高等代数 第四章 线性变换.docx
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高等代数第四章线性变换
第四章线性变换
习题精解
1、 判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是:
1） 在线性空间V中,A,其中V是一固定的向量;
2） 在线性空间V中,A其中Ｖ是一固定的向量;
3） 在P中,A;
４） 在P中,A;
5） 在P［]中,A
6） 在P[］中,A其中P是一固定的数;
７） 把复数域上看作复数域上的线性空间,Ａ
８） 在P中,ＡX=BXＣ其中Ｂ,CP是两个固定的矩阵、
解1）当时,是;当时,不是。
2）当时,是;当时,不是。
３）不是。
例如当,时,A,Ａ,
A A（、
4）是、因取,有
Ａ= A
=
＝
＝A+A
A A
=A
故A是P上的线性变换。
5）是、因任取,并令
则
A=A＝==A+A
再令则ＡＡＡ
故A为上的线性变换、
6）是、因任取则、
Ａ=AA
AA
７）不是。
例如取ａ=1,k=I,则
A（ｋａ）=－i, k（Aa）＝i,A（ka）kA（ａ）
8）是、因任取二矩阵,则
A（A+Ａ
A（k）=A
故A是上的线性变换、
2、在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ｏx轴由oｙ向oz方向旋转９0度的变换,,以Ｂ表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由oｘ向oｙ方向旋转９0度的变换、证明:
Ａ=B＝Ｃ=E,ABBＡ,AＢ＝ＢA
并检验（AB）=AB是否成立、
解 任取一向量ａ=（x,y,z）,则有
1）因为
Aa=（x,－z,ｙ）,Aa＝（x,-y,－z）
Aａ=（x,ｚ,－ｙ）, Ａa=（x,y,ｚ）
Ba=（z,y,－x）, Bａ＝（—x,y,-z）
Ba=（－z,y,x）,Bａ=（x,y,ｚ）
Ca＝（—y,x,z）,Ca=（-x,—y,z）
Ca=（y,—x,z）,Ｃa=（x,y,z）
因此
A=B=C=E
2）因为
ＡB（a）=A（ｚ,ｙ,—ｘ）=（z,x,y）
BA（a）=Ｂ（ｘ,—z,y）=（y,-ｚ,—x）
因此
ABBA
3）因为
AB（ａ）=A（—ｘ,y,—z）=（-x,－y,z）
ＢＡ（a）=B（ｘ,－y,—z）＝（—ｘ,—y,ｚ）
因此
AB=BＡ
3）因为
（AB）（a）=（AＢ）（AB（ａ））_＝AB（ｚ,x,y）=（y,z,ｘ）
ＡB（ａ）=（—ｘ,－y,z）
因此
（ＡB）AB
3、在P［x］中,ＡB
证明:
AB—ＢA=E
证任取P［ｘ],则有
（AB-BＡ）＝AB－BA＝A（－Ｂ（=—=
因此 ＡB-BA=Ｅ
4、设Ａ,B是线性变换,假如ＡB—ＢＡ＝E,证明:
AB—ＢA=A（k>1）
证采纳数学归纳法。
当ｋ=２时
AＢ-BA=（AＢ—AＢA）＋（ＡＢA—BA）=A（AB—BA）+（AB-BA）Ａ＝AE+EA=2A
结论成立。
归纳假设时结论成立,即AB-BA=A、则当时,有
ＡB-BＡ=（ＡＢ-ABA）+（ABA－BA）=A（AB-BA）＋（AB—BA）Ａ=AE+AA=Ａ
即时结论成立、故对一切结论成立、
５、证明:
可逆变换是双射、
证 设A是可逆变换,它的逆变换为A、
若ab,则必有AaＡｂ,不然设Ａa＝Ab,两边左乘Ａ,有a=b,这与条件矛盾、
其次,对任一向量b,必有a使Aａ=b,事实上,令Ab＝a即可、
因此,Ａ是一个双射、
６、设,,,是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换。
证明:
A是可逆变换当且仅当A,A,,A线性无关、
证因
A（,,,）=（Ａ,A,,A）=（,,,）A
故Ａ可逆的充要条件是矩阵A可逆,而矩阵A可逆的充要条件是A,A,,A线性无关、故A可逆的充要条件是A,A,,A线性无关、
７、求下列线性变换在所指定基下的矩阵:
1）第1题4）中变换A在基=（1,0,0）,＝（0,1,0）,＝（0,0,1）下的矩阵;
2）［o; ,］是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,Ｂ是平面上的向量对的垂直投影,求A,B,AB在基,下的矩阵;
3）在空间Ｐ［ｘ］中,设变换Ａ为
试求A在基＝（I=１,２,,n—1）
下的矩阵A;
4）六个函数=eｃos,=ｅsiｎ
=ecos,＝eｓiｎ
=ecｏｓ,=esiｎ
的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间,求微分变换D在基（ｉ=1,2,,6）下的矩阵;
5）已知P中线性变换A在基=（-1,１,1）,=（１,0,－1）,＝（0,1,１）下的矩阵是求A在基＝（1,0,０）,=（0,1,0）,＝（0,0,1）下的矩阵;
6）在P中,A定义如下:
其中
求在基=（1,0,0）,=（0,１,0）,＝（0,0,1）下的矩阵;
7）同上,求A在,,下的矩阵、
解1）Ａ=（2,０,1）=２+
A=（-1,１,0）=-+
Ａ=（0,1,０）＝
故在基,,下的矩阵为
2）取=（1,0）,=（０,１）则A=＋,
A＝＋
故A在基,下的矩阵为Ａ=
又因为B=０,B=因此B在基,下的矩阵为Ｂ=,另外,（AＢ）=Ａ（Ｂ）＝A=＋
因此AＢ在基,下的矩阵为AB=,
3）因为
因此Ａ
A
A
＝{｝
＝
因此A在基,,,下的矩阵为A=,
4）因为D=ａ－ｂ,
D=b-a,
D=+a—b,
D=+ｂ+a,
D＝＋a-ｂ,
D=+ｂ＋a
因此D在给定基下的矩阵为Ｄ=,
5）因为（,,）=（,,）,因此
（,,）=（,,）＝（,,）Ｘ,
故A在基,,下的矩阵为
Ｂ=XAX=＝、
6）因为（,,）=（,,）,
因此A（,,）=A（,,）,
但已知Ａ（,,）=（,,）故
Ａ（,,）=（,,）
=（,,）
=（,,）
7）因为（,,）=（,,）
因此A（,,）=（,,）
=（,,）。
8、在P中定义线性变换A（Ｘ）＝Ｘ,Ａ（Ｘ）=X,A（Ｘ）＝Ｘ,
求Ａ,A,A在基E,E,Ｅ,E下的矩阵、
解因
AＥ=a E+ｃE,AＥ=aE＋ｃ Ｅ,
AE=bＥ+dE,AE=bE+ｄE,
故Ａ在基E, E,E, E下的矩阵为
Ａ=
又因
AE＝aＥ+bE,AE=cE＋dＥ,
AＥ=aE+bE,AE＝ cＥ+dE,
故Ａ在基Ｅ, E, E, E下的矩阵为
Ａ=
又因
AE＝ａE+ａbＥ＋ａcＥ+bcE
ＡＥ= acＥ+adE+cＥ+ｃdＥ
AＥ=abE+bE+adE＋bdE
AＥ=ｂｃE+bdE＋cdE＋ｄE
故A在基E,E,E,E下的矩阵为
９、设三维线性空间V上的线性变换A在基下的矩阵为
Ａ＝
1）求A在基下的矩阵;
2）求Ａ在基下的矩阵,其中且;
3）求A在基下的矩阵。
解１）因
Ａ=+a
A=
Ａ=
故A在基下的矩阵为
２）因
A＝＋
A（ｋ）=+＋
A=＋（）＋
故Ａ在下的矩阵为
３）因
A（）＝（）（）+（）+（）
A=（）＋（）＋
A=（）＋（）+
故Ａ基下的矩阵为
1０、 设A是线性空间V上的线性变换,假如A０,但A＝0,求证
Ａ, A（>０）线性无关。
证设有线性关系
用A作用于上式,得
A=０（因A对一切ｎ均成立）
又因为A0,因此,因此有
再用A作用之,得 A=0。
再由,可得=０。
同理,接着作用下去,便可得
即证,A,A（＞0）线性无关。
11。
在ｎ维线性空间中,设有线性变换A与向量使得A但,求证A在某组下的矩阵是
证 由上题知,,A,A,A线性无关,故,Ａ,A,Ａ为线性空间V的一组基、又因为
Ａ A＋ A
A（A）＝＋A+A+A
…………………………………………………
Ａ（Ａ）=+A+A+A
故A在这组基下的矩阵为
１2、 设Ｖ是数域P上的维线性空间,证明:
V的全体线性变换能够交换的线性变换是数乘变换。
证 因为在某组确定的基下,线性变换与n级方阵的对应是双射,而与一切ｎ级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K、
13。
A是数域Ｐ上n维线性空间V的一个线性变换,证明:
假如A在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换。
证设A在基下的矩阵为A＝（）,只要证明A为数量矩阵即可。
设Ｘ为任一非退化方阵,且
（）=（）X
则也是V的一组基,且A在这组基下的矩阵是,从而即有AX=XA,这说明A与一切非退化矩阵可交换。
若取
则由A=A知=0（ｉj）,即得
A＝
再取
＝
由A=Ａ,可得
故A为数量矩阵,从而Ａ为数乘变换。
14。
设,是四维线性空间V的一组基,已知线性变换A在这组基下的矩阵为
1）求A在基,下的矩阵;
2）求A的核与值域;
3）在A的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求Ａ在这组基下的矩阵;
4）在A的值域中选一组基,把它扩充为Ｖ的一组基,并求A在这组基下的矩阵。
解 1）由题设,知
（）=（,）
故A在基下的矩阵为
B===
2）先求Ａ（0）、设A（0）,它在,下的坐标为（,）,且在A
在,下的坐标为（0,0,0,0,）,则
=
因raｎk（A）=2,故由
可求得基础解系为
X=,X=
若令
a=（,）X,a＝（,）X
则a,a即为Ａ（０）的一组基,因此
A（０）=L（a,a）
再求A的值域AV。
因为
A=
A=
Ａ＝
Ａ＝
因ｒank（A）＝2,故Ａ,A,Ａ,A发秩也为2,且Ａ ,A线性无关,故A,A可组成AV的基,从而
AV＝Ｌ（A,A）
4）由2）知ａ,a是A（０）的一组基,且知,ａ,ａ是V的一组基,又
（,a,a）=（,）
故A在基,ａ,a下的矩阵为
Ｂ==
4） 由2）知A＝,A=
易知A, Ａ,是V的一组基,且
（A,A,）=（,）
故A在基A,A,下的矩阵为
C=
=
15、给定P的两组基
定义线性变换A:
A=（=1,２,3）
1）写出由基到基的过度矩阵;
2）写出在基下的矩阵;
3）写出在基下的矩阵、
解１）由
（）＝（）X
引入P的一组基＝（1,0,０）, ＝（0,1,0）,＝（０,0,1）,则
（）＝（,,）＝（,,）A
因此
（）＝（,,）=（,,）Ｂ＝（,,）AＢ
故由基到基的过度矩阵为
Ｘ=ＡB＝＝
2）因
A（）=（）=（）
故Ａ在基下的矩阵为
A=
4）因
A（）=A（）X=（）Ｘ
故A在基下的矩阵仍为X。
16、证明
与相似,其中（）是1,2,的一个排列。
证 设有线性变换A,使
Ａ＝＝D
则Ａ（,）=（,）=（,）D
因此Ｄ与D为同一线性变换Ａ在两组不同基下的矩阵,故与相似、
１7、假如A可逆,证明AB与ＢＡ相似。
证 因A可逆,故A存在,从而A（AB）A=（ AA）BＡ=BＡ
因此AＢ与BA相似、
1８。
假如A与B相似,C与D相似,证明:
证由已知,可设B=XAX,D=YCY, 则=
这个地方=
故与相似、
１9设Ａ,B是线性变换,A=A,B＝Ｂ证明:
1）假如（Ａ+B）=A+Ｂ那么AＢ=0;
2）假如,ＡB=BA那么（A+B—AB）=Ａ+B—AB、
证１）因为A＝ A, B=Ｂ, （A+Ｂ）=A+B
由（A+B）＝（A＋Ｂ）（A＋B）=Ａ+AＢ+BＡ＋Ｂ,
故Ａ+B=A+AB+ＢA+B,
即AＢ＋BA=0、
又2AB=AB＋AB=AB－ＢA= AB-BA=AB+ABＡ= A（AＢ＋BＡ）= A0=0
因此ＡB=0。
2）因为A=A,B=B,AB=BＡ
因此（A+B—AB）＝ （A+B－ＡB）（Ａ+B—ＡB）
=A+BA—ABＡ+ ＡB+Ｂ—ＡB—AB－BAB＋ＡBAＢ
=Ａ+ＡB—AAB+ AB＋B—AB-AB-ABB +ＡＡＢB
= A+AB-A B+AB＋B-AB—AB—AB ＋AＢ
＝ A+B—AB
2０。
设V是数域Ｐ上维线性空间,证明:
由V的全体变换组成的线性空间是维的。
证
因此V的全体线性变换与同构,故V的全体线性变换组成的线性空间是维的。
２1、设A是数域Ｐ上n维线性空间Ｖ的一个线性变换,证明:
3）在中有一次数的多项式,使;
4）假如,那么,这个地方
5）A可逆的充分必要条件是:
有一常数项不为零的多项式
证 1）因为P上的n维线性空间V的线性变换组成的线性空间是维的,因此+1个线性变换A,Ａ,、、、,A,E
一定线性相关,即存在一组不全为零的数使
A+Ａ＋A+E=０
令,且
这就是说,在中存在一次数的多项式,使。
即证。
２）由题设知因为
因此=0
3）必要性、由1）知,在中存在一次数的多项式,使、即
A+A+A＋E＝０
若即为所求、
若
A+A+A＋E=0A可逆,故存在,
得A＋A+…+E＝0
令++…+,即为所求。
充分性、设有一常数项不为零的多项式
使
即
因此
因此
又
故Ａ可逆、
２2、假如是线性空间V的个两两不同的线性变换,那么在V中必存在向量,使也两两不同。
证令
V （）
因为
故`非空、又因为两两不同,因此关于每两个而言,总存在一个向量,使
故是V的非空真子集
设
因此
即
又
因此
故是V的真子空间、
1）假如都是V的非平凡子空间,在V中至少有一个向量不属于所有的,设则
（）
即证:
存在向量,使两两不同、
２）假如{｝中有的平凡子空间,则只能是零空间。
关于这种,只要取就有,故如此的能够去掉、因而问题可归于1）,即知也存在向量使两两不同。
２3
证 因为是设的维数
为r,的维数为ｓ、
今在中取一组基把它扩充成的一组基,
则=
且线性无关、因此
24、设
ﻩ（）（）＋
证在
ﻩA,B,则线性变换ＡB、
因为,Ａ,B,ＡB的秩,因此关于矩阵Ａ,B,AB有（ＡB）（A）+
故关于,
（）（）+
25、设
1）
２）
证1）必要性。
若
因此
同理可证
充分性。
若,,任取
因此
同理可证,故
2）必要性、若,对任意,作向量,因为
ﻩ（）=-=０
因此
又（=
因此,由的任意性,故有
作向量,则
=
因此
又
充分性。
若
知
同理可证
即证
升级会员 