初二教师第6讲矩形.docx
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初二教师第6讲矩形
第6讲矩形、菱形、正方形
【基础知识概述】
（一）【知识框架】
（二）【几种特殊四边形的性质】
边
角
对角线
平行
四边形
对边平行且相等
对角相等
两条对角线互相平分
矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
两条对角线互相平分且相等
菱形
对边平行
四边相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
正方形
对边平行
四边相等
四个角都是直角
两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
（三）【几种特殊四边形的常用判定方法】
平行
四边形
（1）两组对边分别平行；
（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等；（4）两条对角线互相平分；（5）两组对角分别相等。
矩形
（1）有三个是直角；
（2）是平行四边形且有一个角是直角；
（3）是平行四边形且两条对角线相等。
菱形
（1）四条边都相等；
（2）是平行四边形且有一组邻边相等；
（3）是平行四边形且两条对角线互相垂直。
正方形
（1）是矩形，且有一组邻边相等；
（2）是菱形，且有一个角是直角。
（四）【几个重要结论】
1．两平行线间的距离处处相等．
2．同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等．
3．同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
4．菱形的面积等于两对角线乘积的一半．
5．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
6．直角三角形中，如果有一个锐角等于30°,那么30°所对的直角边等于斜边的一半．
【重、难点高效突破】
例1、在矩形ABCD中DF平分∠ADC，交AC于E，交BC于F，∠BDF
=15°，求∠COF的度数。
例2、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8。
将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处。
（1）求EF的长；
（2）求梯形ABCE的面积。
如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8。
将矩形ABCD沿CE折叠后,使点D恰好落在对角线AC上的点F处。
求
解：
CF=CD=AB=6
所
AC=√（6^2+8^2）=10
所
AF=AC-CF=10-6=4
设DE=X,则EF=XAE=8-X
因
角AFE=90
所
AE^2=AF^2+EF^2
所
（8-X）^2=16+X^2
解得X=3
所
DE=3
所
三角形DEC
面积
9
所
梯形ABCE面积
39
解：
∵△EFC是由△EDC沿CE折叠后产生的，
∴EF＝ED，FC＝DC，∠EFC＝90°，在矩形ABCD中CD＝AB＝6，AD＝BC＝8
∴AC＝√（AB²＋BC²）＝√（6²＋8²）＝10
又∵FC＝DC＝6
∴AF＝AC－FC＝4
在△AFE与△ADC中，∠AFE＝∠ADC＝90°，∠FAE＝∠DAC，
∴△AFE∽△ADC
∴AF/AD＝EF/DC
即4/8＝EF/6
∴EF＝3
又∵EF＝ED
∴ED＝EF＝3
∴AE＝8－3＝5，S梯形ABCE＝（5＋8）×6÷2＝39
例3、如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，求MP+NP的最小值。
5
练习：
如图，点P是边长为4的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，∠BAD=60°，点M是AB边上的中点，
求MP+BP的最小值。
取AD中点N则PN=PM∴MP+BP=NP+BP画图观察可得当N、P、B三点共线时（不共线时三点构成三角形显然两边和NP+BP大于第三边NB）NP+BP取得最小值为NB∵∠BAD=60ºAN=2AB=4∴NB²=AN²+AB²-2*AN*AB*cos60º=4+16-8=12∴NB=2√3即:
MP+BP的最小值为2√3
例4、求证：
等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高。
练习：
求证：
等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离差等于一腰上的高。
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一、填空、选择
1．矩形ABCD的边AB的中点为P，且∠DPC为直角，则AD：
BA＝．
2．已知矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点，∠AOB=2∠BOC，AC=18cm，则AD=cm.
3.矩形的边长为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分为___________.
4．菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=10cm，则AC=________cm．
5．若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a时，周长为________．
6．若菱形的两条对角线的比为3：
4，且周长为20cm，它的一组对边的距离为2.4cm，它的两条对角线的长分别为_____________．
7．已知正方形的一条对角线长为4cm，则它的面积是________cm2．
8.E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，CE＝CA，AE交CD于F，则∠AFC＝____.
9.下列说法中正确的是（）
A.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.四个角都相等的四边形是矩形
C.菱形的对角线相等且每条对角线平分一组对角
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
10.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）
A.对角线互相平分B.对角线相等
C.对角线互相平分且相等D.对角线互相垂直
家庭作业
1.等边△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是______.
2.正方形ABCD中，ＡＢ＝
，点E、F分别在ＢＣ、ＣＤ上，∠BAE＝30°,∠DAF＝15°,则△AEF的面积为_____________.
3、（2010菏泽）如图，在直线a上依次摆放着七个正方形，已知斜放的三个正方形的面积分别为1、2、3。
则
。
正放置的正方形间与斜放置的正方形间夹的两个直角三角形全等第一个直角三角形,竖直边为第一个正方形边,横直边为第2个正方形边长,依次类推,再利用勾股弦定理知S1+S2=1,S2+S3=2,S3+S4=3则S1+S2+S3+S4=1+3=4
4．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P为AB上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，求：
PE+PC的值。
.
若题中“PF垂直BD于F”过A做AG//BD，过P做PG垂直AG于G因为矩形ABCD所以角ADB=角DAC因为AG//BD所以角GAD=角DAC因为PE垂直AC，PG垂直AG所以PE=PG因为PF垂直BD，PG垂直AG所以G，P，F在同一直线上，且GF是点A到BD的距离因为矩形ABCD所以角DAB=90度因为AB=3,AD=4所以BD=5因为三角形DAB的面积=1/2AB*AD=1/2BD*GF所以GF=12/5因为GF=PG+PF，PE=PG所以GF=PE+PF因为GF=12/5所以PE+PF=12/5
1.在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,将矩形ABCD沿CE折叠后,使点D恰好在AC上的F处.
1.求EF的长.2.求梯形ABCE面积.请给出详细步骤.
∵AB=6,BC=8∴AC=10∵CD=-CF∴AF=4三角形AEC面积＝4*10/2＝20，∵三角形面积AEF：
三角形面积CEF＝4：
6∴三角形面积CEF＝12∴EF＝4∵三角形面积CEF＝三角形面积CED＝12，矩形ABCD面积＝6*8＝48∴梯形ABCE面积＝矩形ABCD面积-三角形面积CED＝48-12＝36
1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，
BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H
，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合。
（1）求证：
△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的长。
解：
（1）∵△BDC′由△BDC翻折而成，
∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，
∴∠ABG=∠ADE，
在：
△ABG≌△C′DG中，
∵
，
∴△ABG≌△C′DG；
（2）∵由
（1）可知△ABG≌△C′DG，
∴GD=GB，
∴AG+GB=AD，
设AG=x，则GB=8﹣x，
在Rt△ABG中，
∵AB2+AG2=BG2，
即62+x2=（8﹣x）2，
解得x=
，
∴tan∠ABG=
=
=
；
（3）∵△AEF是△DEF翻折而成，
∴EF垂直平分AD，
∴HD=
AD=4，
∴tan∠ABG=tan∠ADE=
，
∴EH=HD×
=4×
=
，
∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，
∴HF是△ABD的中位线，
∴HF=
AB=
×6=3，
∴EF=EH+HF=
+3=
。
2.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长
∵AB=6,BC=8∴AC=10
∵CD=-CF∴AF=4
三角形AEC面积＝4*10/2＝20
∵三角形面积AEF：
三角形面积CEF＝4：
6∴三角形面积CEF＝12∴EF＝4
39如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长。
解：
（1）由题意可知，△CDE≌△CFE∴∠CFE=∠CDE=Rt∠，EF=ED。
∴△AEF∽△ACD∴AE:
AC=EF:
CD（AD－ED）:
AC=ED:
CD在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²=6²+8²=36+64=100∴AC=10（AD－ED）:
AC=ED:
CD变为（8－ED）:
10=ED:
6解得ED=3所以EF=3
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