奥数得分问题复习进程.docx
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奥数得分问题复习进程
奥数-得分问题
循环赛得分（17年9月3日）
10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，没有平局。
比赛结果中，有2个队并列第一，2个队并列第三，2个队并列第五，其余队分别为第7、8、9、10且得分不同。
请问各队得分各是多少？
该题目属于循环赛得分问题，
解题思路可化为以下三道题目：
题目一（简单）
10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，没有平局。
比赛结果中，有2个队并列第一。
请问排第一的队可能得18分么？
题目二（中等难度）
10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，没有平局。
比赛结果中，有2个队并列第一，2个队并列第三，2个队并列第五，其余队分别为第7、8、9、10且得分不同。
请问排名前6的队得分可能是15、16、17么？
题目三（进阶思考,华杯赛真题）
10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，没有平局。
比赛结果中，有2个队并列第一，2个队并列第三，2个队并列第五，其余队分别为第7、8、9、10且得分不同。
请问各队得分各是多少？
以下为答案：
题目一：
答:
不可能。
10个队循环比赛，每个队比赛9场，得分最高为18，最低为8。
要得18分，必须9场全胜。
现在有2个队并列第一，这2个队之间必定有胜有败，
不可能都是9场全胜，
因此，第一名得分不可能是18分。
题目二：
答:
不可能。
从题目一知道，最高得分18分，最低9分，且没有队得到18。
因此，得分最低为9，最高17。
又总共比赛场数为45场，各队得分相加是45*3=135分，
如果第一名17，第三名16，第五名15，
那么得分前6的队总得分就是2*（15+16+17）=96,
则剩下的4个队总得分就是135-96=39，
而剩下的4个队最低得分为9，且得分不同，
其和最小是9+10+11+12=42，
矛盾。
所以，排名前6的队得分不可能是15、16、17。
题目三：
答：
两种情况：
从低到高分别是9、10、11、13、14、14、15、15、17、17；
或者9、11、12、13、14、14、15、15、16、16。
从题目一知道，得分区间是9-17，
从题目二知道，排名前6的队得分不可能是15、16、17都有。
因此，在15、16、17中，至少有1个不是排名前6的队的得分。
此时，排名最后的4个队得分可选范围只能是9、10、11、12、13，
又注意到，10个队的总得分135是奇数，
前6的队的总得分是偶数，
后4的队总得分只能是奇数。
对前6的队的得分情况进行讨论：
当17不是得分时，前6的队只能是14、15、16，后4的队得分是9、11、12、13，各队得分从低到高分别是9、11、12、13、14、14、15、15、16、16；
当16不是得分时，前6的队只能是14、15、17，后4的队得分是9、10、11、13，各队得分从低到高分别是9、10、11、13、14、14、15、15、17、17；
当15不是得分时，前6的队只能是14、16、17，前6个队总得分94，后4个队总得分41，这是不可能的。
得分问题（17年8月27日）
某次考试只有判断题、选择题、填空题三种类型，每种类型的题目各100道。
判断题每题1分，选择题每题2分，填空题每题5分。
每道题目要么得0分，要么得全部分。
小明得了100分，请问小明的答题情况有多少种可能。
该题目属于得分问题，与零钱凑整问题属于同一类问题。
解题思路可化为以下三道题目：
题目一（简单）
某次考试只有判断题、选择题两种类型，每种类型的题目各100道。
判断题每题1分，选择题每题2分。
每道题目要么得0分，要么得全部分。
小明得了10分，有多少种不同的答题情况？
题目二（中等难度）
某次考试只有判断题、选择题两种类型，每种类型的题目各100道。
判断题每题1分，选择题每题2分。
每道题目要么得0分，要么得全部分。
小明得了n分，n为不大于100的正整数，当n为偶数时有多少种答题情况，当n为奇数时又有多少种答题情况？
题目三（进阶思考,华杯赛真题）
某次考试只有判断题、选择题、填空题三种类型，每种类型的题目各100道。
判断题每题1分，选择题每题2分，填空题每题5分。
每道题目要么得0分，要么得全部分。
小明得了100分，请问小明的答题情况有多少种可能。
以下为答案：
题目一：
答:
6种。
按正确的2分题目的个数来考虑，2分最少0个，最多5个，共6种可能。
1分题目只是作为2分题目的补充，
所以，共6种可能。
题目二：
答:
n为偶数时，n/2+1种可能；
n为奇数时，（n+1）/2种可能。
类似于题目一的做法，还是考虑正确2分题目的个数，
n为偶数时，2分最少0个，最多n/2个，n/2+1种可能；
n为奇数时，2分最少0个，最多（n-1）/2个,（n+1）/2种可能。
题目三：
答:
541种。
考虑正确5分题目的个数，最少为0个，最多为20个。
0-20中的，奇数有10个，偶数有11个。
5个数为奇数时，1分与2分钱需凑成的数也是奇数，偶数亦然。
利用题目二的结论，
当5分个数为奇数时，需要凑成的数是5、15、25、……、95，对应的凑法种类分别是：
3、8、13、……、48，和是255=10*（3+48）/2；
当5分个数为偶数时，需要凑成的数是0、10、20、……、100，对应的凑法种类分别是：
1、6、11、……、51，和是286=11*（1+451）/2。
所以，不同的答题种数为255+286=541种。
比赛得分问题（17年6月5日）
足球比赛A、B、C、D、E共5个队进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜者得3分，输者得0分，踢平二者各得1分。
若A、B、C、D最终总分分别为1分、4分、7分、8分。
请问：
E最多得多少分，最少得多少分？
该题目属于比赛得分问题,解题思路可化为以下三道题目：
题目一（简单）
足球比赛A、B、C、D、E共5个队进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜者得3分，输者得0分，踢平二者各得1分。
请问5个队的总分相加最多是多少分？
题目二（中等难度）
足球比赛A、B、C、D、E共5个队进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜者得3分，输者得0分，踢平二者各得1分。
若A、B、C、D最终总分分别为1分、4分、7分、8分。
请问：
B可能的比赛结果是什么？
题目三（进阶思考,华杯赛真题）
足球比赛A、B、C、D、E共5个队进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜者得3分，输者得0分，踢平二者各得1分。
若A、B、C、D最终总分分别为1分、4分、7分、8分。
请问：
E最多得多少分，最少得多少分？
以下为答案：
题目一：
答:
总得分之和最多30分。
5个队单循环赛，共赛10场。
每场比赛最多产生3分，共30分。
题目二：
答:
4场全平或1胜1平2负。
因为4=1+1+1+1=3+1+0+0。
题目三：
答:
最多7分，最少5分。
类似于题目二的分析，比赛结果是：
A:
1平3负；
B:
4平或1胜1平2负；
C:
3胜1平1负；
D：
2胜2平。
此时，可以知道，比赛平的场次最多是5场，最少是3场。
每平1场，总得分比题目一的30分少1分。
因此，总得分最多27分，最少25分。
所以，E的得分最多为：
27-1-4-7-8=7，
E的得分最少为：
25-1-4-7-8=5。
得分问题（17年4月12日）
数学竞赛，填空题8道，答对1题，得4分，未答对，得0分；问答题6道，答对1道，得7分，未答对，得0分。
参赛人数400人，至少有多少人的总分相同？
这道题属于比赛得分问题，奥数常见考点，解题过程需要用到两种知识：
（1）鸽笼原理;
（2）排列组合算法。
上述问题的解题思路可化为以下三道题目：
题目一（简单）
数学竞赛，填空题5道，答对1题，得4分，未答对，得0分；问答题3道，答对1道，得7分，未答对，得0分。
总共有多少种得分？
题目二（中等难度）
数学竞赛，填空题8道，答对1题，得4分，未答对，得0分；问答题6道，答对1道，得7分，未答对，得0分。
如果两个人得分相同，但他们答卷情况并不相同，这样的得分可能有哪些？
题目三（进阶思考，华杯赛真题）
数学竞赛，填空题8道，答对1题，得4分，未答对，得0分；问答题6道，答对1道，得7分，未答对，得0分。
参赛人数400人，至少有多少人的总分相同？
以下为答案：
题目一：
答：
24种。
该题是简单的排列组合问题，
填空题得分有6种可能，问答题得分有4种可能，
得分相加也不会出现重复的状况。
所以，共有24种可能。
题目二：
答:
6种得分可能出现题目中的情况，
28、32、35、39、42、46。
在得分相同但答对题目类别不同时，
假设同学甲答对了a道填空题，b道问答题，
同学乙答对了m道填空题，n道问答题，
二人得分相同。
则4*a+7*b=4*m+7*n,
其中a、b不大于8，m、n不大于6。
化简有4（a-m）=7（n-b），
即：
（a-m）=7；（n-b）=4
满足条件的a有2个：
7、8
满足条件的b有3个：
0、1、2
组合以后共6种情况：
此时对应的得分为28、32、35、39、42、46。
题目三：
答:
8。
第一步，先计算不同得分的个数：
填空题有9种可能，问答题有7种可能，
但从题目二的分析知道，会出现6种情况的答题情况不同，但得分相同。
故，不同的得分数为7*9-6=57。
第二步,应用鸽笼原理，
总共400个学生，有57种得分，
因为57*7<400<57*8，
所以，得分相同的学生数至少为8。
循环赛得分问题（17年10月20日）
足球比赛，4个队进行单循环赛，即每个队都和剩余的3只队各赛一场。
胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分。
比赛结束后，4个队的得分恰好是4个连续的自然数。
请问排名第一的队赢了哪几个队？
答案：
赢了排名第二的队。
讲解思路：
解答这种类型的问题，
关键在于求各队的得分。
为此需思考四个问题：
一是4个队得分的总和满足什么条件；
二是4个队得分的总和可能是多少；
三是4个队得分各是多少；
四是根据得分如何判断相互的输赢情况。
步骤1：
先思考第一个问题，
4个队循环赛，
共赛4*3/2=6场。
每场比赛中参与的两个队要么都平，要么一输一赢，
这两个队总得分要么是2分，要么是3分
因此，6场比赛的总得分范围在12-18之间。
步骤2：
再思考第二个问题，
4个连续的自然数，
如果最小的是n，
这4个数的和是4n+6，其范围是12-18，
因此4n的范围在6-12之间，
故n=2或3，
此时总得分可能是14或18。
步骤3：
再思考第三个问题，
对总得分进行讨论：
（1）当总得分是18时，
这4个队的得分是3、4、5、6，
但根据第一个问题的分析，
总分18必须每场都分胜负，不能有平局，
这与有球队得分为4矛盾。
（2）当总得分是14时，
无矛盾，
所以，这4个队的得分是2、3、4、5。
步骤4：
综合上述几个问题，
第一名：
得5分，5=3+1+1，1胜2平；
第二名：
得4分，4=3+1，1胜1平1负；
第四名：
得2分，2=1+1，2平1负，
注意到有1胜必1负，
故第三名：
得3分，只能是3局全平。
对第二名来说，除了其自身外，有胜绩的队只有第一名，
所以，第一名赢了第二名。
思考题：
在原题中条件不变的基础上，请问第四名输给第几名？
循环赛得分问题（17年10月25日）
足球比赛，若干个队进行单循环赛，即每个队都和剩余的队各赛一场。
胜一场得2分，平一场得1分，负一场不得分。
比赛结束后，前4名的队得分是8、7、5、4。
请问总共多少只队？
答案：
6。
讲解思路：
解答这种类型的问题，
关键在于考虑比分。
为此需思考两个问题：
一是n个队总共会产生多少比分；
二是最多可能会有多少个队。
步骤1：
先思考第一个问题，
不管结果如何，
每一场比赛都产生2分的总得分。
n个队共赛n（n-1）/2场，
总得分是n（n-1）。
步骤2：
再思考第二个问题，
注意到前4名得分8、7、5、4，
第5名以后得分最多是3分，
则有n只队的总得分不大于8+7+5+4+3（n-1）
即n（n-1）<=24+3（n-1）
当n>=7时，不可能满足,
故n小于7.
步骤3：
综合上述两个问题，
由于n>=4,
故对n讨论即可：
当n=4,总得分应为12，矛盾；
当n=5,总得分应为20，矛盾；
当n=6,可行。
所以，共6只球队。
思考题：
原题目中条件不变，请问最后一名得分多少？
比赛得分问题（18年6月9日）
拔河比赛是没有平局的。
有10个队进行拔河循环赛，每两个队之间都只拔一场。
每场比赛胜者得1分，负者得0分，如果有几个队得分相同，用抽签决定排名。
比赛结束后，第一、二名得分相同，第三、四名得分相同，第五、六名得分也相同。
其余4个队得分各不相同。
请问第三名得多少分？
讲解思路：
这一道比赛得分问题，
需要用到的是范围控制的思想。
步骤1：
先思考第一个问题，
排名第一第二的两个队可能得9分么？
每个队都是拔9场，
如果有一个队得9分，
一定是胜了其余所有队，
现在第一第二得分相同，
彼此之间一定有胜负关系，
不可能同时得9分。
步骤2：
再思考第二个问题，
排名前6的队得分可能是8、7、6么？
由于总共比赛场次是10*9/2=45场，
总得分就是45。
如果排名前6的队得分是8、7、6，
这6个队总得分就是2*（8+7+6）=42，
剩下4个队总得分只能是3分，
这与剩下4个队得分不同矛盾。
因此排名前6的队得分不是8、7、6，
也就是说剩下4个队得分都比5分少。
步骤3：
再思考第三个问题，
第三名得分是多少？
结合步骤1、2的结论知道，
最后4个队的得分在0、1、2、3、4中，
而前6个队伍的总得分是偶数，
注意到10个队总得分45是奇数，
故最后4个队得分和是奇数，
因此最后4个队得分是0、1、2、4或0、2、3、4。
分别对此讨论:
（1）当最后4个队得分0、1、2、4，
前6个队的总得分是45-0-1-2-4=38，
其得分只能是8、6、5,
此时排名第三的队得6分；
（2） 当最后4个队得分0、2、3、4，
前6个队的总得分是45-0-2-3-4=36，
其得分只能是7、6、5,
此时排名第三的队得6分。
不管是哪种情况，
排名第三的队都是6分。
思考题：
拔河比赛是没有平局的。
有10个队进行拔河循环赛，每两个队之间都只拔一场。
每场比赛胜者得2分，负者得1分，如果有几个队得分相同，用抽签决定排名。
比赛结束后，第一、二名得分相同，第三、四名得分相同，第五、六名得分也相同。
其余4个队得分各不相同。
请问第三名得多少分？
循环赛问题（17年8月7日）
甲、乙、丙、丁4个人进行乒乓球比赛，每人都与其他人比赛一场，每局比赛都分胜负而无平局。
甲战胜了丁，甲乙丙3人胜的场数相同。
请问丁胜了几场？
该题目属于循环赛问题，解题思路可化为以下三道题目：
题目一（简单）
甲、乙、丙、丁4个人进行乒乓球比赛，每人都与其他人比赛一场。
请问总共比赛多少场？
题目二（中等难度）
甲、乙、丙、丁4个人进行乒乓球比赛，每人都与其他人比赛一场，每局比赛都分胜负而无平局。
请问甲、乙、丙、丁4人获胜的场数总共多少场？
题目三（进阶思考,华杯赛真题）
甲、乙、丙、丁4个人进行乒乓球比赛，每人都与其他人比赛一场，每局比赛都分胜负而无平局。
甲战胜了丁，甲乙丙3人胜的场数相同。
请问丁胜了几场？
以下为答案：
题目一：
答:
6场。
可以使用排列组合直接计算4*3*2*1/2=6。
也可以采用列举法，甲打乙丙丁，乙打丙丁，丙打丁，3+2+1=6。
题目二：
答:
6场。
任何一场比赛，一定有1个人胜。
所有人胜的场数之和就是总的比赛场数。
从题目一知道，总共比赛6场。
所以，4人胜利的总场数是6场。
题目三：
答:
丁胜0场。
从题目二知道，4人胜利的总场数是6场。
设甲乙丙3人胜利的场数都是a,丁胜利的场数是b。
则3a+b=6,显然，a只能取值0、1或2。
由于甲战胜了丁，而丁参加比赛的场数是3，故b<3.
因此，a=（6-b）/3>1，
则：
a=2,b=0,
所以，丁胜0场。
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