数农真题及答案解析.docx

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数农真题及答案解析

2021年全国研究生考试数农试题及答案详解

⑴〕设数列

〔5〕

（0

其中

为任意常魏,

2

（D

的分布尙

迭择題；1S小圜每小題斗出共鸥分・以下每蠱给出的四个选换中，旦有一个选项捋合題目要求的，请将所选项前肋字毘填在苔題妖指定feB±

〔中r丁〔2〕抵

⑷设碱门=为连续，交换二次积分次序⑻3a皿

*fzz

有畀是裁列卫和收敛的

「％注

⑹F列柜阵中不能相惊于对角柜阵囱为an〔\1、11〔\

⑺设葫机变量用与F相互独立，切韶服从区间山山上的均匀分布，那么珂靜+0.

11JE■阿

"'，那么/凶的一个庶函数押。

〕

〔c〕Eh①厂〔〞阿

・〔g2：

…:

3那么数列应；〔B〕必雰韭充分条件

①〕既菲充分也非凶要条件f〔兀F〕创

卩三一4-1

⑴设曲线^-1水平勵近线的条数为S辂宣渐近联的条数为人那么⑷“03=1⑻"1—0〔c〕小〕"2养-1

⑻2（0）2（&）

⑸设3,3、W

那么以下向量组线性相关的为〔〕

⑻6,%,兔⑹珂，先、久©弔

⑻设耳込屁,兀为来自总城的简单龍机样本，那么绕计量他严皿⑹他忙严⑺⑹陀②

5、

q、

0

理=

1

屯=

~i

旳=

1

S

旧丿

佢〕

-S填空品9LJ14小題每小題4分■共24分•请将答案写在答題纸指定位置上.

3

limi^+廿=

⑼5

（10）函数丿・*1加J1!

的极值点廿

（11）曲线尸"与"4及八0围成的平而图形绕x轴旋转一周得到的旋转的体积"

哲_兰）=

（12）设函数八那么莎2'2

fl1）

x=

（13）设IT2丿，力•是A的伴随矩阵，将A的第二列加已第一列得矩阵B,01IJI^B|-

P（j4）=iP（B）=-P（Ab\-

（14）设儿B是两个互不相容的随机事件，设'2,3,那么'I厂

三、解答罰15〜23小題，共94分.讳将解答写在答题妖指定位置上-

解容许写出文字说明、证明过程或演算歩曝.

（15）（此题总分值10分）

瘁线a®+lnws十1在点。

1「处的切线方程.

|（16）（此题总分值10分）

设函数"」“词1乂2；,求不定积分去

（1?

）（此题蒲分10分）

求函数/必刃=购2的极值

（18）（此题总分值11分）

y-~r-=^^vi-e求微分方程xlx满足条件Xy一°的解.

（19）（此题总分值11分）

（卜衣十2尹心®

计算二重积分6，其中Q由直线不=-7TM=7T』=2及曲线丁=$m入围成.

〔20〕〔此题总分值11分〕

f、

“1a00）

1

01o0fi=

-1

A=

001<2

0

设1“001丿，

3丿

〔1〕计算行列式同；

〔2〕当实数。

为何值时，方程组加二产有无穷多解，并求其通解.

a-11

4=一101

1b0

〔21〕〔木题总分值10分〕

◎=一1

I1丿为月的属于特征值-2的特征向重

〔1〕求议*的值；

〔2〕求可逆矩阵卩和对角柜阵°,便得P~'AP=Q.

〔22〕〔此题总分值10分〕

a□snP\2T1；=—

设随机变壘*服从参数为九4>U的指数分布，且2,〔I〕求参数5

〔⑴求尸

2021年全国硕士研究生入学统一考试数农答案解析

f选择題:

1U8小囲毎小題4分？

共32分.以下每题给出的四个选项中"只有一个选项符合理目耍求的，请将所选顶前的字母填在描定位置上

•••

（I）设曲线41水平渐近线的衆数为/!

•始貢渐近线的条数为0・則（）

e-1

（A）a=0,1（B）a=1,fr=O（C）a=196=1（D）a=2,&=-l

【答案】®）

【解析】y=—+1»由lim丿=co,w二0为铅直渐近线,由liniy=1,lim^=-1+1=0.£»一］x^O—o

为j=lfy=0为水平渐近线，披2#=1

（A>（rf1K1⑻-（x十1）厂（C）（x-lk'1（D）-（x-1KX

【答案】B

【解析】

两边求导，那么有/（2r）*2=4xrn

可化向为/匕）=x^M,讨论F（x）泉否尊于・

>1选项2[（^41>,]=e\-x-l^1）=-X4?

-\

B:

[-（jr4-Wl]=-tf-*（-（x4-l）+l]=rX正确

C.）]=

-卩-丼1]之〞（2-‘）错谋

D:

[-（X-l）e_i]=e-x[x-l-1]=Ax（x-2）错渓

⑶设數列｛几｝单调增加・叫=S「叫=冷〞-殆（〃=2,3，…〉・那么数列｛$〞｝育界是敖列｛%｝收敛

的（）

（A）充分非必妥条件（B）必妄韭充分条件

（C>无分必要条件（D〉既非充分也非必娶条件

【答寃】（B）

【解析】因为兔>0,所以｛»｝单调不减

假设何｝有界，那么lim®存在，那么limg“iin（S〞-為）=0.即数列侃｝有界是数列仏｝收敘

9178JH8刃一MD

的充分条件.

反乙假设｛兔｝收欧那么｛SJ不一定有界.

例如，取心=1.那么州收銳且乞=刃无上界•应选⑻•⑷设函数/〔X』〕连续，交换二次枳分次斤■jdJ'/gyWxf’/〔耳』眇=

〔A〕f呱炖

〔0fd?

j「/a,y〕dr

【答案】C

【解析】交换积分顺序

/叮d〕J：

【答案】C

【解析】

故用•丐,匕必定线性相关•从而应选C.

⑹以下矩阵中不能相似于对殖矩阵的为

【答案】A

【解析】

2-1一1

-1兄一2

B的两个不同特征值是1.2,故〃可以相似对角化;

才-32十1=0,其A=5>0,有两个不同的特征值，故C可以相似对角化：

D是秩为I的矩阵，特征值为34故Q可以相似对角化;

而川的特征值为人二1,对应的线性无关特征向量只有故M不可以相似对角化.丿

⑺设開机变量x与y相互独立.且都腿从区阎〔o,i〕上的均匀分札那么p｛屮+尸叫二〔

〔A〕M〔B〕i

42

【答案】D

【解析】X与『的槪率密度函数分别为

⑻设孟，兀・X厂兀为来自总体N〔0,L〕9>0〕的简单随机拝本.那么统计巧手冬的

Qx,+XA2

〔〕

又x与f相互独立.所以"与y的联合密度函數为

L0

伦处加讹如其他'从而

P{X2+F2<1}=jj/uyxiidy=jj1（U^=5n=—.D£治4

分布为

〔A〕N〔0,2〕〔B〕t〔2〕〔C〕F〔2〕〔D〕F〔2,2〕

【答宴】〔B〕

【解析】丁“山AT©,，〕，也口N〔0&〕,ZDN〔O0〕•如口〞〔0,P〕，且他们之间相互独立，・••儿-兀口"〔0,2/〕,从而冷］口"〔〔>,】〕DN〔0,】〕，

二填空區9UL4小也毎小題4分.共24分请将答案写住答題纸指定位置上

•••

3

（9）lim（^ex+*卩二.

【答案】J

（10）函数y=x2（21nx-l）的极值点".

【答案】1.

【解析】由y=x2（2111*-1）,得丿"=2x（21nx-l）+x2二j=dxlnjr,再由4xlnx=0,再x=l,^W=41nx44.^

（1）=4>0,/.^=1为极值点.

（⑴曲线尸WI与“4及尸0围成的平面图形绕兀轴旋转一周得到的旋转的体枳匕=

9

【答案】“

2

【解析】图形如下图，曲线写为尸QI（1"S4）

【答案】t

2

【解析】

=一*严5cos（x-y）

〈13）设八

A&A的伴师矩薛•将/!

的笫二列加列笫列得矩阵〃.那么丨兄•〃匸

【答案】9【解析】

]0）

令尸=L由A与B的关疾知3=曲，刘|・4步卜卜：

仲卜制£||円=|才=9.

L11丿

（⑷设几〃是两个互不相容的筋机孚件，垃?

（/!

>=^,P（B）=^,那么戸（川初）二

【答案】-

甲）

【解析1奸（平）=%^=牛評=刊第f与B互不相容

1

'1'尸（B）l-P（B）j.l4

3

三.解制d15〜23小更共94分•请将解荐写农符遵最指定位負L解芥应写出文字说明■证明过程或M算步驟.

求曲线cos（0）+hi（j-x）=jr4-l在点（0,1）处的切线方程.

【解析】方穆两边关干工同时求导•得一sin（jr>）[2+x2y]4-^―（/-1）=1.4§a=0,

y_n

y=l代入上式，/|[01|=2,所以切线方理为^-l=2（^-0i,即2才一>，+1=0

（16）（此题总分值10分）

设函数/（〞）=max{l,F*[,求不定积分J/（兀禺.x3,x>1,

Tvxv1,

A<-l.

【解析】因为/（Af）=max{Ux\x3}f（x）=1

所以，当时.F（H二J/（xXh•二J+cbr二+/+G；

当一1vhv1珂，F（«t）=J/OXLr二Jldx二;r+C,当^<-lB4,F（x）=j/（^Xlr=Jx2dr=-j^4.Cr由原函数的连续性，可知lini^（A）=liin/,（A；）s即〞q风?

十】,

lim#（x）=lim尸（兀）,即C7-1=C3一一.

X+广XT-广3

32

由（1X2H尋q二C2亠1,C$二C?

——.

4

I+丁亠。

2,X>L

44

*+C“-lv*vl,

1332

—A?

hC2,X—1.

B==0

3x5^|（-10）

T=3

M1（70）

AC_卅=站1>0又A>Q

•••（-LO）为极小值点./（70）»八为极小值.

因为y-一=ln^.由通解的公式可得x\nx

=[x4-C]ln^

又因为时，丿二a,代入可得C=0,因此解为y^xh\x

（1-丹

当“[0,1）时门机0»从而广⑴单调递增，則r（x）^/"i0）=2>0,xG[OJ）»所以/'⑴单调递增，BP/'⑴n/'（0）=（Uw[0J），所以当xep.n时，/（x）单调迷增，即/（x）2/（0）=0,x€[0,1）.所以当-l

（2L）（本題诫分10分）

r-r

-1为/4的属于待征值-2的待征向址.

（I）求口上的值;

仃D求可逆矩阵P和对角矩阵0,使得P^AP二0

a

【解析】（I）由题意可知/a二一2口，即一1

J

兄1・1

1-11■乂

0

（II）二

1A-1

-1-12

—

12

-1_1

-1

Z

得4的特征值为人二心=1,2,=・2・

厂1、

T

=

-1

皿2=

0

9

（£=0的根底解系为％

（23）（本懸总分值11分）

设二维离散型萌机变址X、$的槪峯分布为

Q

1

2

0

1

4

0

2

4

1

0

1

3

0

2

1

12

0

1n

（I）求?

{^=2F}；

（II）求Cov（X-KK）,【解析】

（1）p{-r=2K}=p{jr=o?

r=o}+p{-Y=2,y=i}=~+o=i

〈II）X的槪率分布为

0

1

2

F

1

2

£

3

丄

7

故£（x）=ii+2qL=I,

XF的槪率分布为

0

1

2

4

F

7

T7

£

3

0

1

12

y•的槪率分布为

X

0

1

2

P

丄

3

丄

3

丄

3

故妙叫叫吨几

c9

=£（F2）-[£（r）l2=^-l=j»

故Cov（X-八门=Cov（X>r）-Cov（r,K）

=E^）-E（X）£（f）一D（F）=2■・2二

333