2421点和圆的位置关系 习题.docx
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2421点和圆的位置关系习题
24.2.1 点和圆的位置关系
知识点1 点与圆的位置关系
1.已知⊙O的半径是3,当OP=2时,点P在⊙O________;当OP=3时,点P在⊙O________;当OP=5时,点P在⊙O________.
2.在同一平面内,⊙O外一点P到⊙O上的点的最大距离为6cm,最小距离为2cm,则⊙O的半径为________cm.
3.如图24-2-1所示,边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O,以点A为圆心,1为半径画圆,则点O,B,C,D中,点________在圆内,点________在圆上,点________在圆外.
图24-2-1
4.已知⊙O的直径为10cm,点P不在⊙O外,则OP的长( )
A.小于5cmB.不大于5cm
C.小于10cmD.不大于10cm
5.已知⊙P的半径为5,点P的坐标为(2,1),点Q的坐标为(0,6),则点Q与⊙P的位置关系是( )
A.点Q在⊙P外B.点Q在⊙P上
C.点Q在⊙P内D.不能确定
6.在公园的O处附近有E,F,G,H四棵树,位置如图24-2-2所示(图中小正方形的边长均相等).现计划修建一座以点O为圆心,OA长为半径的圆形水池,要求池中不留树木,则E,F,G,H四棵树中需要被移除的为( )
图24-2-2
A.E,F,GB.F,G,H
C.G,H,ED.H,E,F
7.如图24-2-3,已知△ABC,AC=3,BC=4,∠C=90°,以点C为圆心作⊙C,半径为r.
(1)当r在什么取值范围内时,点A,B在⊙C外?
(2)当r在什么取值范围内时,点A在⊙C内,点B在⊙C外?
图24-2-3
知识点2 过已知点作圆
8.过一点可以作________个圆;过两点可以作________个圆,这些圆的圆心在两点连线的____________上;过不在同一直线上的三点可以作________个圆.
9.下列关于确定一个圆的说法中,正确的是( )
A.三个点一定能确定一个圆
B.以已知线段为半径能确定一个圆
C.以已知线段为直径能确定一个圆
D.菱形的四个顶点能确定一个圆
10.2017·永州小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了,需要配制一块同样大小的玻璃镜,工人师傅在一块如图24-2-4所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A,B,C,给出三角形ABC,则这块玻璃镜的圆心是( )
图24-2-4
A.AB,AC边上的中线的交点
B.AB,AC边上的垂直平分线的交点
C.AB,AC边上的高所在直线的交点
D.∠BAC与∠ABC的平分线的交点
知识点3 三角形的外接圆与外心
11.三角形的外心是三角形____________________的交点,其中直角三角形的外心是________的中点,锐角三角形的外心在三角形的________,钝角三角形的外心在三角形的________.
12.下列图形不一定有外接圆的是( )
A.三角形B.正方形
C.平行四边形D.矩形
13.如果点O为△ABC的外心,∠BOC=70°,那么∠BAC等于( )
A.35°B.110°
C.145°D.35°或145°
14.在△ABC中,点O是它的外心,BC=24cm,点O到BC的距离是5cm,则△ABC的外接圆的半径为________.
知识点4 反证法
15.如图24-2-5,已知E为直线l外一点,求证:
过点E只有一条直线垂直于直线l.用反证法证明这个命题的步骤如下:
①在△EFG中,∠1+∠2+∠3>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾;
②假设过点E有两条直线EF,EG分别垂直于直线l于F,G两点;
③则∠2=90°,∠3=90°;
④故过点E只有一条直线垂直于直线l.
图24-2-5
证明步骤的正确顺序是( )
A.①②③④B.①③②④
C.②③①④D.②③④①
16.用反证法证明:
若∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角,则其中至少有一个角不大于60°.
17.在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,则这个三角形的外接圆直径为( )
A.5B.10
C.5或4D.10或8
18.在数轴上,点A所表示的实数为3,点B所表示的实数为a,⊙A的半径为2,当点B在⊙A内时,实数a的取值范围在数轴上表示正确的是( )
图24-2-6
19.如图24-2-7,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,3),点B的坐标为(2,1),点C的坐标为(2,-3),经画图操作,可知△ABC的外心的坐标应是( )
图24-2-7
A.(0,0)B.(1,0)
C.(-2,-1)D.(2,0)
20.如图24-2-8,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆,若要求另外三个顶点A,B,C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r的取值范围是________.
图24-2-8
21.如图24-2-9,在△ABC中,∠BAC=70°,AB=AC,O为△ABC的外心,△OCP为等边三角形,OP与AC相交于点D,连接OA.
(1)求∠OAC的度数;
(2)求∠AOP的度数.
图24-2-9
22.已知:
如图24-2-10①,△ABC中,BA=BC,D是平面内不与点A,B,C重合的一点,∠ABC=∠DBE,BD=BE.
(1)求证:
△ABD≌△CBE;
(2)如图②,当点D是△ABC的外接圆圆心时,请判断四边形BECD的形状,并证明你的结论.
图24-2-10
教师详解详析
1.内 上 外
2.2 [解析]∵在同一平面内,⊙O外一点P到⊙O上的点的最大距离为6cm,最小距离为2cm,∴⊙O的直径为6-2=4(cm),∴⊙O的半径为2cm.
3.O B,D C [解析]∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD,OA=OB=OC=OD.
设OA=OB=x.
由勾股定理,得OA2+OB2=AB2,
即x2+x2=12,解得x=
(负值已舍去),
∴OA=
<1,AC=
>1.
∴点O在圆内,点B,D在圆上,点C在圆外.
4.B [解析]∵⊙O的直径为10cm,
∴⊙O的半径为5cm.
∵点P不在⊙O外,∴点P在圆上或圆内,
∴OP≤5cm.
5.A [解析]∵PQ=
=
>5,∴点Q在⊙P外.
6.A [解析]∵OA=
=
,OE=2<OA,∴点E在⊙O内;∵OF=2<OA,∴点F在⊙O内;∵OG=1<OA,∴点G在⊙O内;∵OH=
=2
>OA,∴点H在⊙O外.
7.解:
(1)当0(2)当38.无数 无数 垂直平分线 一
9.C [解析]选项A中,在同一直线上的三点不能确定一个圆,故A错误.选项B中,以已知线段为半径能确定两个圆,即分别以线段的两个端点为圆心,故B错误.选项C中,以已知线段为直径能确定一个圆,此时圆心为线段的中点,半径为线段长度的一半,故C正确.选项D中,菱形的四个顶点不一定能确定一个圆,故D错误.故选C.
10.B [解析]本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心,三角形外接圆的圆心是三条边的垂直平分线的交点.故选B.
11.三条边的垂直平分线 斜边 内部 外部
12.C [解析]任意三角形都有一个外接圆;正方形有一个外接圆,圆心是对角线的交点;矩形有一个外接圆,圆心是对角线的交点;在一般的平行四边形内部找不到一个点到四个顶点的距离相等,所以一般的平行四边形没有外接圆.故选C.
13.D [解析]①当点O在三角形的内部时,则∠BAC=
∠BOC=35°;
②当点O在三角形的外部时,则∠BAC=
(360°-70°)=145°.
14.13cm [解析]当点O在△ABC内部时,如图.
∵点O为△ABC的外心,OD⊥BC,
∴BD=
BC=12cm.又∵OD=5cm,∴由勾股定理,得OB=
=
=13(cm),
∴△ABC的外接圆的半径是13cm.
(注:
点O在△ABC外部的情况类似,求出的△ABC的外接圆的半径也是13cm)
15.C
16.证明:
假设∠A,∠B,∠C都大于60°,则有∠A+∠B+∠C>180°,
这与三角形内角和为180°相矛盾,
因此假设不成立,即∠A,∠B,∠C中至少有一个角不大于60°.
17.D [解析]直角三角形外接圆的直径是斜边,应分两种情况:
当BC是斜边时,这个三角形的外接圆直径为8;当AC是斜边时,AC=
=
=10,则这个三角形的外接圆直径为10.故选D.
18.D [解析]由于圆心A在数轴上所表示的实数为3,圆的半径为2,∴⊙A与数轴交于1,5所表示的两点,故当a取1,5时,点B在⊙A上;当d<r,即当1<a<5时,点B在⊙A内;当d>r,即当a<1或a>5时,点B在⊙A外.故选D.
19.C [解析]如图,∵△ABC的外心即为三角形三边垂直平分线的交点,
∴AB边的垂直平分线MN与BC边的垂直平分线EF的交点O′即为△ABC的外心,∴△ABC的外心的坐标是(-2,-1).故选C.
20.3<r<5
[解析]如图,连接BD,在矩形ABCD中,AD=3,CD=AB=4,在Rt△ABD中,BD=
=
=5,∴AD<CD<BD.若点A一定在圆内,则r>3;若点B一定在圆外,则r<5,故r的取值范围为3<r<5.
21.解:
(1)∵O为△ABC的外心,∠BAC=70°,AB=AC,
∴∠OAC=35°(AO垂直平分BC,等腰三角形的三线合一).
(2)∵O为△ABC的外心,
∴AO=CO,
∴∠OAC=∠OCA=35°,
∴∠AOC=110°.
∵△OCP为等边三角形,
∴∠POC=60°,
∴∠AOP=∠AOC-∠POC=50°.
22.解:
(1)证明:
∵∠ABC=∠DBE,
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD,即∠ABD=∠CBE.
又∵BA=BC,BD=BE,
∴△ABD≌△CBE(SAS).
(2)四边形BECD是菱形.
证明:
同
(1)可证△ABD≌△CBE,
∴CE=AD.
∵点D是△ABC的外接圆圆心,
∴AD=BD=CD.
又∵BD=BE,
∴BD=BE=CE=CD,
∴四边形BECD是菱形.