高三数学重点难点函数的极限.docx
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高三数学重点难点函数的极限
高三数学重点难点函数的极限
第三节函数的极限
一、知识归纳
1、知识精讲:
1)当x→∞时函数f(x)的极限:
当自变量x取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作axfx=+∞
→)(lim,(或x→+∞时,f(x)→a)
当自变量x取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作axfx=-∞
→)(lim,(或x→-∞时,f(x)→a)
注:
自变量x→+∞和x→-∞都是单方向的,而x→∞是双向的,故有以下等价命题
=+∞→)(limxfxaxfx=-∞→)(lim⇔axfx=∞
→)(lim2)当x→x0时函数f(x)的极限:
当自变量x无限趋近于常数x0(但x≠x0)时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于x0时,函数f(x)的极限是a,记作axfxx=→)(lim0
(或x→x0时,f(x)→a)
注:
axfxx=→)(lim0
与函数f(x)在点x0处是否有定义及是否等于f(x0)都无关。
3)函数f(x)的左、右极限:
如果当x从点x=x0左侧(即x就说a是函数f(x)的左极限,记作axfxx=-→)(lim0
。
如果当x从点x=x0右侧(即x>x0)无限趋近于x0时,函数f(x)无限趋近于常数a。
就说a是函数f(x)的右极限,记作axfxx=+→)(lim0
。
注:
=-→)(lim0xfxxaxfxx=+→)(lim0⇔axfxx=→)(lim0
。
并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工
具。
注:
极限不存在的三种形态:
①左极限不等于右极限
≠-→)(lim0xfxx)(lim0
xfxx+→;②0xx→时,()±∞→xf,③0xx→时,()→xf的值不唯一。
4)函数极限的运算法则:
与函数极限的运算法则类似,如果,lim,limBbAannnn==∞→∞→那么
BAbannn+=+∞→)(limBAbannn-=-∞
→)(limBAbannn.).(lim=∞→)0(lim≠=∞→BBAban
nn注:
以上规则对于x→∞的情况仍然成立。
2、重点难点:
对函数极限的定义的理解及求简单函数的极限的重点。
思维方法:
直接从常用的重要极限出发,运用函数极限的运算法则解题。
3.几个重要极限:
(1)01
lim
=∞→n
n
(2)CCn=∞→lim(C是常数)
(3)无穷等比数列}{nq(1→qqn
n例1.求下列各极限
220241
(1)lim()42
(2))
(3)limcos(4)lim
cossin22
xxxxxxxx
x
x
π→→∞
→→
-----
解:
(1)原式=lim2→x4
1
21-=+-x
(2)原式=∞
→xlim
bax
abxbaxabxba+=++++++)()(2
(3)因为1||lim
0=+
→xxx,而1||lim0-=-→xxx,≠+
→|
|lim
xxx||lim
0xxx-
→,所以|
|lim
0xxx→不存在。
(4)原式=2
sin2cos2sin2coslim22
2xxxxx--→
π=2)2sin2(coslim2=+→xxxπ(5)0)31(lim=+∞→xx,但-∞→x时,x)31(→+∞。
可知∞→x时,lim∞→xx
)3
1(不存在。
【思维点拨】①解此类问题常用的手段是“消因子”与“因式有理化”。
②第(5)小题易与数列极限lim
∞→nn
)3
1(相混,数列极限∞→n特指+∞→n,而函
数极限的∞→x包括了+∞→x与-∞→x。
例2求下列极限:
222235721
(1)lim()1111nnnnnn→∞+++++++++;11.1242
(2)lim()1393
nnn--→∞++++++++
解:
(1))1
1
2171513(
lim2222+++++++++∞→nnnnnn
2
2222
2[3(21)]
1357(21)22limlimlimlim111111nnnnnnnnnnnnnn
→∞→∞→∞→∞+++++++++=====++++
(2)
11212[()]
1242212(21)33lim()limlimlim011
139331(31)123
nnnnnnnnnnnnn--→∞→∞→∞→∞-++++--====++++---()()()0
320203
(1)0(0)():
120
()4()
(2)(),1,5,()xxbxfxxfxxfxxfxfxfxxx
→→∞→⎧+>⎪
==⎨⎪+>⎩-==xxx例设试确定b的值,使lim存在为多项式且limlim求的表达式解:
(1)+→0limxf(x)=+→0limx(2x+b)=b,-→0limxf(x)=-
→0
limx(1+2x
)=2,当且仅当b=2时,+→0
limxf(x)=-
→0
limxf(x),故b=2时,原极限存在.
(2)由于f(x)是多项式,且∞→xlimx
xxf3
4)(-=1,
∴可设f(x)=4x3+x2
+ax+b(a、b为待定系数).
又∵0lim→xx
xf)
(=5,
即0lim→x(4x2+x+a+x
b
)=5,∴a=5,b=0,即f(x)=4x3+x2+5x.
评述:
(1)函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同.
(2)初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.
练习:
设⎪⎩
⎪
⎨⎧<+=>+=0,10,00,)(xexxbaxxfx,问a,b为何值时,)(lim0
xfx→存在。
解:
bbaxxfxx=+=++→→)(lim)(lim0
2)1(lim)(lim00=+=-
-→→xxxexf。
当b=2时有)(lim)(lim0
0xfxfxx-+→→=,与a无关。
故当b=2,a为任何实数时,)(lim0
xfx→存在。
【思维点拨】)(lim0
xfxx→存在⇔=-→)(lim0xfxx)(lim0
xfxx+
→
4.(0),xx→∞∙≤<∞2n
2n
n1-x例讨论函数f(x)=的连续性1+x并作出函数图象
lim
部析:
应先求出f(x)的解析式,再判断连续性.
解:
当0≤x<1时,f(x)=∞→nlim⋅+-n
n
xx2211x=x;
当x>1时,f(x)=∞→nlim
n
n
xx2211+-·x=∞→nlim11
1122+-n
n
xx·x=-x;
当x=1时,f(x)=0.
∴f(x)=⎪⎩
⎪
⎨⎧>-=<≤).
1(),
1(0
),
10(xxxxxi∵+→1
limxf(x)=+→1
limx(-x)=-1,-→1
limxf(x)=-
→1
limxx=1,∴1
lim→xf(x)不存在.
∴f(x)在x=1处不连续,f(x)在定义域内的其余点都连续.图象如下图所示.
评述:
.
例5:
已知,2
2
lim22
nxmxxx=+++-→求nm,
解法一:
2
2lim22
nxmxxx=+++-→2-=∴x为方程022=++mxx的一根,得3=m,代人可得1-=n
解法二:
)2(lim2
2++-→mxxx=()=++++-→222lim22xmxxxx()002
2lim2lim22
2=⋅=+++⋅+-→-→nxmxxxxx()()302222
=⇒=+-+-∴mm,代人可得1-=n
例6:
)(xf为多项式,且5)(lim,14)(lim023==-→∞→xxfx
xxfxx,求)(xf。
解:
∵)(xf是多项式,且14)(lim23=-∞→x
xxfx,∴baxxxxf++=-234)(,ba,为待定系数,即baxxxxf+++=234)(,又5)(lim
=→xxfx,即5)4(lim20=+++→xb
axxx,∴⎩⎨⎧==0
5ba,
即xxxxf54)(23++=。
【思维点拨】待定系数法是求函数解析式的常用方法。
三、课堂小结
小结:
有限个函数的和(或积)的极限等于这些函数的和(或积);两个(或几个)函数的极限至少有一个不存在时,他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.在求几个函数的和(或积)的极限时,一般要化简,再求极限.求函数的极限要掌握几种基本的方法.①代入法;②因式分解法;③分子、分母同除x的最高次幂;④有理化法四、布置作业