奥数得分问题复习进程.docx
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奥数得分问题复习进程
奥数-得分问题
循环赛得分(17年9月3日)
10个队进行循环赛,胜队得2分,负队得1分,没有平局。
比赛结果中,有2个队并列第一,2个队并列第三,2个队并列第五,其余队分别为第7、8、9、10且得分不同。
请问各队得分各是多少?
该题目属于循环赛得分问题,
解题思路可化为以下三道题目:
题目一(简单)
10个队进行循环赛,胜队得2分,负队得1分,没有平局。
比赛结果中,有2个队并列第一。
请问排第一的队可能得18分么?
题目二(中等难度)
10个队进行循环赛,胜队得2分,负队得1分,没有平局。
比赛结果中,有2个队并列第一,2个队并列第三,2个队并列第五,其余队分别为第7、8、9、10且得分不同。
请问排名前6的队得分可能是15、16、17么?
题目三(进阶思考,华杯赛真题)
10个队进行循环赛,胜队得2分,负队得1分,没有平局。
比赛结果中,有2个队并列第一,2个队并列第三,2个队并列第五,其余队分别为第7、8、9、10且得分不同。
请问各队得分各是多少?
以下为答案:
题目一:
答:
不可能。
10个队循环比赛,每个队比赛9场,得分最高为18,最低为8。
要得18分,必须9场全胜。
现在有2个队并列第一,这2个队之间必定有胜有败,
不可能都是9场全胜,
因此,第一名得分不可能是18分。
题目二:
答:
不可能。
从题目一知道,最高得分18分,最低9分,且没有队得到18。
因此,得分最低为9,最高17。
又总共比赛场数为45场,各队得分相加是45*3=135分,
如果第一名17,第三名16,第五名15,
那么得分前6的队总得分就是2*(15+16+17)=96,
则剩下的4个队总得分就是135-96=39,
而剩下的4个队最低得分为9,且得分不同,
其和最小是9+10+11+12=42,
矛盾。
所以,排名前6的队得分不可能是15、16、17。
题目三:
答:
两种情况:
从低到高分别是9、10、11、13、14、14、15、15、17、17;
或者9、11、12、13、14、14、15、15、16、16。
从题目一知道,得分区间是9-17,
从题目二知道,排名前6的队得分不可能是15、16、17都有。
因此,在15、16、17中,至少有1个不是排名前6的队的得分。
此时,排名最后的4个队得分可选范围只能是9、10、11、12、13,
又注意到,10个队的总得分135是奇数,
前6的队的总得分是偶数,
后4的队总得分只能是奇数。
对前6的队的得分情况进行讨论:
当17不是得分时,前6的队只能是14、15、16,后4的队得分是9、11、12、13,各队得分从低到高分别是9、11、12、13、14、14、15、15、16、16;
当16不是得分时,前6的队只能是14、15、17,后4的队得分是9、10、11、13,各队得分从低到高分别是9、10、11、13、14、14、15、15、17、17;
当15不是得分时,前6的队只能是14、16、17,前6个队总得分94,后4个队总得分41,这是不可能的。
得分问题(17年8月27日)
某次考试只有判断题、选择题、填空题三种类型,每种类型的题目各100道。
判断题每题1分,选择题每题2分,填空题每题5分。
每道题目要么得0分,要么得全部分。
小明得了100分,请问小明的答题情况有多少种可能。
该题目属于得分问题,与零钱凑整问题属于同一类问题。
解题思路可化为以下三道题目:
题目一(简单)
某次考试只有判断题、选择题两种类型,每种类型的题目各100道。
判断题每题1分,选择题每题2分。
每道题目要么得0分,要么得全部分。
小明得了10分,有多少种不同的答题情况?
题目二(中等难度)
某次考试只有判断题、选择题两种类型,每种类型的题目各100道。
判断题每题1分,选择题每题2分。
每道题目要么得0分,要么得全部分。
小明得了n分,n为不大于100的正整数,当n为偶数时有多少种答题情况,当n为奇数时又有多少种答题情况?
题目三(进阶思考,华杯赛真题)
某次考试只有判断题、选择题、填空题三种类型,每种类型的题目各100道。
判断题每题1分,选择题每题2分,填空题每题5分。
每道题目要么得0分,要么得全部分。
小明得了100分,请问小明的答题情况有多少种可能。
以下为答案:
题目一:
答:
6种。
按正确的2分题目的个数来考虑,2分最少0个,最多5个,共6种可能。
1分题目只是作为2分题目的补充,
所以,共6种可能。
题目二:
答:
n为偶数时,n/2+1种可能;
n为奇数时,(n+1)/2种可能。
类似于题目一的做法,还是考虑正确2分题目的个数,
n为偶数时,2分最少0个,最多n/2个,n/2+1种可能;
n为奇数时,2分最少0个,最多(n-1)/2个,(n+1)/2种可能。
题目三:
答:
541种。
考虑正确5分题目的个数,最少为0个,最多为20个。
0-20中的,奇数有10个,偶数有11个。
5个数为奇数时,1分与2分钱需凑成的数也是奇数,偶数亦然。
利用题目二的结论,
当5分个数为奇数时,需要凑成的数是5、15、25、……、95,对应的凑法种类分别是:
3、8、13、……、48,和是255=10*(3+48)/2;
当5分个数为偶数时,需要凑成的数是0、10、20、……、100,对应的凑法种类分别是:
1、6、11、……、51,和是286=11*(1+451)/2。
所以,不同的答题种数为255+286=541种。
比赛得分问题(17年6月5日)
足球比赛A、B、C、D、E共5个队进行单循环赛(每两队赛一场),每场比赛胜者得3分,输者得0分,踢平二者各得1分。
若A、B、C、D最终总分分别为1分、4分、7分、8分。
请问:
E最多得多少分,最少得多少分?
该题目属于比赛得分问题,解题思路可化为以下三道题目:
题目一(简单)
足球比赛A、B、C、D、E共5个队进行单循环赛(每两队赛一场),每场比赛胜者得3分,输者得0分,踢平二者各得1分。
请问5个队的总分相加最多是多少分?
题目二(中等难度)
足球比赛A、B、C、D、E共5个队进行单循环赛(每两队赛一场),每场比赛胜者得3分,输者得0分,踢平二者各得1分。
若A、B、C、D最终总分分别为1分、4分、7分、8分。
请问:
B可能的比赛结果是什么?
题目三(进阶思考,华杯赛真题)
足球比赛A、B、C、D、E共5个队进行单循环赛(每两队赛一场),每场比赛胜者得3分,输者得0分,踢平二者各得1分。
若A、B、C、D最终总分分别为1分、4分、7分、8分。
请问:
E最多得多少分,最少得多少分?
以下为答案:
题目一:
答:
总得分之和最多30分。
5个队单循环赛,共赛10场。
每场比赛最多产生3分,共30分。
题目二:
答:
4场全平或1胜1平2负。
因为4=1+1+1+1=3+1+0+0。
题目三:
答:
最多7分,最少5分。
类似于题目二的分析,比赛结果是:
A:
1平3负;
B:
4平或1胜1平2负;
C:
3胜1平1负;
D:
2胜2平。
此时,可以知道,比赛平的场次最多是5场,最少是3场。
每平1场,总得分比题目一的30分少1分。
因此,总得分最多27分,最少25分。
所以,E的得分最多为:
27-1-4-7-8=7,
E的得分最少为:
25-1-4-7-8=5。
得分问题(17年4月12日)
数学竞赛,填空题8道,答对1题,得4分,未答对,得0分;问答题6道,答对1道,得7分,未答对,得0分。
参赛人数400人,至少有多少人的总分相同?
这道题属于比赛得分问题,奥数常见考点,解题过程需要用到两种知识:
(1)鸽笼原理;
(2)排列组合算法。
上述问题的解题思路可化为以下三道题目:
题目一(简单)
数学竞赛,填空题5道,答对1题,得4分,未答对,得0分;问答题3道,答对1道,得7分,未答对,得0分。
总共有多少种得分?
题目二(中等难度)
数学竞赛,填空题8道,答对1题,得4分,未答对,得0分;问答题6道,答对1道,得7分,未答对,得0分。
如果两个人得分相同,但他们答卷情况并不相同,这样的得分可能有哪些?
题目三(进阶思考,华杯赛真题)
数学竞赛,填空题8道,答对1题,得4分,未答对,得0分;问答题6道,答对1道,得7分,未答对,得0分。
参赛人数400人,至少有多少人的总分相同?
以下为答案:
题目一:
答:
24种。
该题是简单的排列组合问题,
填空题得分有6种可能,问答题得分有4种可能,
得分相加也不会出现重复的状况。
所以,共有24种可能。
题目二:
答:
6种得分可能出现题目中的情况,
28、32、35、39、42、46。
在得分相同但答对题目类别不同时,
假设同学甲答对了a道填空题,b道问答题,
同学乙答对了m道填空题,n道问答题,
二人得分相同。
则4*a+7*b=4*m+7*n,
其中a、b不大于8,m、n不大于6。
化简有4(a-m)=7(n-b),
即:
(a-m)=7;(n-b)=4
满足条件的a有2个:
7、8
满足条件的b有3个:
0、1、2
组合以后共6种情况:
此时对应的得分为28、32、35、39、42、46。
题目三:
答:
8。
第一步,先计算不同得分的个数:
填空题有9种可能,问答题有7种可能,
但从题目二的分析知道,会出现6种情况的答题情况不同,但得分相同。
故,不同的得分数为7*9-6=57。
第二步,应用鸽笼原理,
总共400个学生,有57种得分,
因为57*7<400<57*8,
所以,得分相同的学生数至少为8。
循环赛得分问题(17年10月20日)
足球比赛,4个队进行单循环赛,即每个队都和剩余的3只队各赛一场。
胜一场得3分,平一场得1分,负一场不得分。
比赛结束后,4个队的得分恰好是4个连续的自然数。
请问排名第一的队赢了哪几个队?
答案:
赢了排名第二的队。
讲解思路:
解答这种类型的问题,
关键在于求各队的得分。
为此需思考四个问题:
一是4个队得分的总和满足什么条件;
二是4个队得分的总和可能是多少;
三是4个队得分各是多少;
四是根据得分如何判断相互的输赢情况。
步骤1:
先思考第一个问题,
4个队循环赛,
共赛4*3/2=6场。
每场比赛中参与的两个队要么都平,要么一输一赢,
这两个队总得分要么是2分,要么是3分
因此,6场比赛的总得分范围在12-18之间。
步骤2:
再思考第二个问题,
4个连续的自然数,
如果最小的是n,
这4个数的和是4n+6,其范围是12-18,
因此4n的范围在6-12之间,
故n=2或3,
此时总得分可能是14或18。
步骤3:
再思考第三个问题,
对总得分进行讨论:
(1)当总得分是18时,
这4个队的得分是3、4、5、6,
但根据第一个问题的分析,
总分18必须每场都分胜负,不能有平局,
这与有球队得分为4矛盾。
(2)当总得分是14时,
无矛盾,
所以,这4个队的得分是2、3、4、5。
步骤4:
综合上述几个问题,
第一名:
得5分,5=3+1+1,1胜2平;
第二名:
得4分,4=3+1,1胜1平1负;
第四名:
得2分,2=1+1,2平1负,
注意到有1胜必1负,
故第三名:
得3分,只能是3局全平。
对第二名来说,除了其自身外,有胜绩的队只有第一名,
所以,第一名赢了第二名。
思考题:
在原题中条件不变的基础上,请问第四名输给第几名?
循环赛得分问题(17年10月25日)
足球比赛,若干个队进行单循环赛,即每个队都和剩余的队各赛一场。
胜一场得2分,平一场得1分,负一场不得分。
比赛结束后,前4名的队得分是8、7、5、4。
请问总共多少只队?
答案:
6。
讲解思路:
解答这种类型的问题,
关键在于考虑比分。
为此需思考两个问题:
一是n个队总共会产生多少比分;
二是最多可能会有多少个队。
步骤1:
先思考第一个问题,
不管结果如何,
每一场比赛都产生2分的总得分。
n个队共赛n(n-1)/2场,
总得分是n(n-1)。
步骤2:
再思考第二个问题,
注意到前4名得分8、7、5、4,
第5名以后得分最多是3分,
则有n只队的总得分不大于8+7+5+4+3(n-1)
即n(n-1)<=24+3(n-1)
当n>=7时,不可能满足,
故n小于7.
步骤3:
综合上述两个问题,
由于n>=4,
故对n讨论即可:
当n=4,总得分应为12,矛盾;
当n=5,总得分应为20,矛盾;
当n=6,可行。
所以,共6只球队。
思考题:
原题目中条件不变,请问最后一名得分多少?
比赛得分问题(18年6月9日)
拔河比赛是没有平局的。
有10个队进行拔河循环赛,每两个队之间都只拔一场。
每场比赛胜者得1分,负者得0分,如果有几个队得分相同,用抽签决定排名。
比赛结束后,第一、二名得分相同,第三、四名得分相同,第五、六名得分也相同。
其余4个队得分各不相同。
请问第三名得多少分?
讲解思路:
这一道比赛得分问题,
需要用到的是范围控制的思想。
步骤1:
先思考第一个问题,
排名第一第二的两个队可能得9分么?
每个队都是拔9场,
如果有一个队得9分,
一定是胜了其余所有队,
现在第一第二得分相同,
彼此之间一定有胜负关系,
不可能同时得9分。
步骤2:
再思考第二个问题,
排名前6的队得分可能是8、7、6么?
由于总共比赛场次是10*9/2=45场,
总得分就是45。
如果排名前6的队得分是8、7、6,
这6个队总得分就是2*(8+7+6)=42,
剩下4个队总得分只能是3分,
这与剩下4个队得分不同矛盾。
因此排名前6的队得分不是8、7、6,
也就是说剩下4个队得分都比5分少。
步骤3:
再思考第三个问题,
第三名得分是多少?
结合步骤1、2的结论知道,
最后4个队的得分在0、1、2、3、4中,
而前6个队伍的总得分是偶数,
注意到10个队总得分45是奇数,
故最后4个队得分和是奇数,
因此最后4个队得分是0、1、2、4或0、2、3、4。
分别对此讨论:
(1)当最后4个队得分0、1、2、4,
前6个队的总得分是45-0-1-2-4=38,
其得分只能是8、6、5,
此时排名第三的队得6分;
(2) 当最后4个队得分0、2、3、4,
前6个队的总得分是45-0-2-3-4=36,
其得分只能是7、6、5,
此时排名第三的队得6分。
不管是哪种情况,
排名第三的队都是6分。
思考题:
拔河比赛是没有平局的。
有10个队进行拔河循环赛,每两个队之间都只拔一场。
每场比赛胜者得2分,负者得1分,如果有几个队得分相同,用抽签决定排名。
比赛结束后,第一、二名得分相同,第三、四名得分相同,第五、六名得分也相同。
其余4个队得分各不相同。
请问第三名得多少分?
循环赛问题(17年8月7日)
甲、乙、丙、丁4个人进行乒乓球比赛,每人都与其他人比赛一场,每局比赛都分胜负而无平局。
甲战胜了丁,甲乙丙3人胜的场数相同。
请问丁胜了几场?
该题目属于循环赛问题,解题思路可化为以下三道题目:
题目一(简单)
甲、乙、丙、丁4个人进行乒乓球比赛,每人都与其他人比赛一场。
请问总共比赛多少场?
题目二(中等难度)
甲、乙、丙、丁4个人进行乒乓球比赛,每人都与其他人比赛一场,每局比赛都分胜负而无平局。
请问甲、乙、丙、丁4人获胜的场数总共多少场?
题目三(进阶思考,华杯赛真题)
甲、乙、丙、丁4个人进行乒乓球比赛,每人都与其他人比赛一场,每局比赛都分胜负而无平局。
甲战胜了丁,甲乙丙3人胜的场数相同。
请问丁胜了几场?
以下为答案:
题目一:
答:
6场。
可以使用排列组合直接计算4*3*2*1/2=6。
也可以采用列举法,甲打乙丙丁,乙打丙丁,丙打丁,3+2+1=6。
题目二:
答:
6场。
任何一场比赛,一定有1个人胜。
所有人胜的场数之和就是总的比赛场数。
从题目一知道,总共比赛6场。
所以,4人胜利的总场数是6场。
题目三:
答:
丁胜0场。
从题目二知道,4人胜利的总场数是6场。
设甲乙丙3人胜利的场数都是a,丁胜利的场数是b。
则3a+b=6,显然,a只能取值0、1或2。
由于甲战胜了丁,而丁参加比赛的场数是3,故b<3.
因此,a=(6-b)/3>1,
则:
a=2,b=0,
所以,丁胜0场。