高三数学重点难点函数的极限.docx

1、高三数学重点难点函数的极限高三数学重点难点函数的极限第三节 函数的极限一、知识归纳1、知识精讲:1)当x 时函数f(x)的极限:当自变量x 取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =+)(lim ,(或x +时,f(x)a)当自变量x 取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于负无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =-)(lim ,(或x -时,f(x)a)注:自变量x +和x -都是单方向的,而x 是双向的,故有以下等价命题=+)(lim x f

2、 x a x f x =-)(lim a x f x =)(lim 2)当x x 0时函数f(x)的极限:当自变量x 无限趋近于常数x 0(但x x 0)时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋向于x 0时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x x =)(lim 0,(或x x 0时,f(x)a)注:a x f x x =)(lim 0与函数f (x )在点x 0处是否有定义及是否等于f (x 0)都无关。3)函数f(x)的左、右极限:如果当x 从点x=x 0左侧(即x x 0)无限趋近于x 0时,函数f(x)无限趋近于常数a 。就说a 是函数f(x)的右极限,记作a

3、x f x x =+)(lim 0。注:=-)(lim 0x f x x a x f x x =+)(lim 0a x f x x =)(lim 0。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。注:极限不存在的三种形态:左极限不等于右极限-)(lim 0x f x x )(lim 0x f x x +; 0x x 时,()x f ,0x x 时,()x f 的值不唯一。4)函数极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n =那么B A b a n n n +=+)(lim B A b a n n n -=-)(l i m B A b

4、 a n n n .).(lim = )0(l i m =B B A b a nn n 注:以上规则对于x 的情况仍然成立。2、重点难点:对函数极限的定义的理解及求简单函数的极限的重点。思维方法:直接从常用的重要极限出发,运用函数极限的运算法则解题。3.几个重要极限:(1)01lim=nn (2)C C n =lim (C 是常数)(3)无穷等比数列n q (1q )的极限是0,即 )1(0lim =+-=x x x 例设试确定b 的值,使lim 存在为多项式且lim lim 求的表达式解:(1)+0lim x f (x )= +0lim x (2x +b )=b ,-0lim x f (x

5、)= -0lim x (1+2x)=2, 当且仅当b =2时, +0lim x f (x )= -0lim x f (x ), 故b =2时,原极限存在.(2)由于f (x )是多项式,且x lim xx x f 34)(-=1,可设f (x )=4x 3+x 2+ax +b (a 、b 为待定系数).又0lim x xx f )(=5,即0lim x (4x 2+x +a +xb)=5, a =5,b =0,即f (x )=4x 3+x 2+5x .评述:(1)函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同. (2)初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求

6、极限就是求函数值,使极限运算大大简化.练习:设+=0,10,00,)(x e x x b ax x f x ,问a ,b 为何值时,)(lim 0x f x 存在。解:b b ax x f x x =+=+)(lim )(lim 0,2)1(lim )(lim 00=+=-x x x e x f 。当b=2时有)(lim )(lim 00x f x f x x -+=,与a 无关。故当b=2,a 为任何实数时,)(lim 0x f x 存在。【思维点拨】)(lim 0x f x x 存在=-)(lim 0x f x x )(lim 0x f x x +4.(0),x x 2n2nn 1-x 例

7、讨论函数f(x)=的连续性1+x 并作出函数图象lim部析:应先求出f (x )的解析式,再判断连续性.解:当0x 1时,f (x )= n limnnx x 2211+-x =n lim 111122+-nnx x x =-x ;当x =1时,f (x )=0.f (x )=-=).1(),1(0),10(x x x x x i +1lim x f (x )=+1lim x (-x )=-1,-1lim x f (x )= -1lim x x =1, 1lim x f (x )不存在.f (x )在x =1处不连续,f (x )在定义域内的其余点都连续. 图象如下图所示.评述:.例5:已知,

8、22lim 22n x mx x x =+-求n m ,解法一: ,22lim 22n x mx x x =+-2-=x 为方程022=+mx x 的一根,得3=m , 代人可得1-=n解法二:)2(lim 22+-mx x x =()=+-222lim 22x mx x x x ()0022lim 2lim 222=+-n x mx x x x x ()()302222=+-+-m m ,代人可得1-=n例6:)(x f 为多项式,且5)(lim ,14)(lim 023=-x x f xx x f x x ,求)(x f 。 解:)(x f 是多项式,且14)(lim 23=-xx x f

9、 x ,b ax x x x f +=-234)(,b a ,为待定系数,即b ax x x x f +=234)(,又5)(lim=x x f x ,即5)4(lim 20=+x ba x x x ,=05b a ,即x x x x f 54)(23+=。【思维点拨】待定系数法是求函数解析式的常用方法。三、课堂小结小结 :有限个函数的和(或积)的极限等于这些函数的和(或积);两个(或几个)函数的极限至少有一个不存在时,他们的和、差、积、商的极限不一定不存在. 在求几个函数的和(或积)的极限时,一般要化简,再求极限 .求函数的极限要掌握几种基本的方法.代入法;因式分解法;分子、分母同除x 的最高次幂;有理化法 四、布置作业