过三点的圆.docx

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过三点的圆

过三点的圆

第3课时：

过三点的圆

教学目标：

1、本节课使学生了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法．2、了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念．3、培养学生观察、分析、概括的能力；教学重点：

经过不在一条直线上三点确定圆的定理．教学难点：

理解“不在一条直线上”确定圆的条件．教学过程：

一、新课引入：

某一个城市在一块空地上新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上．要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．请问同学们这所中学建在哪一个位置？

你怎么确定这个位置呢？

教师提出问题，学生思考回答．接着教师进一步提出这样一个问题，初一我们学习了直线公理，直线公理内容是什么？

教师重复学生的回答：

“经过两点确定一条直线．”对于一个圆来说，是否也有由几点确定的问题呢？

此时教师出示课题：

“7．2经过三点的圆”，教师这种引导虽然简短，但在学生的心理上起到了一定的定势作用，使学生明确了本节课的教学目标，学生带着一种好奇心，兴致勃勃去探索研究怎么作圆，从而调动学生学习积极性．二、新课讲解：

学生在教师的引导下，亲自动手试验发现经过三点的圆，这三点的位置要进行讨论．有两种情况；①在一条直线上三点；②不在一条直线上三点，通过学生小组的讨论认为不在同一条直线上三点能确定一个圆．怎样才能做出这个圆呢？

这时教师出示幻灯片．例1作圆，使它经过不在同一直线上三点．由学生分析首先得出这个命题的题设和结论．已知：

△ABC．求作：

⊙O，使它经过A、B、C三点．接着教师进一步引导学生分析要作一个圆的关键是要干什么？

由于一开课在设计学校的位置时，学生已经有了印象，学生会很快回答是确定圆心，确定圆心的方法：

作△ABC的三边垂直平分线，三边垂直平分线的交点O就是圆心．圆心O确定了，那么要经过三点A、B、C的圆的半径可以选OA或OB都可以．作图过程教师示范，学生和老师一起完成．一边作图，一边指导学生规范化的作图方法及语言的表达要准确．定理：

不在同一条直线上的三个点确定一个圆．注意：

经过在同一条直线上三点不能确定一个圆．这样做的目的，不是教师“填鸭式”的往里灌，而是学生自己经过探索确定圆的条件，这样得到的结论印象深刻，效果要比全部由老师讲更好．接着，由于学生完成了作圆的过程，引导学生观察这个圆与△ABC的顶点的关系，得出：

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．强调“接”指三角形的顶点在圆上，“内接”、“外接”指在一个图形的“里面”和“外面”．理解这些术语的意义，指出语言表达的规范化．为了更好的掌握新概念，出示小黑板的练习题．练习1：

按图7-4填空：

（1）△ABC是⊙O的________三角形；

（2）⊙O△ABC的________圆．这组题的目的就是理解“内接”，“外接”的含意，练习2：

判断题：

（1）经过三点一定可以作圆；（）

（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（）（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（）（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（）（5）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．（）这组练习题主要巩固对本节课的定理和有关概念的理解，加深学生对概念辨析的准确性．练习3：

经过4个（或4个以上的）点是不是一定能作圆？

练习4：

选择题：

钝角三角形的外心在三角形[]A．内部B．一边上C．外部D．可能在内部也可能在外部练习3、4两道小题，引导学生动手画一画，和对定理的理解是否深刻，训练学生思维的广阔性和准确性有关．练习5：

教材P．73中4题（略）．三、课堂小结：

师生共同完成总结．知识点方面：

2．

（1）三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；

（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．3．

方法方面：

1．用尺规作三角形的外接圆的方法．2．重点词语的区别：

“内接”，“外接”．四、布置作业：

1．教材P．83中7、8、9．

2．补充作业：

已知一个破损的轮胎，要求在原轮胎的基础上补一个完整的轮胎．

§3．4确定圆的条件

课时安排

1课时

从容说课

本节课的教学内容是确定圆的条件，即探索经过一个点、两个点、三个点分别能否作出圆、能作出几个圆的问题，归纳总结出不在同一条直线上的三点作圆的问题，得出重要结论“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”．从而培养学生的探索精神，同时可以使学生体会在这一过程中所体现的归纳思想．

在教学中，教师应指导学生自己去探索，与作直线类比，引出确定圆的条件问题，由易到难让学生经历作圆的过程，从中探索确定圆的条件．通过学生自己的亲身体验，再加上同学间的合作与交流，最后师生共同归纳总结便可轻松愉悦地完成教学内容．

第六课时

课题

§3．4确定圆的条件

教学目标

（一）教学知识点

了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．

（二）能力训练要求

1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．

2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．

（三）情感与价值观要求

1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．

2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．

教学重点

1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．

2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．

3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．

教学难点

经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．

教学方法

教师指导学生自主探索交流法．

§3.4确定圆的条件

知识目标：

了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．

能力目标：

经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力；通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．

情感与价值观目标：

形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神；学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．

教学重点、难点：

三个点确定一个圆的探索过程，过不在同一条直线上的三个点作圆的方法教学过程与教学内容：

【创设问题情境，引发探究】

我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆?

经过两点、三点……呢?

本节课我们将进行有关探索．

作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．

【做一做】

（1）作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆?

（2）作圆，使它经过已知点A、B.你是如何作的?

你能作出几个这样的圆?

其圆心的分布有什么特点?

与线段AB有什么关系?

为什么?

（3）作圆，使它经过已知点A、B、C（A、B、C三点不在同一条直线上）．你是如何作的?

你能作出几个这样的圆?

分析：

（1）因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个，如图

（1）．

（2）已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图

（2）．

（3）要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．

因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．

【演示】

过不在同一条直线上的三点作圆．

作法

图示

1．连结AB、BC

2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O

3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆

因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等，连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．ED与FG的交点O满足OA=OB=OC，因此这样的画法满足条件．

由上可知，过已知一点可作无数个圆，过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．

【结论】不在同一直线上的三个点确定一个圆．

【有关定义】

由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

这个三角形：

形叫这个圆的内接三角形．

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

课堂练习：

已知锐角三角形、直角-三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆．它们外心的位置有怎样的特点?

解：

如下图．

锐角三角形直角三角形钝角三角形

O为外接圆的圆心，即三角形的外心．

锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．

课时小结：

本节课所学内容如下：

1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程．

2．过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．

3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念．

课后作业：

习题3．6：

第1题、第2题、第3题.

活动与探究：

如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心?

解：

因为A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．所以圆心在CD所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．

板书设计：

§3.4确定圆的条件

1、过已知一点可作无数个圆.

2、过已知两点也可作无数个圆.

3、过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．

图

（1）图

（2）图（3）

不在同一直线上的三个点确定一个圆

4、三角形的外接圆

三角形的外心

圆的内接三角形

锐角三角形直角三角形钝角三角形