝（1W入W2,OWuWl）的点P组成，则D的面积
为.
17.（2012湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP1BD,垂足为P,且AP=3,则屈.
18.（2012北京）己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则DE■通的值为.
19.（20H天津）已知直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZADC=90°,AD=2,BOI,P是腰DC上的动点，则回十3而|的最小值为.
20.（2010浙江）已知平面向量五，百《声下）满足隋H，且无与百-五的夹角为120°,则1五【的取值范围是.
21.（2010天津）如图，在中，AD_LAB,而二如而，国|二1,则AC'<15=.
22.（2009天津）若等边aABC的边长为2慑，平面内一点M满足在J连+盆，
63
则而■福.
三.选择题（共2小题）
23.（2012上海）定义向量5［二（a,b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx,函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为0比二（a,b）（其中0为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.
（1）设g（x）=3sin（x+—）+4sinx,求证：
g（x）WS；2
（2）已知h（x）=cos（x+a）+2cosx,且h（x）ES,求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a,b）（bWO）为圆C：
（x-2）"y』上一点，向量面的“相伴函数”f（x）在x=x。
处取得最大值.当点M在圆C上运动时，求tan2x。
的取值范围.
2°
24.（2007四川）设R、邑分别是椭圆号+yZl的左、右焦点.
（I）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且西■配二-/求点P的作标；
（II）设过定点M（0,2）的直线1与椭圆交于不同的两点A、B,且NA0B为锐角（其中0为坐标原点），求直线1的斜率k的取值范围.
平面向量高考试题精选
（一）
参考答案与试题解析
一.选择题（共14小题）
1.（2015河北）设D为AABC所在平面内一点，前二3五，则（）
a.b-ad^ab
解：
由己知得到如图
由丽二亚+而」5+!
说=靠K（AC-AB）=而《正；故选：
A.
2.（2015福建）已知而_Ll?
，IAB|=^5IAC|=t»若P点是aABC所在平面内一点，且由二,广高,则说•记的最大值等于（）
A.13B.15C.19D.21解：
由题意建立如图所示的坐标系，
可得A（0,0）,B（X0）,C（0,t）,t
Apg=（1-b-4）,PC=（-1,t-4）,t
•二而•奇-（1-1）-4（t-4）=17-（-l+4t）,
当且仅当f即号时取等号，
・二而•司的最大值为13,故选：
A.
3.（2015四川）设四边形ABCD为平行四边形，屈二6,瓦|=4,若点M、N满
足而二3筋，DN=2NC,则麻■疝二（）
A.20B.15C.9D.6
解：
:
四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足方二3筋，而二2正,
:
•-虹］,
:
AM•1极=AM（M-处）=AT-M•AN，
氤二密+|ab*ad巧师二，
—♦—*,jqr2-•—*
M・用上布-JAIT・AD,
AB=6,ADI=4,
AM•而q斌--^AD2=12-3=9
故选：
C
4.（2015安徽）ZiABC是边长为2的等边三角形，已知向量二，E满足标二2三，
AC=2a+b,则下列结论正确的是（）
A.b=1B.a_LbC.ab=lD.（4a+b）_LBC
解：
因为已知三角形ABC的等边三角形，a»b满足AC=2a+b»又
AC=AB+BC,
所以a=~^AB，b=BC>乙
所以|E|二2,a-b=lX2Xcosl20°=-1,
4a-WXlX2Xcosl20°=-4,铲=4,所以心用+铲二。
，即（自+Z）*）,即
（4a+b）•BC=0»所以（4a+b）1而
故选D
5.（2015陕西）对任意向量三、E,下列关系式中不恒成立的是（）
A.|a'-bl|a|ib|B,W|gT引|
C.（a+b）-=a+b-D.（a+b）（［-=a~b'
解：
选项A」E确，•;a"b：
=abcos,
乂cosWl,/.a•biab恒成立；
选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得I：
-El2||W|-
Ib|；
选项C正确，由向量数量积的运算可得U+E）2=!
a+b选项D正确，由向量数量积的运算可得（W+E）（Z-E）二故选：
B
6.（2015重庆）若非零向量之，E满足a二为2E,且（3
则4与E的夹角为（）
A.—B.—C.在D.n
424
解：
（a-b）-L（3a+2b）,二•（”b）（3a+2b）-0,
R|J3□-2b"~ab=0,
ri1■一♦■——f-fQ-
即nV3万-2b
3
一―2k2
……一百百头丁
3
即Va,1>>二工,4
故选：
A
7.（2015重庆）已知非零向量小匕满足I讨二41&,且
目与b的夹角为（）
A.—B.—C.空D.立3236
解：
由已知非零向量不，匕满足：
2二4；&-且&_1（2&十
a,b的夹角为°，
所以a（2&+b）=°，即2下十总曰8s8=。
，所以cos。
所以8尹；3
a--b，
a■b）-L（3才2b）,
P（2a+b）则
b），设两个非零向量
二-工0G[o,
2
故选C.
8.（2014湖南）在平面直角坐标系中，。
为原点，A（-1,0）,B（0,V3），
C（3,0）,动点D满足CD|=1,RlJOA+OB+OD的取值范围是（）
A.[4,6]B.EV19-hV19+11C.[26，26]D.[诉-1,Vr+1]
]解：
•・•动点D满足|而=1,C（3,0）,
・二可设D（3+cos0,sin。
）（He[0,2n））.
又A（-1,0）,B（0,扬，
OA+OB+OD33（2+cos8,”号周口8）.
JOA+OB+OD=4（2+cosg）气（J5+sin8）24科公-8+2“5sin8二
J8+2V?
sin（8+0），（其中sin（l>=卷,cos（I））
V-l^sin（8+6）Wl,
/.（^7-1）2=8-2A/7sin（0+6）三8+2后（夜+1）?
、
IOA+0B+OD的取值范围是EV7-1，Vt+1].
故选：
D.
9.（2014桃城区校级模拟）设向量彳，1W满足后|二|百二1,。
箕-5=60°，则匕|的最大值等于（）
A.2B.V3C.V2D.1
解：
:
|0|二|b|二1,a•b=_
・・・W,E的夹角为120°,।।a
设水工，而兀，0C二c则瓦，CB=b-c
如图所示
则NA0B=120°；ZACB=60°
ZA0B+ZACB-1800
AA,0,B,C四点共圆
•AB=b-a
••2-*21—t2
••AB=b_2apb+a=3
AB=Vs
由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R二一峰—二2sinZACB
当0C为直径时，模最大，最大为2
故选A
10.（2014天津）己知菱形ABCD的边长为2,NBAD=120°,点E、F分别在边
BC、DC上，XBC,DF=UDC,若油於1,CEC?
=-X则入+U=（）
3
A.1B.C.iD.-L
23612
解：
由题意可得若必?
二（AB+BE）（AD+DF）=而・!
5+而■而+丽・!
5+丽・而=2X2Xcosl20°+AB，口AB+入ADAD+入ADH期-2+4u+4入+入uX2X2Xcosl20°=4入+4u-2人口-2=1,
・・・4入+4u-2Xy=3①.
I•I•I♦I♦I•I.I'I♦'I•'I•'
CECF=-EC（-FC）=EC-FO（1-入）BC（1-u）DC=（1-入）AD（1-u）AB
二（1-入）（1-u）X2X2Xcosl20°=（1-X-u+Xu）（-2）=-2,3
即-入-u+人口=-2②.3-
由①②求得入+H二旦~6
故答案为：
36
11.（2014安徽）设W，E为非零向量，E=24,两组向量高，言，京，高和打，丫2’13’14’均由2个石和2个b排列而成，若4打十三九+^^^+京兀!
所有可能取值中的最小值为4|』）则』与己的夹角为（）
A.空B.三C.三D.0336
解：
由题意，设1与E的夹角为a，
分类讨论可得
a'cosQ=43;满足题意，此时cosa=2.
・•.法与e的夹角为卫.
故选：
B.
12.（2014四川）平面向量全（1,2）,良（4,2）,c=ma+b（m^R）,且W与
W的夹角等于W与E的夹角，则m=（）
A.-2B.-1C.1D.2
解：
:
向量奈（b2）,b=（4,2）,
/•cFma+tF（m+4,2m+2）,
又,/W与』的夹角等于工与E的夹角,
—>—>—>—>
•c.0_c・b
|c|・|aI|c|-|bI
—>—>—>—>•c-a_c
•irrM+2（2nr+2）_4（irrH）+2（2in+2）
Vs2V5'
解得m=2.
故选：
D
13.（2014新课标I）设D,E,F分别为aABC的三边BC,CA,AB的中点，贝ije5+fc=（）
61,♦,♦'1♦'
A.ADB.工ADC.BCD.工BC
22
【解答】解：
TD,E,F分别为aABC的三边BC,CA,AB的中点，
/.EB+FC=（EF+FB）+（FE+EC）二而十丽」（AB+AC）=AD,
2
故选：
A
14.（2014福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，0为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则瓦+而+加+而等于（）
A.OMB.2ONC.3OMD.4OT
解：
:
。
为任意一点，不妨把A点看成0点，则币+而+而+而M+瓦+标+15,
VM是平行四边形ABCD的对角线的交点，.丁十亚十标+/2正=4质
故选：
D.
二.选择题（共8小题）
15.（2013浙江）设有、,为单位向量，非零向量正x^+y7；,x、y£R.若最、£的夹角为30°,则。
的最大值等于2.
12|b|
解：
:
式、W为单位向量,式和耳的夹角等于30°,••・7?
・£=1X1>.非零向量yxq+yc?
，,•b={x?
+2xy与▼言+，7x?
+而xy+y、，
・lx]由一IJ二I!
]1z,
।b।7x2+V3xy+y2Vx2+«xy+y2+
（2）?
故当干一当时，卡举得最大值为2,
故答案为2.
16.（2013北京）已知点A（1,-1）,B（3,0）,C（2,1）.若平面区域D
由所有满足近二人乱十乩蕊（1W入W2,0WuW1）的点P组成，则D的面积为
解：
设P的坐标为（x,y）,则
:
与二入标+乩疝,
14会-当-142
JJ
心⑵1）,叱（1,2）,AP=（x-1,y+1）,
f解之得产1二八+2乩
••TW入W2,OWuWl，，点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部其中C（4,2）,D（6,3）,E（5,1）,F（3,0）
**ICFI（4-3）2+（2-0）
点E（5,1）到直线CF：
2x-y-6=0的距离为三吉9L”
V55
・•・平行四边形CDEF的面积为S=|CF|XcUx咨3,即动点P构成的平面区域5
D的面积为3故答案为：
3
17.（2012湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP1BD,垂足为P,且AP=3,则点-AC"18.
【解答】解：
设AC与BD交于点0,则AO2A0
VAP±BD,AP=3,在RtZXAPO中，A0cosZ0AP=AP=3
ACcosZ0AP=2AOXcosZ0AP=21AP=6,
由向量的数量积的定义可知，屈APACcosZPA0=3X6=18
故答案为：
18
18.（2012北京）己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则
而■废的值为1.
【解答】解：
因为DE・C即DE・DA二成|,|X|cos＜和・XAX?
，
故答案为：
1
19.（2011天津）已知直角梯形ABCD中，如〃BC,ZADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点，则向+3丽I的最小值为5.
解：
如图，以直线DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系，
则A（2,0）,B（1,a）,C（0,a）,D（0,0）
设P（0,b）（OWbWa）
则应二（2,-b）,（1,a-b）,
PA+3PB=（5,3a-4b）
IPA+3PB|=^25+（Sa-4b）5
故答案为5.
20.（2010浙江）已知平面向量五，百（五#I/产下）满足隋H，且无与百-五的夹角为120°,则五的取值范围是（0,苧］.
解：
令用届与\ac=T,如下图所示：
则由叁耳-a，
又丁五与至-五的夹角为120。
，・•・NABC=60°
日二萼sinCW竽
/.\~ae（0,芋］
故I云的取值范围是（0,军］
故答案：
（0,孕
21.（2010天津）如图，在aABC中，AD_LAB,前二仙丽，|15|=b则正•/
V3_-
【解答】解:
AC*AD=|ACHlADlcosZDAC,
V|AD|=1,aAC*AD=|ACH|1d|cos/DAC二|AC|fos/DAC，
**/BAC二*NDAC，二•cosZDAC=sinZBAC,
AC*AD=|ACM1d|cosZDAC=IACI•cos/DK二|AC|sin/BAC,
在△ABC中，由正弦定理得变形得ACsinZBAC=BCsinB,sinBsinZBAC
AC*AD=|ACH|AD|cosZDAC=IAC|•cos/DAC二|AC|sin/BAC,二BCsinB=|BC|・故答案为近.
22.（2009天津）若等边aABC的边长为2谯，平面内一点M满足而二与g+瑞,
63
则而•语-2.
解：
以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得
C（0,0）,A（2V3,O）3B（V3，3）,
•••而二（西3），CA=（273,0），
•・国洞+蓊挈I），
，M挈I），
•*,MA=（*,-；），HB=（-孚’微）'
欣•藤（色，-i）（-区至）=-2.2222
故答案为：
-2.
三.选择题（共2小题）
23.（2012上海）定义向量加二（a,b）的“相伴函数”为f（x）
=asinx+bcosx,函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为0况=（a,b）（其中0为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.
（1）设g（x）=3sin（x+—）+4sinx,求证：
g（x）WS；2
（2）己知h（x）=cos（x+a）+2cosx,且h（x）£S,求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a,b）（bWO）为圆C：
（x-2）上一点，向量质的“相伴函数”f（x）在x=x。
处取得最大值.当点M在圆C上运动时，求tan2x。
的取值范围.
【解答】解：
（1）g（X）=3sin（x+—）+4sinx=4sinx+3cosx,2
其'相伴向量'加二（4,3）,g（x）£S.
（2）h（x）=cos（x+a）+2cosx
=（cosxcosci-sinxsin（i）+2cosx
=-sinasinx+（cosa+2）cosx
J函数h（x）的'相伴向量'OM=（-sina,cosQ+2）.
则0M=7（-sind）—2+（cosQ+2）―^倔荻M•
（3）0儿的'相伴函数'f（x）=asinx+bcosx[,2+b2sin（x+6）,
整+b
当x+6=2kn+工，k《Z时，f（x）取到最大值，故xo=2kn+工-6,kez.22
tanx0=tan（2kn+--6）=cot6=32b
.c_2tanx0_2Xb_2
tan2Xc5•
…2y_q）就
ba°
，0）U（0,
也为直线0M的斜率，由几何意义知:
比[-遇aa3
0）U（0,
令m=—,则tan2x°二一^7,mW[—-,&3
当-亚WmVO时，函数tan2x0二—^单调递减，，0Vtan2x°Wj^31
JID--
IT
当OVmW当时，函数tan2x°二一^y单调递减，A-V3^tan2x0<0.
巾IT
综上所述，tan2x.£[-正，0）U（0,%].
2°
24.（2007四川）设R、邑分别是椭圆号+丫2=1的左、右焦点.
（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且而■配二-/求点P的作标；
（II）设过定点M（0,2）的直线1与椭圆交于不同的两点A、B,且NAOB为锐角（其中。
为坐标原点），求直线1的斜率k的取值范围.
】解：
（I）易知a=2,b=l,c心••・F[（-m，0），F20）.设P（x,y）（x>0,y>0）.
2
则西•丽二（一抵一心_y）（盯—x,-y）=x"/—3二一乂=+，二i，
xr-4/=1x=l厉
联立，2,解得｛2V5，P（匕耳）.
x工2-y=-片下2
百+y=1I4I2
（II）显然x=0不满足题设条件.可设1的方程为y=kx+2,设A（xi，y。
，B
x2
联立T*，=1=>x2H（kx+2）2=4=>（1+4*2）x2+i6kx+12=0
y=kx+2
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