完整版高等数学电子版.docx
《完整版高等数学电子版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版高等数学电子版.docx（164页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
完整版高等数学电子版
一、函数与极限··················································21、会集的看法··············································22、常量与变量··············································32、函数··················································43、函数的简单性态············································44、反函数···················································55、复合函数··················································66、初等函数··················································67、双曲函数及反双曲函数······································78、数列的极限··············································89、函数的极限··············································910、函数极限的运算规则·····································11
一、函数与极限
1、会集的看法
一般地我把研究象称元素，把一些元素成的体叫会集（称集）。
会集拥有确定性（定会集的元素必是确定的）和互异性（定会集中的元素是互不同样的）。
比方“身材高的人”不能够
组成会集，因它的元素不是确定的。
若是
我平时用大字拉丁字母A、B、C、⋯⋯表示会集，用小写拉丁字母a、b、c⋯⋯表示会集中的元素。
a是会集A中的元素，就a属于A，作：
a∈A，否就a不属于A，作：
aA。
⑴、全体非整数成的会集叫做非整数集（或自然数集）。
作
N
⑵、所有正整数成的会集叫做正整数集。
作N+或N+。
⑶、全体整数成的会集叫做整数集。
作Z。
⑷、全体有理数成的会集叫做有理数集。
作Q。
⑸、全体数成的会集叫做数集。
作R。
会集的表示方法
⑴、列法：
把会集的元素一一列出来，并用“｛｝”括起来表示会集
⑵、描述法：
用会集所有元素的共同特点来表示会集。
会集的基本关系
⑴、子集：
一般地，于两个会集A、B，若是会集A中的任意一个元素都是会集
B的元素，我就
A、B有包括关系，称会集
A会集B的子集，作A
B（或B
A）。
。
⑵相等：
怎样会集A是会集B的子集，且会集B是会集A的子集，此会集A中的元素与会集B中
的元素完满一，所以会集
A与会集B相等，作A＝B。
⑶、真子集：
怎样会集
A是会集B的子集，但存在一个元素属于
B但不属于A，我称会集A是会集
B的真子集。
⑷、空集：
我把不含任何元素的会集叫做空集。
作，并定，空集是任何会集的子集。
⑸、由上述会集之的基本关系，能够获取下边的：
①、任何一个会集是它自己的子集。
即AA
②、于会集A、B、C，若是A是B的子集，B是C的子集，A是C的子集。
③、我能够把相等的会集叫做“等集”，的子集包括“真子集”和“等集”。
会集的基本运算
⑴、并集：
一般地，由所有属于会集A或属于会集B的元素成的会集称A与B的并集。
作A
∪B。
（在求并集，它的公共元素在并集中只能出一次。
）
即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。
⑵、交集：
一般地，由所有属于会集A且属于会集B的元素成的会集称A与B的交集。
作A
∩B。
即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。
⑶、集：
①全集：
一般地，若是一个会集含有我所研究中所涉及的所有元素，那么就称个会集全集。
平时作U。
②集：
于一个会集A，由全集U中不属于会集A的所有元素成的会集称会集A相于全集U
的集。
称会集A的集，作CUA。
即CUA＝｛x|x∈U，且xA｝。
会集中元素的个数
⑴、有限集：
我把含有有限个元素的会集叫做有限集，含有无量个元素的会集叫做无量集。
⑵、用card来表示有限集中元素的个数。
比方A＝｛a,b,c｝，card（A）=3。
⑶、一般地，任意两个会集A、B，有
card（A）+card（B）=card（A∪B）+card（A∩B）
我的：
1、学校里开运会，A＝｛x|x是参加一百米跑的同学｝，B＝｛x|x是参加二百米跑的同学｝，C
＝｛x|x是参加四百米跑的同学｝。
学校定，每个参加上述比的同学最多只能参加两，你用会集的
运算明定，并解以下会集运算的含。
⑴、A∪B；⑵、A∩B。
2、在平面直角坐系中，会集C＝{（x,y）|y=x}表示直y＝x，从个角度看，会集D={（x,y）|方程：
2x-y=1,x+4y=5}表示什么？
会集C、D之有什么关系？
分用会集言和几何言明种关系。
3、已知会集A={x|1≤x≤3}，B＝{x|（x-1）（x-a）=0}。
判断B可否是A的子集？
可否存在数a使A
＝B建立？
4、于有限会集A、B、C，能不能够找出三个会集中元素个数与交集、并集元素个数之的关系呢？
5、无量会集A＝｛1，2，3，4，⋯，n，⋯｝，B＝｛2，4，6，8，⋯，2n，⋯｝，你能一种比
两个会集中元素个数多少的方法？
2、常量与量
⑴、量的定：
我在察某一象的程，经常会遇到各种不同样的量，其中有的量在程中不
起化，我把其称之常量；有的量在程中是化的，也就是能够取不同样的数，我把其称之
量。
注：
在程中有一种量，它然是化的，但是它的化相于所研究的象是极其渺小的，我
把它看作常量。
⑵、量的表示：
若是量的化是的，常用区来表示其化范。
在数上来，
指介于某两点之的段上点的全体。
区的名称区的足的不等式区的号区在数上的表示
区是
区
a≤x≤b
[a，b]
开区
a＜x＜b
（a，b）
半开区a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）
以上我所述的都是有限区，除此之外，有无量区：
[a，+∞）：
表示不小于a的数的全体，也可：
a≤x＜+∞；
（-∞，b）：
表示小于b的数的全体，也可：
-∞＜x＜b；
（-∞，+∞）：
表示全体数，也可：
-∞＜x＜+∞
注：
其中-∞和+∞，分作"无大"和"正无大",它不是数,是号。
⑶、域：
α与δ是两个数，且δ＞0.足不等式│x-α│＜δ的数x的全体称点α的
δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
2、函数
⑴、函数的定义：
若是当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y依照必然的法规f总有确
定的数值与它对应，则称y是x的函数。
变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。
平时x叫做自变量，y
叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。
注：
为了表示y是x的函数，我们用
记号y=f（x）、y=F（x）等等来表示。
这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法规即函数关系,它们是能够
任意采用不同样的字母来表示的。
若是自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它
对应，这类函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。
这里我们只谈论单值函数。
⑵、函数相等
由函数的定义可知，一个函数的组成要素为：
定义域、对应关系和值域。
由于值域是由定义域和对应
关系决定的，所以，若是两个函数的定义域和对应关系完满一致，我们就称两个函数相等。
⑶、域函数的表示方法
a）：
解析法：
用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。
例：
直角坐标系中，
222
b）：
表格法：
将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。
例：
在
实质应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c）：
图示法：
用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。
一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
例：
直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：
3、函数的简单性态
⑴、函数的有界性：
若是对属于某一区间
I
的所有
x值总有│f（x）
│≤M建立，其中
M是一个与
x没关
的常数，那么我们就称f（x）在区间I有界，否则便称无界。
注：
一个函数，若是在其整个定义域内有界，则称为有界函数
例题：
函数cosx在（-∞,+∞）内是有界的.
⑵、函数的单调性
：
若是函数
在区间（a,b）
内随着
x增大而增大，即：
关于
（a,b）
内任意两点
x1
及x2，当
x1＜x2时，有
，则称函数
在区间（a,b）
内是单调增加的。
若是函数
在区间（a,b）
内随着
x增大而减小，即：
关于（a,b）
内任意两点
x1及x2，当x1＜x2时，有
，
则称函数
在区间（a,b）
内是单调减小的。
例题：
函数=x2在区间（-∞,0）上是单调减小的，在区间（0,+∞）上是单调增加的。
⑶、函数的奇偶性
若是函数关于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数；若是函数
关于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。
注：
偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。
⑷、函数的周期性
关于函数
，若存在一个不为零的数
l，使得关系式
关于定义域内任何
x值都
建立，则
叫做周期函数，l
是
的周期。
注：
我们说的周期函数的周期是指最小正周期。
例题：
函数
是以
2π为周期的周期函数；函数
tgx
是以π为周期的周期函数。
4、反函数
⑴、反函数的定义：
设有函数
，若变量
y在函数的值域内任取一值
y0时，变量
x在函数的
定义域内必有一值x0与之对应，即，那末变量x是变量y的函数.这个函数用来表
示，称为函数的反函数.
注：
由此定义可知，函数
也是函数
的反函数。
⑵、反函数的存在定理：
若
上确定，且严格增（减）.
注：
严格增（减）即是单调增
（减）
在（a，b）上严格增
（减），其值域为
R，则它的反函数必然在
R
例题：
y=x2，其定义域为（-∞,+∞），值域为[0,+∞）.关于y取定的非负值,可求得加条件，由y的值就不能够唯一确定x的值，也就是在区间（-∞,+∞）上，函数不是严格增
x=±.若我们不（减），故其没有反
函数。
若是我们加上条件，要求
x≥0，则对
y≥0、x=
就是
y=x2在要求
x≥0时的反函数。
即是：
函数
在此要求下严格增（减）.
⑶、反函数的性质：
在同一坐标平面内，
与
的图形是关于直线
y=x
对称的。
例题：
函数
与函数
互为反函数，则它们的图形在同素来角坐标系中是关于直线
y=x对称的。
如右图所示：
5、复合函数
复合函数的定义：
若
y是u的函数：
，而
u又是
x的函数：
，且
的函数
值的所有或部分在
的定义域内，那末，
y经过
u的联系也是
x的函数，我们称后一个函数是由函数
及复合而成的函数，简称复合函数，记作
，其中
u叫做中间变量。
注：
其实不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以够由更多函数组成。
例题：
函数
与函数
是不能够复合成一个函数的。
由于关于
的定义域
（-
∞,+∞）中的任何
x值所对应的
u值（都大于或等于
2），使
都没有定义。
6、初等函数
⑴、基本初等函数：
我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：
指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。
下边我们用表格来把它们总结一下：
函
数
函数的记号
函数的图形
函数的性质
名
称
指
数
a）:
无论x为什么值,y总为正数;
函
b）:
当x=0时,y=1.
数
对
a）:
其图形总位于y轴右侧,并过
（1,0）
点
数
b）:
当a＞1时,在区间（0,1）的值为
函
负；在区间（-,+∞）的值为正；在定义
数
域内单调增.
令a=m/n
a）:
当m为偶数n为奇数时,y是偶函
幂
数;
函
a为任意实数b）:
当m,n都是奇数时,y是奇函数;
数
c）:
当m奇n偶时,y在（-∞,0）没心
这里只画出部分函数图形的一
义.
部分。
a）:
正弦函数是以2π为周期的周期
三
函数
角（正弦函数）b）:
正弦函数是奇函数且
函
这里只写出了正弦函数
数
反
三
a）:
由于此函数为多值函数
所以我
角
（反正弦函数）
们此函数值限制在[-π/2,π/2]上,
函这里只写出了反正弦函数
并称其为反正弦函数的主值.
数
⑵、初等函数：
由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生而且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.
例题：
是初等函数。
7、双曲函数及反双曲函数
⑴、双曲函数：
在应用中我们经常遇到的双曲函数是：
（用表格来描述
函数的
函数的表达式函数的图形
名称
）
函数的性质
a）：
其定义域为:
（-∞,+∞）；
双曲正
b）：
是奇函数；
弦
c）：
在定义域内是单调增
a）：
其定义域为:
（-∞,+∞）；
双曲余
b）：
是偶函数；
弦
c）：
其图像过点（0,1）；
a）：
其定域:
（-∞,+∞）；
双曲正
b）：
是奇函数；
切
c）：
其形在水平直y=1及
y=-1之；在定域内增；
我再来看一下双曲函数与三角函数的区：
双曲函数的性
三角函数的性
shx与thx是奇函数，chx是偶函数sinx与tanx是奇函数，cosx是偶函数
它都不是周期函数
双曲函数也有和差公式：
都是周期函数
⑵、反双曲函数：
双曲函数的反函数称反双曲函数.
a）：
反双曲正弦函数其定域：
（-∞,+∞）；
b）：
反双曲余弦函数其定域：
[1,+∞）；
c）：
反双曲正切函数
其定域：
（-1,+1）
；
8、数列的极限
我先来回一下初等数学中学的数列的看法。
⑴、数列：
若依照必然的法，有第一个数a1，第二个数a2，⋯，依次排列下去，使得任何一个正整
数n着一个确定的数an，那末，我称列有次序的数a1，a2，⋯，an，⋯数列.数列中的每一个数
叫做数列的。
第nan叫做数列的一般或通.
注：
我也能够把数列
an看作自量正整数
n的函数，即：
an=
，它的定域是全体正整数
⑵、极限：
极限的看法是求的精确解答而生的。
例：
我可通作的内接正多形，近似求出的面。
有一，第一作内接正六形，把它的面A1；再作的内接正十二形，其面A2；
再作的内接正二十四形，其面A3；依次循下去（一般把内接正6×2n-1形的面An）可得一系列内接正多形的面：
A1，A2，A3，⋯，An，⋯，它就组成一列有序数列。
我能够，当内接正
多形的数无量增加，An也无量凑近某一确定的数（的面），个确定的数在数学上被称数列A1，A2，A3，⋯，An，⋯当n→∞（作n近于无大）的极限。
注：
上面个例子就是我国古代数学家刘徽
（公元三世
）的割。
⑶、数列的极限：
一般地，于数列
来，若存在任意定的正数
ε（不其多么
小），存在正整数
N，使得于
n＞N的所有
不等式
都建立，那末就称常数
a是数列
的极限，也许称数列
收于
a.
作：
或
注：
此定中的正数ε只有任意定，不等式才能表达出与a无量凑近的意思。
且定中的正整数N与任意定的正数ε是相关的，它是随着ε的定而定的。
⑷、数列的极限的几何解：
在此我可能不易理解个看法，下边我再出它的一个几何解，
以使我能理解它。
数列极限的点表示出来，再在数上作点
a的一个几何解：
将常数
a的ε域即开区（a-
a及数列
ε，a+ε），以下所示：
在数上用它
因不等式与不等式等价，故当n＞N，所有的点都落在开区
（a-ε，a+ε）内，而只有有限个（至多只有N个）在此区之外。
注：
至于怎样求数列的极限，我在今后会学到，里我不作。
⑸、数列的有界性：
于数列，若存在着正数M，使得所有都足不等式││≤M，称数
列是有界的，若正数M不存在，可数列是无界的。
定理：
若数列
收，那末数列
必然有界。
注：
有界的数列不用然收，即：
数列有界是数列收的必要条件，但不是充足条件。
例：
数列
1，
-1，1，-1，⋯，（-1）
n+1，⋯
是有界的，但它是散的。
9、函数的极限
前面我学了数列的极限，已知道数列可看作一特其余函数，即自量取1→∞内的正整数，
若自变量不再限于正整数的次序，而是连续变化的，就成了函数。
下边我们来学习函数的极限.
函数的极值有两种状况：
a）：
自变量无量增大；b）：
自变量无量凑近某必然点x0，若是在这时，函数
值无量凑近于某一常数A，就叫做函数存在极值。
我们已知道函数的极值的状况，那么函数的极限怎样呢
下边我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的看法!
⑴、函数的极限（分两种状况）
a）:
自变量趋向无量大时函数的极限
?
定义：
设函数
，若关于任意给定的正数
ε（无论其多么小
），总存在着正数
X，使得关于适
合不等式的所有x，所对应的函数值都满足不等式
那末常数A就叫做函数当x→∞时的极限，记作：
下边我们用表格把函数的极限与数列的极限比较一下：
数列的极限的定义
函数的极限的定义
存在函数与常数A，任给一正数
存在数列与常数A，任给一正数ε＞0，
ε＞0，总可找到一正数X，关于适合的
总可找到一正整数N，关于n＞N的所有都满足
所有x，都满足，函数
＜ε则称数列，当x→∞时收敛于A记：
当x→∞时的极限为A，记：
。
。
从上表我们发现了什么？
？
试思虑之
b）:
自变量趋向有限值时函数的极限。
我们先来看一个例子
.
例：
函数，当x→1时函数值的变化趋向怎样？
函数在x=1处无定义.我们知道对实数
来讲，在数轴上任何一个有限的范围内，都有无量多个点，为此我们把x→1时函数值的变化趋向用表列出,以以下列图:
从中我们能够看出x→1时，→2.而且只要x与1有多凑近，就与2有多凑近.或说：
只
要
与2只差一个微量ε，就必然能够找到一个
δ，当
＜δ时满足
＜δ定义：
设
函数
在某点
x0的某个去心邻域内有定义，且存在数
A，若是对任意给定的
ε（无论其多么小
），总存
在正数δ，当0＜＜δ时，＜ε则称函数当x→x0时存在极限，且极限为A，
记：
。
注：
在定义中为什么是在去心邻域内呢？
这是由于我们只谈论x→x0的过程，与x=x0出的状况没关。
此
定义的核心问题是：
对给出的ε，可否存在正数δ，使其在去心邻域内的x均满足不等式。
有些时候，我们要用此极限的定义来证明函数的极限为A，其证明方法是怎样的呢？
a）:
先任取ε＞0；
b）:
写出不等式
＜ε；
c）:
解不等式可否得出去心邻域
0＜
＜δ，若能；
d）:
则关于任给的
ε＞0，总能找出
δ，当
升级会员 