高三数学重点难点函数的极限.docx
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高三数学重点难点函数的极限
高三数学重点难点函数的极限
第三节函数的极限
一、知识归纳
1、知识精讲:
1）当x→∞时函数f（x）的极限:
当自变量x取正值并且无限增大时,如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时,函数f（x）的极限是a,记作axfx=+∞
→）（lim,（或x→+∞时,f（x）→a）
当自变量x取负值并且无限增大时,如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时,函数f（x）的极限是a,记作axfx=-∞
→）（lim,（或x→-∞时,f（x）→a）
注:
自变量x→+∞和x→-∞都是单方向的,而x→∞是双向的,故有以下等价命题
=+∞→）（limxfxaxfx=-∞→）（lim⇔axfx=∞
→）（lim2）当x→x0时函数f（x）的极限:
当自变量x无限趋近于常数x0（但x≠x0）时,如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于x0时,函数f（x）的极限是a,记作axfxx=→）（lim0
（或x→x0时,f（x）→a）
注:
axfxx=→）（lim0
与函数f（x）在点x0处是否有定义及是否等于f（x0）都无关。
3）函数f（x）的左、右极限:
如果当x从点x=x0左侧（即x就说a是函数f（x）的左极限,记作axfxx=-→）（lim0
。
如果当x从点x=x0右侧（即x>x0）无限趋近于x0时,函数f（x）无限趋近于常数a。
就说a是函数f（x）的右极限,记作axfxx=+→）（lim0
。
注:
=-→）（lim0xfxxaxfxx=+→）（lim0⇔axfxx=→）（lim0
。
并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工
具。
注:
极限不存在的三种形态:
①左极限不等于右极限
≠-→）（lim0xfxx）（lim0
xfxx+→;②0xx→时,（）±∞→xf,③0xx→时,（）→xf的值不唯一。
4）函数极限的运算法则:
与函数极限的运算法则类似,如果,lim,limBbAannnn==∞→∞→那么
BAbannn+=+∞→）（limBAbannn-=-∞
→）（limBAbannn.）.（lim=∞→）0（lim≠=∞→BBAban
nn注:
以上规则对于x→∞的情况仍然成立。
2、重点难点:
对函数极限的定义的理解及求简单函数的极限的重点。
思维方法:
直接从常用的重要极限出发,运用函数极限的运算法则解题。
3.几个重要极限:
（1）01
lim
=∞→n
n
（2）CCn=∞→lim（C是常数）
（3）无穷等比数列}{nq（1→qqn
n例1.求下列各极限
220241
（1）lim（）42
（2））
（3）limcos（4）lim
cossin22
xxxxxxxx
x
x
π→→∞
→→
-----
解:
（1）原式=lim2→x4
1
21-=+-x
（2）原式=∞
→xlim
bax
abxbaxabxba+=++++++）（）（2
（3）因为1||lim
0=+
→xxx,而1||lim0-=-→xxx,≠+
→|
|lim
xxx||lim
0xxx-
→,所以|
|lim
0xxx→不存在。
（4）原式=2
sin2cos2sin2coslim22
2xxxxx--→
π=2）2sin2（coslim2=+→xxxπ（5）0）31（lim=+∞→xx,但-∞→x时,x）31（→+∞。
可知∞→x时,lim∞→xx
）3
1（不存在。
【思维点拨】①解此类问题常用的手段是“消因子”与“因式有理化”。
②第（5）小题易与数列极限lim
∞→nn
）3
1（相混,数列极限∞→n特指+∞→n,而函
数极限的∞→x包括了+∞→x与-∞→x。
例2求下列极限:
222235721
（1）lim（）1111nnnnnn→∞+++++++++;11.1242
（2）lim（）1393
nnn--→∞++++++++
解:
（1））1
1
2171513（
lim2222+++++++++∞→nnnnnn
2
2222
2[3（21）]
1357（21）22limlimlimlim111111nnnnnnnnnnnnnn
→∞→∞→∞→∞+++++++++=====++++
（2）
11212[（）]
1242212（21）33lim（）limlimlim011
139331（31）123
nnnnnnnnnnnnn--→∞→∞→∞→∞-++++--====++++---（）（）（）0
320203
（1）0（0）（）:
120
（）4（）
（2）（）,1,5,（）xxbxfxxfxxfxxfxfxfxxx
→→∞→⎧+>⎪
==⎨⎪+>⎩-==xxx例设试确定b的值,使lim存在为多项式且limlim求的表达式解:
（1）+→0limxf（x）=+→0limx（2x+b）=b,-→0limxf（x）=-
→0
limx（1+2x
）=2,当且仅当b=2时,+→0
limxf（x）=-
→0
limxf（x）,故b=2时,原极限存在.
（2）由于f（x）是多项式,且∞→xlimx
xxf3
4）（-=1,
∴可设f（x）=4x3+x2
+ax+b（a、b为待定系数）.
又∵0lim→xx
xf）
（=5,
即0lim→x（4x2+x+a+x
b
）=5,∴a=5,b=0,即f（x）=4x3+x2+5x.
评述:
（1）函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同.
（2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.
练习:
设⎪⎩
⎪
⎨⎧<+=>+=0,10,00,）（xexxbaxxfx,问a,b为何值时,）（lim0
xfx→存在。
解:
bbaxxfxx=+=++→→）（lim）（lim0
2）1（lim）（lim00=+=-
-→→xxxexf。
当b=2时有）（lim）（lim0
0xfxfxx-+→→=,与a无关。
故当b=2,a为任何实数时,）（lim0
xfx→存在。
【思维点拨】）（lim0
xfxx→存在⇔=-→）（lim0xfxx）（lim0
xfxx+
→
4.（0）,xx→∞∙≤<∞2n
2n
n1-x例讨论函数f（x）=的连续性1+x并作出函数图象
lim
部析:
应先求出f（x）的解析式,再判断连续性.
解:
当0≤x<1时,f（x）=∞→nlim⋅+-n
n
xx2211x=x;
当x>1时,f（x）=∞→nlim
n
n
xx2211+-·x=∞→nlim11
1122+-n
n
xx·x=-x;
当x=1时,f（x）=0.
∴f（x）=⎪⎩
⎪
⎨⎧>-=<≤）.
1（）,
1（0
）,
10（xxxxxi∵+→1
limxf（x）=+→1
limx（-x）=-1,-→1
limxf（x）=-
→1
limxx=1,∴1
lim→xf（x）不存在.
∴f（x）在x=1处不连续,f（x）在定义域内的其余点都连续.图象如下图所示.
评述:
.
例5:
已知,2
2
lim22
nxmxxx=+++-→求nm,
解法一:
2
2lim22
nxmxxx=+++-→2-=∴x为方程022=++mxx的一根,得3=m,代人可得1-=n
解法二:
）2（lim2
2++-→mxxx=（）=++++-→222lim22xmxxxx（）002
2lim2lim22
2=⋅=+++⋅+-→-→nxmxxxxx（）（）302222
=⇒=+-+-∴mm,代人可得1-=n
例6:
）（xf为多项式,且5）（lim,14）（lim023==-→∞→xxfx
xxfxx,求）（xf。
解:
∵）（xf是多项式,且14）（lim23=-∞→x
xxfx,∴baxxxxf++=-234）（,ba,为待定系数,即baxxxxf+++=234）（,又5）（lim
=→xxfx,即5）4（lim20=+++→xb
axxx,∴⎩⎨⎧==0
5ba,
即xxxxf54）（23++=。
【思维点拨】待定系数法是求函数解析式的常用方法。
三、课堂小结
小结:
有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）;两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时,他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.在求几个函数的和（或积）的极限时,一般要化简,再求极限.求函数的极限要掌握几种基本的方法.①代入法;②因式分解法;③分子、分母同除x的最高次幂;④有理化法四、布置作业
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