秋苏科版七上第二章《有理数》中的动点问题培优训练三.docx

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秋苏科版七上第二章《有理数》中的动点问题培优训练三

2020年秋苏科版七上第二章《有理数》中的动点问题

培优训练（三）

培优训练小练习

（一）：

限时45分钟

1．已知数轴上两点A．B对应的数分别为﹣2和7，点M为数轴上一动点．

（1）请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；

（2）若点M到A的距离是点M到B的距离的两倍，我们就称点M是【A，B】的好点．

①若点M运动到原点O时，此时点M　　【A，B】的好点（填是或者不是）

②若点M以每秒1个单位的速度从原点O开始运动，当M是【B，A】的好点时，求点M的运动方向和运动时间

（3）试探究线段BM和AM的差即BM﹣AM的值是否一定发生变化？

若变化，请说明理由：

若不变，请求其值．

2．已知：

在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB＝2（单位长度），慢车长CD＝4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是b．若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且|a+8|与（b﹣16）2互为相反数．

（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度？

（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度？

（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定值）．你认为学生P发现的这一结论是否正确？

若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由．

3．一辆货车从货场A出发，向东走了2千米到达批发部B，继续向东走1.5千米到达商场C，又向西走了5.5千米到达超市D，最后回到货场．

（1）以货场为原点，以东为正方向，用一个单位长度表示1千米，你能在数轴上分别表示出货场A，批发部B，商场C，超市D的位置吗？

（2）超市D距货场A多远？

（3）此款货车每千米耗油约0.1升，每升汽油6.20元，请你计算他需多少汽油费？

4．【阅读理解】

点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．

例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．

【知识运用】

如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．

（1）数　　所表示的点是{M，N}的奇点；数　　所表示的点是{N，M}的奇点；

（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？

5．如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣2，点B对应的数是10．现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒．

（1）A、B两点之间的距离为　　；

（2）当t＝1时，P、B两点之间的距离为　　；

（3）在运动过程中，线段PB、BQ、PQ中是否会有两条线段相等？

若有，请求出此时t的值；若没有，请说明理由．

6．已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为11，点B对应的数为b，点C在点B右侧，长度为3个单位的线段BC在数轴上移动，

（1）如图1，当线段BC在O，A两点之间移动到某一位置时，恰好满足线段AC＝OB，求此时b的值；

（2）线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，是否存在AC﹣OB＝

AB？

若存在，求此时满足条件的b的值；若不存在，说明理由．

7．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：

（1）请你根据图中A、B（B在﹣2与﹣3的正中）两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：

　　B：

　　；

（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：

　　；

（3）若将数轴折叠，使得A点与﹣2表示的点重合，则B点与数　　表示的点重合；

（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2010（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：

M：

　　N：

　　．

8．如图，在数轴上点A表示的有理数为﹣4，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动．设运动时间为t（单位：

秒）．

（1）求t＝2时点P表示的有理数；

（2）求点P是AB的中点时t的值；

（3）在点P由点A到点B的运动过程中，求点P与点A的距离（用含t的代数式表示）；

（4）在点P由点B到点A的返回过程中，点P表示的有理数是多少（用含t的代数式表示）．

9．快递员骑摩托车从快递公司出发，先向东骑行2km到达A村，继续向东骑行3km到达B村，然后向西骑行9km到C村，最后回到公司．

（1）以快递公司为原点，以向东方向为正方向，用1cm表示1km画数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；

（2）C村离A村有多远？

（3）已知摩托车行驶100km耗油2.5L，完成此次任务，摩托车耗油多少升？

10．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，先向右爬行了4个单位长度到达点A，再向右爬行了2个单位长度到达点B，然后又向左爬行了10个单位长度到达点C．

（1）画出数轴，并在数轴上表示出A、B、C三点；

（2）根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬行了几个单位长度得到的？

培优训练小练习

（二）：

限时45分钟

11．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，到终点表示的数是﹣2．

已知A、B是数轴上的点，请参照上图，完成下列填空：

（1）如果点A表示的数是3，将点A先向右移动7个单位长度，再向左移动5个单位长度，那么终点B表示的数是　　，A、B两点间的距离为　　；

（2）如果点A表示的数是﹣4，将点A先向右移动12个单位长度，再向左移动16个单位长度，那么终点B表示的数是　　，A、B两点间的距离为　　；

（3）一般地，如果点A表示的数是a，将点A先向右移动m个单位长度，再向左移动n个单位长度，那么终点B表示的数是　　，A、B两点间的距离为　　．

12．某景区一电瓶小客车接到任务从景区大门出发，向东走2千米到达A景区，继续向东走2.5千米到达B景区，然后又回头向西走8.5千米到达C景区，最后回到景区大门．

（1）以景区大门为原点，向东为正方向，以1个单位长表示1千米，建立如图所示的数轴，请在数轴上表示出上述A、B、C三个景区的位置．

（2）A景区与C景区之间的距离是多少？

（3）若电瓶车充足一次电能行走15千米，则该电瓶车能否在一开始充足电而途中不充电的情况下完成此次任务？

请计算说明．

13．小明的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A、B、C、D，学校位于小明家西边150米，邮局位于小明家东边100米，图书馆位于学校西边250米．

（1）用数轴表示A、B、C、D的位置（以小明家为原点）

（2）一天小明从家里先去邮局寄信后，以每分钟50米的速度往图书馆方向走了8分钟，试问小明此时的位置在何处？

到图书馆和学校的距离分别是多少米？

14．一辆货车从超市出发，向东走了4千米到达小华家，继续走了1.5千米到达小颖家，然后向西走了8.5千米到达小明家，最后回到超市．

（1）以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请画出数轴，并在数轴上表示出小明家、小华家和小颖家的位置．

（2）小明家距小华家多远？

（3）货车一共行驶了多少千米？

15．小明早晨跑步，他从自家向东跑了3千米到达小彬家，继续向东跑了2.5千米到达小红家，然后向西跑了7.5千米到达中心广场，最后回到家．

（1）以小明家为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请在数轴上标出中心广场，小彬家和小红家的位置吗？

（2）小彬家距中心广场多远？

（3）小明一共跑了多少千米？

16．如图，边长为1个单位的等边三角形纸片的一个顶点A与数轴上的原点重合．

（1）把等边三角形纸片沿数轴向右滚动（无滑动），滚动1周后（等边三角形纸片滚动后AB再次落在数轴上时称为1周），点B对应的数为：

　　；在滚动过程中是哪个顶点经过数轴上的数2016？

答：

　　；

（2）纸片在数轴上向右滚动的周数记为正数，纸片在数轴上向左滚动的周数记为负数，下列是该纸片5次运动的周数记录情况：

+2，﹣3，+1，﹣4，+3．（注：

+2表示第1次纸片向右滚动了2周）．

①第　　次滚动后，A点距离原点最近，第　　次滚动后，A点距离原点最远；

②当纸片结束运动时，此时点A所表示的数是　　．

17．如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：

计算结果保留π）

（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是　　

（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：

+3，﹣1，　　，+4，﹣3，　　

①第3次滚动　　周后，Q点回到原点．第6次滚动　　周后，Q点距离原点4π

②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？

18．元旦放假时，小明一家三口一起乘小轿车去乡下探望爷爷、奶奶和外公、外婆．早上从家里出发，向东走了6千米到超市买东西，然后又向东走了1.5千米到爷爷家，中午从爷爷家出发向西走了12千米到外公家，晚上返回家里．

（1）若以家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，请将超市、爷爷家和外公家的位置在数轴上分别用点A、B、C表示出来；

（2）问超市A和外公家C相距多少千米？

（3）若小轿车每千米耗油0.15升，求小明一家从出发到返回家时小车的耗油量．

19．一个点从数轴上原点开始，先向右移动了3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A，B是数轴上的点，完成下列各题

（1）如果A表示﹣3，将A向右移动7个单位长度得到点B，那么B表示的数是　　，A，B两点间的距离是　　．

（2）如果A表示数3，将A向左移动7个单位长度再向右移动5个单位长度，得到点B，则点B表示的数为　　，

A，B两点间的距离是　　

（3）一般地，如果A表示数a，将A向右移动b个单位长度，再向左移动c个单位长度得到B，那么B表示的数是　　，A，B两点间的距离是　　（用含a，b，c的式子表示）

20．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．

（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣7表示的点与数　　表示的点重合；

（2）若﹣1表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：

①13表示的点与数　　表示的点重合；

②若数轴上A、B两点之间的距离为2015（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？

参考答案

1．解：

（1）如图所示：

（2）①AM＝2，BM＝7，

2×2＝4≠7，

故点M不是【A，B】的好点；

②当点M在点B的右侧时，

t+2＝2（t﹣7），

解得t＝16；

当点M在点A与B之间时，

t+2＝2（7﹣t），

解得t＝4；

当点M在点A的左侧时，

﹣2+t＝2（7+t），

解得t＝﹣16（舍去）．

故点M的运动方向是向右，运动时间是16或点M的运动方向是向右，运动时间是4秒；

（3）线段BM与AM的差即BM﹣AM的值发生变化，理由是：

设点M对应的数为c，

由BM＝|c﹣7|，AM＝|c+2|，

则分三种情况：

当点M在点B的右侧时，

BM﹣AM＝c﹣7﹣c﹣2＝﹣9；

当点M在点A与B之间时，BM﹣AM＝7﹣c﹣c﹣2＝5﹣2c，

当点M在点A的左侧时，BM﹣AM＝7﹣c+c+2＝9．

故答案为：

不是．

2．解：

（1）∵|a+8|与（b﹣16）2互为相反数，

∴|a+8|+（b﹣16）2＝0，

∴a+8＝0，b﹣16＝0，

解得a＝﹣8，b＝16．

∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距16﹣（﹣8）＝24单位长度；

（2）（24﹣8）÷（6+2）

＝16÷8

＝2（秒）．

或（24+8）÷（6+2）＝4（秒）

答：

再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度；

（3）∵PA+PB＝AB＝2，

当P在CD之间时，PC+PD是定值4，

t＝4÷（6+2）

＝4÷8

＝0.5（秒），

此时PA+PC+PB+PD＝（PA+PB）+（PC+PD）＝2+4＝6（单位长度）．

故这个时间是0.5秒，定值是6单位长度．

3．解：

（1）如图所示：

；

（2）AD＝2km；

（3）（2+1.5+5.5+2）×0.1×6.2＝6.82（元），

答：

他需6.82元汽油费．

4．解：

（1）5﹣（﹣3）＝8，

8÷（3+1）＝2，

5﹣2＝3；

﹣3+2＝﹣1．

故数3所表示的点是{M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点；

（2）30﹣（﹣50）＝80，

80÷（3+1）＝20，

30﹣20＝10，

﹣50+20＝﹣30，

﹣50﹣80÷3＝﹣76

（舍去），

﹣50﹣80×3＝﹣290（舍去）．

故P点运动到数轴上的﹣30或10位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点．

故答案为：

3；﹣1．

5．解：

（1）∵点A对应的数是﹣2，点B对应的数是10，

∴A、B两点之间的距离为10﹣（﹣2）＝12，

故答案为：

12；

（2）当t＝1时，点P表示的数为﹣2+4×1＝2，点B表示的数为10，

∴P、B两点之间的距离为10﹣2＝8，

故答案为：

8；

（3）在运动过程中，线段PB、BQ、PQ中存在两条线段相等．

AP＝4t，BQ＝t，

分三种情况：

①当PB＝BQ时，

如图，若B为PQ的中点，则AB﹣AP＝BQ，即12﹣4t＝t，

解得t＝2.4；

如图，若P，Q重合，则AP﹣AB＝BQ，即4t﹣12＝t，

解得t＝4；

②当PB＝PQ时，

如图，若P为BQ的中点，则BQ＝2（AP﹣AB），即t＝2（4t﹣12），

解得t＝

；

如图，若B，Q重合，则t＝0（不合题意）；

③当BQ＝PQ时，

如图，若Q为BP的中点，则AP﹣AB＝2BQ，即4t﹣12＝2t，

解得t＝6；

如图，若B，p重合，则AP＝AB，即4t＝12，

解得t＝3；

综上所述，当t＝2.4或4或

或6或3时，线段PB、BQ、PQ中存在两条线段相等．

6．解：

（1）由题意得：

11﹣（b+3）＝b，

解得：

b＝4．

答：

线段AC＝OB，此时b的值是4．

（2）由题意得：

①11﹣（b+3）﹣b＝

（11﹣b），

解得：

b＝

．

②11﹣（b+3）+b＝

（11﹣b），

解得：

b＝﹣5．

答：

若AC﹣OB＝

AB，满足条件的b值是

或﹣5．

7．解：

（1）由数轴可知，A点表示数1，B点表示数﹣2.5．

（2）A点表示数1，与点A的距离为4的点表示的数是：

﹣3或5．

（3）当A点与﹣2表示的点重合，则B点与数1.5表示的点重合．

（4）由对称点为﹣0.5，且M、N两点之间的距离为2010（M在N的左侧）可知，

点M、N到﹣0.5的距离为2010÷2＝1005，

所以，M点表示数﹣0.5﹣1005＝﹣1005.5，N点表示数﹣0.5+1005＝1004.5．

故答案为：

（1）A：

1B：

﹣2.5；

（2）﹣3或5；（3）1.5；（4）M：

﹣1005.5N：

1004.5．

8．解：

（1）点P表示的有理数为﹣4+2×2＝0；

（2）6﹣（﹣4）＝10，

10÷2＝5，

5÷2＝2.5，

（10+5）÷2＝7.5．

故点P是AB的中点时t＝2.5或7.5；

（3）在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离为2t；

（4）在点P由点B到点A的返回过程中，点P表示的有理数是6﹣2（t﹣5）＝16﹣2t．

9．解：

（1）依题意得，数轴为：

（2）依题意得：

点C与点A的距离为：

2+4＝6（km）；

（3）依题意得，邮递员骑了：

2+3+9+4＝18（km）

∴共耗油量为：

18×0.025＝0.45（升）

答：

摩托车耗油0.45升．

10．解：

（1）如图所示：

A点表示的数是4，B点表示的数是6，C点表示的数是﹣4；

（2）∵C点坐标是﹣4，

∴可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬行4个单位长度得到的．

11．解：

（1）如果点A表示的数是3，将点A先向右移动7个单位长度，再向左移动5个单位长度，

那么终点B表示的数是3+7﹣5＝5，A、B两点间的距离为5﹣3＝2．

故答案为5，2；

（2）如果点A表示的数是﹣4，将点A先向右移动12个单位长度，再向左移动16个单位长度，

那么终点B表示的数是﹣4+12﹣16＝﹣8，A、B两点间的距离为﹣4﹣（﹣8）＝4．

故答案为﹣8，4；

（3）一般地，如果点A表示的数是a，将点A先向右移动m个单位长度，再向左移动n个单位长度，

那么终点B表示的数是a+m﹣n，A、B两点间的距离为|a+m﹣n﹣a|＝|m﹣n|．

故答案为a+m﹣n，|m﹣n|．

12．解：

（1）如图，

（2）A景区与C景区之间的距离是：

2﹣（﹣4）＝6（千米）；

（3）不能完成此次任务．理由如下：

电瓶车一共走的路程为：

|+2|+|2.5|+|﹣8.5|+|+4|＝17（千米），

因为17＞15，

所以不能完成此次任务．

13．解：

（1）根据题意，可设从西向东方向为正方向，小明家所在位置为原点，

则用数轴表示上述A、B、C、D的位置如下：

（2）∵50×8＝400（米），100﹣400＝﹣300，

∴﹣250﹣（﹣300）＝50（米），

﹣150﹣（﹣300）＝150（米）．

答：

小明此时的位置在他家西面300米的位置，距图书馆50米，距学校150米．

14．解：

（1）如图所示：

；

（2）由图可知，小明家距小华家4﹣（﹣3）＝7千米；

（3）4+1.5+8.5+3＝17（千米）．

答：

货车一共行驶了17千米．

15．解：

（1）如图，

（2）3﹣（﹣2）＝5（千米），

答：

小彬家距中心广场5千米；

（3）3+2.5+7.5+2＝15（千米），

答：

小明一共跑了15千米．

16．解：

（1）由题可得，三角形滚动一周，三角形的顶点移动3个单位，

所以点B对应的数为：

1+3＝4，

因为2016÷3＝672，

所以在滚动过程中，A点经过数轴上的数2016；

故答案为：

4，A；

（2）①因为5次运动后，点A依次对应的数为：

0+3×2＝6；

6﹣3×3＝﹣3；

﹣3+3×1＝0；

0﹣3×4＝﹣12；

﹣12+3×3＝﹣3；

所以第3次滚动后，A点距离原点最近；第4次滚动后，A点距离原点最远；

②由①可得：

当纸片结束运动时，此时点A所表示的数是﹣3．

故答案为：

3，4，﹣3．

17．解：

（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是﹣2π；

故答案为：

﹣2π；

（2）①∵+3﹣1＝2，2﹣2＝0，

∴第3次滚动﹣2周后，Q点回到原点；

∵+3﹣1﹣2+4﹣3＝1，1+1＝2或1﹣3＝﹣2，

∴第6次滚动1或﹣3周后，Q点距离原点4π

故答案为﹣2，1或﹣3；

②根据题意列得：

3+1+2+4+3+1＝14，14×2π＝28π，

或3+1+2+4+3+3＝16，16×2π＝32π．

当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有28π或32π．

18．解：

（1）画数轴如下：

（2）A表示6，C表示﹣4.5，

6﹣（﹣4.5）＝10.5（千米），

答：

超市A和外公家C相距10.5千米；

（3）6+1.5+12+4.5＝24，24×0.15＝3.6（升），

答：

小明一家从出发到返回家时小车的耗油量为3.6升．

19．解：

（1）∵﹣3+7＝4，

∴B表示的数为4，A、B两点间的距离为4﹣（﹣3）＝7，

故答案为：

4，7；

（2）∵3﹣7+5＝1，

∴B表示的数为1，A、B两点间的距离为3﹣1＝2，

故答案为：

1，2；

（3）根据题意，点B表示的数为a+b﹣c，A、B两点间的距离为|a+b﹣c﹣a|＝|b﹣c|，

故答案为：

a+b﹣c，|b﹣c|．

20．解：

（1）表示﹣7的点与表示7的点重合．

故答案为：

7；

（2）由题意得：

（﹣1+5）÷2＝2，即2为对称点．

①根据题意得：

2×2﹣13＝﹣9．

故答案为：

﹣9；

②∵2为对称点，A、B两点之间的距离为2015（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，

∴A表示的数＝﹣

+2＝﹣1005.5，B点表示的数＝

+2＝1009.5．