1、奥数得分问题复习进程奥数-得分问题循环赛得分(17年9月3日)10个队进行循环赛,胜队得2分,负队得1分,没有平局。比赛结果中,有2个队并列第一,2个队并列第三,2个队并列第五,其余队分别为第7、8、9、10且得分不同。请问各队得分各是多少?该题目属于循环赛得分问题,解题思路可化为以下三道题目:题目一(简单)10个队进行循环赛,胜队得2分,负队得1分,没有平局。比赛结果中,有2个队并列第一。请问排第一的队可能得18分么?题目二(中等难度)10个队进行循环赛,胜队得2分,负队得1分,没有平局。比赛结果中,有2个队并列第一,2个队并列第三,2个队并列第五,其余队分别为第7、8、9、10且得分不同。
2、请问排名前6的队得分可能是15、16、17么?题目三(进阶思考,华杯赛真题)10个队进行循环赛,胜队得2分,负队得1分,没有平局。比赛结果中,有2个队并列第一,2个队并列第三,2个队并列第五,其余队分别为第7、8、9、10且得分不同。请问各队得分各是多少?以下为答案:题目一:答:不可能。10个队循环比赛,每个队比赛9场,得分最高为18,最低为8。要得18分,必须9场全胜。现在有2个队并列第一,这2个队之间必定有胜有败,不可能都是9场全胜,因此,第一名得分不可能是18分。题目二:答: 不可能。从题目一知道,最高得分18分,最低9分,且没有队得到18。因此,得分最低为9,最高17。又总共比赛场数为
3、45场,各队得分相加是45*3=135分,如果第一名17,第三名16,第五名15,那么得分前6的队总得分就是2*(15+16+17)=96,则剩下的4个队总得分就是135-96=39,而剩下的4个队最低得分为9,且得分不同,其和最小是9+10+11+12=42,矛盾。所以,排名前6的队得分不可能是15、16、17。题目三:答:两种情况:从低到高分别是9、10、11、13、14、14、15、15、17、17;或者9、11、12、13、14、14、15、15、16、16。从题目一知道,得分区间是9-17,从题目二知道,排名前6的队得分不可能是15、16、17都有。因此,在15、16、17中,至少有
4、1个不是排名前6的队的得分。此时,排名最后的4个队得分可选范围只能是9、10、11、12、13,又注意到,10个队的总得分135是奇数,前6的队的总得分是偶数,后4的队总得分只能是奇数。对前6的队的得分情况进行讨论:当17不是得分时,前6的队只能是14、15、16,后4的队得分是9、11、12、13,各队得分从低到高分别是9、11、12、13、14、14、15、15、16、16;当16不是得分时,前6的队只能是14、15、17,后4的队得分是9、10、11、13,各队得分从低到高分别是9、10、11、13、14、14、15、15、17、17;当15不是得分时,前6的队只能是14、16、17,前
5、6个队总得分94,后4个队总得分41,这是不可能的。得分问题(17年8月27日)某次考试只有判断题、选择题、填空题三种类型,每种类型的题目各100道。判断题每题1分,选择题每题2分,填空题每题5分。每道题目要么得0分,要么得全部分。小明得了100分,请问小明的答题情况有多少种可能。该题目属于得分问题,与零钱凑整问题属于同一类问题。解题思路可化为以下三道题目:题目一(简单)某次考试只有判断题、选择题两种类型,每种类型的题目各100道。判断题每题1分,选择题每题2分。每道题目要么得0分,要么得全部分。小明得了10分,有多少种不同的答题情况?题目二(中等难度)某次考试只有判断题、选择题两种类型,每种
6、类型的题目各100道。判断题每题1分,选择题每题2分。每道题目要么得0分,要么得全部分。小明得了n分,n为不大于100的正整数,当n为偶数时有多少种答题情况,当n为奇数时又有多少种答题情况?题目三(进阶思考,华杯赛真题)某次考试只有判断题、选择题、填空题三种类型,每种类型的题目各100道。判断题每题1分,选择题每题2分,填空题每题5分。每道题目要么得0分,要么得全部分。小明得了100分,请问小明的答题情况有多少种可能。以下为答案:题目一:答:6种。按正确的2分题目的个数来考虑,2分最少0个,最多5个,共6种可能。1分题目只是作为2分题目的补充,所以,共6种可能。题目二:答:n为偶数时,n/2+
7、1种可能;n为奇数时,(n+1)/2种可能。类似于题目一的做法,还是考虑正确2分题目的个数,n为偶数时,2分最少0个,最多n/2个,n/2+1种可能;n为奇数时,2分最少0个,最多(n-1)/2个, (n+1)/2种可能。题目三:答:541种。考虑正确5分题目的个数,最少为0个,最多为20个。0-20中的,奇数有10个,偶数有11个。5个数为奇数时,1分与2分钱需凑成的数也是奇数,偶数亦然。利用题目二的结论,当5分个数为奇数时,需要凑成的数是5、15、25、95,对应的凑法种类分别是:3、8、13、48,和是255=10*(3+48)/2;当5分个数为偶数时,需要凑成的数是0、10、20、10
8、0,对应的凑法种类分别是:1、6、11、51,和是286=11*(1+451)/2。所以,不同的答题种数为255+286=541种。比赛得分问题(17年6月5日)足球比赛A、B、C、D、E共5个队进行单循环赛(每两队赛一场),每场比赛胜者得3分,输者得0分,踢平二者各得1分。若A、B、C、D最终总分分别为1分、4分、7分、8分。请问:E最多得多少分,最少得多少分?该题目属于比赛得分问题,解题思路可化为以下三道题目:题目一(简单)足球比赛A、B、C、D、E共5个队进行单循环赛(每两队赛一场),每场比赛胜者得3分,输者得0分,踢平二者各得1分。请问5个队的总分相加最多是多少分?题目二(中等难度)足
9、球比赛A、B、C、D、E共5个队进行单循环赛(每两队赛一场),每场比赛胜者得3分,输者得0分,踢平二者各得1分。若A、B、C、D最终总分分别为1分、4分、7分、8分。请问:B可能的比赛结果是什么?题目三(进阶思考,华杯赛真题)足球比赛A、B、C、D、E共5个队进行单循环赛(每两队赛一场),每场比赛胜者得3分,输者得0分,踢平二者各得1分。若A、B、C、D最终总分分别为1分、4分、7分、8分。请问:E最多得多少分,最少得多少分?以下为答案:题目一:答:总得分之和最多30分。5个队单循环赛,共赛10场。每场比赛最多产生3分,共30分。题目二:答:4场全平或1胜1平2负。因为4=1+1+1+1=3+
10、1+0+0。题目三:答:最多7分,最少5分。类似于题目二的分析,比赛结果是:A:1平3负;B:4平或1胜1平2负;C:3胜1平1负;D:2胜2平。此时,可以知道,比赛平的场次最多是5场,最少是3场。每平1场,总得分比题目一的30分少1分。因此,总得分最多27分,最少25分。所以,E的得分最多为:27-1-4-7-8=7,E的得分最少为:25-1-4-7-8=5。得分问题(17年4月12日)数学竞赛,填空题8道,答对1题,得4分,未答对,得0分;问答题6道,答对1道,得7分,未答对,得0分。参赛人数400人,至少有多少人的总分相同?这道题属于比赛得分问题,奥数常见考点,解题过程需要用到两种知识:
11、(1)鸽笼原理;(2)排列组合算法。上述问题的解题思路可化为以下三道题目:题目一(简单)数学竞赛,填空题5道,答对1题,得4分,未答对,得0分;问答题3道,答对1道,得7分,未答对,得0分。总共有多少种得分?题目二(中等难度)数学竞赛,填空题8道,答对1题,得4分,未答对,得0分;问答题6道,答对1道,得7分,未答对,得0分。如果两个人得分相同,但他们答卷情况并不相同,这样的得分可能有哪些?题目三(进阶思考,华杯赛真题)数学竞赛,填空题8道,答对1题,得4分,未答对,得0分;问答题6道,答对1道,得7分,未答对,得0分。参赛人数400人,至少有多少人的总分相同?以下为答案:题目一:答:24种。
12、该题是简单的排列组合问题,填空题得分有6种可能,问答题得分有4种可能,得分相加也不会出现重复的状况。所以,共有24种可能。题目二:答:6种得分可能出现题目中的情况,28、32、35、39、42、46。在得分相同但答对题目类别不同时,假设同学甲答对了a道填空题,b道问答题,同学乙答对了m道填空题,n道问答题,二人得分相同。则4*a+7*b=4*m+7*n,其中a、b不大于8,m、n不大于6。化简有4(a-m)=7(n-b),即:(a-m)=7;(n-b)=4满足条件的a有2个:7、8满足条件的b有3个:0、1、2组合以后共6种情况:此时对应的得分为28、32、35、39、42、46。题目三:答:
13、8。第一步,先计算不同得分的个数:填空题有9种可能,问答题有7种可能,但从题目二的分析知道,会出现6种情况的答题情况不同,但得分相同。故,不同的得分数为7*9-6=57。第二步,应用鸽笼原理,总共400个学生,有57种得分,因为57*740057*8,所以,得分相同的学生数至少为8。循环赛得分问题 (17年10月20日)足球比赛,4个队进行单循环赛,即每个队都和剩余的3只队各赛一场。胜一场得3分,平一场得1分,负一场不得分。比赛结束后,4个队的得分恰好是4个连续的自然数。请问排名第一的队赢了哪几个队?答案:赢了排名第二的队。讲解思路:解答这种类型的问题,关键在于求各队的得分。为此需思考四个问题
14、:一是4个队得分的总和满足什么条件;二是4个队得分的总和可能是多少;三是4个队得分各是多少;四是根据得分如何判断相互的输赢情况。步骤1:先思考第一个问题,4个队循环赛,共赛4*3/2=6场。每场比赛中参与的两个队要么都平,要么一输一赢,这两个队总得分要么是2分,要么是3分因此,6场比赛的总得分范围在12-18之间。步骤2:再思考第二个问题,4个连续的自然数,如果最小的是n,这4个数的和是4n+6,其范围是12-18,因此4n的范围在6-12之间,故n=2或3,此时总得分可能是14或18。步骤3:再思考第三个问题,对总得分进行讨论:(1)当总得分是18时,这4个队的得分是3、4、5、6,但根据第
15、一个问题的分析,总分18必须每场都分胜负,不能有平局,这与有球队得分为4矛盾。(2)当总得分是14时,无矛盾,所以,这4个队的得分是2、3、4、5。步骤4:综合上述几个问题,第一名:得5分,5=3+1+1,1胜2平;第二名:得4分,4=3+1,1胜1平1负;第四名:得2分,2=1+1,2平1负,注意到有1胜必1负,故第三名:得3分,只能是3局全平。对第二名来说,除了其自身外,有胜绩的队只有第一名,所以,第一名赢了第二名。思考题:在原题中条件不变的基础上,请问第四名输给第几名?循环赛得分问题 (17年10月25日)足球比赛,若干个队进行单循环赛,即每个队都和剩余的队各赛一场。胜一场得2分,平一场
16、得1分,负一场不得分。比赛结束后,前4名的队得分是8、7、5、4。请问总共多少只队?答案:6。讲解思路:解答这种类型的问题,关键在于考虑比分。为此需思考两个问题:一是n个队总共会产生多少比分;二是最多可能会有多少个队。步骤1:先思考第一个问题,不管结果如何,每一场比赛都产生2分的总得分。n个队共赛n(n-1)/2场,总得分是n(n-1)。步骤2:再思考第二个问题,注意到前4名得分8、7、5、4,第5名以后得分最多是3分,则有n只队的总得分不大于8+7+5+4+3(n-1)即n(n-1)=7时,不可能满足,故n小于7.步骤3:综合上述两个问题,由于n=4,故对n讨论即可:当n=4,总得分应为12
17、,矛盾;当n=5,总得分应为20,矛盾;当n=6,可行。所以,共6只球队。思考题:原题目中条件不变,请问最后一名得分多少?比赛得分问题(18年6月9日)拔河比赛是没有平局的。有10个队进行拔河循环赛,每两个队之间都只拔一场。每场比赛胜者得1分,负者得0分,如果有几个队得分相同,用抽签决定排名。比赛结束后,第一、二名得分相同,第三、四名得分相同,第五、六名得分也相同。其余4个队得分各不相同。请问第三名得多少分?讲解思路:这一道比赛得分问题,需要用到的是范围控制的思想。步骤1:先思考第一个问题,排名第一第二的两个队可能得9分么?每个队都是拔9场,如果有一个队得9分,一定是胜了其余所有队,现在第一第
18、二得分相同,彼此之间一定有胜负关系,不可能同时得9分。步骤2:再思考第二个问题,排名前6的队得分可能是8、7、6么?由于总共比赛场次是10*9/2=45场,总得分就是45。如果排名前6的队得分是8、7、6,这6个队总得分就是2*(8+7+6)=42,剩下4个队总得分只能是3分,这与剩下4个队得分不同矛盾。因此排名前6的队得分不是8、7、6,也就是说剩下4个队得分都比5分少。步骤3:再思考第三个问题,第三名得分是多少?结合步骤1、2的结论知道,最后4个队的得分在0、1、2、3、4中,而前6个队伍的总得分是偶数,注意到10个队总得分45是奇数,故最后4个队得分和是奇数,因此最后4个队得分是0、1、
19、2、4或0、2、3、4。分别对此讨论:(1)当最后4个队得分0、1、2、4,前6个队的总得分是45-0-1-2-4=38,其得分只能是8、6、5,此时排名第三的队得6分;(2)当最后4个队得分0、2、3、4,前6个队的总得分是45-0-2-3-4=36,其得分只能是7、6、5,此时排名第三的队得6分。不管是哪种情况,排名第三的队都是6分。思考题:拔河比赛是没有平局的。有10个队进行拔河循环赛,每两个队之间都只拔一场。每场比赛胜者得2分,负者得1分,如果有几个队得分相同,用抽签决定排名。比赛结束后,第一、二名得分相同,第三、四名得分相同,第五、六名得分也相同。其余4个队得分各不相同。请问第三名得
20、多少分?循环赛问题(17年8月7日)甲、乙、丙、丁4个人进行乒乓球比赛,每人都与其他人比赛一场,每局比赛都分胜负而无平局。甲战胜了丁,甲乙丙3人胜的场数相同。请问丁胜了几场?该题目属于循环赛问题,解题思路可化为以下三道题目:题目一(简单)甲、乙、丙、丁4个人进行乒乓球比赛,每人都与其他人比赛一场。请问总共比赛多少场?题目二(中等难度)甲、乙、丙、丁4个人进行乒乓球比赛,每人都与其他人比赛一场,每局比赛都分胜负而无平局。请问甲、乙、丙、丁4人获胜的场数总共多少场?题目三(进阶思考,华杯赛真题)甲、乙、丙、丁4个人进行乒乓球比赛,每人都与其他人比赛一场,每局比赛都分胜负而无平局。甲战胜了丁,甲乙丙3人胜的场数相同。请问丁胜了几场?以下为答案:题目一:答:6场。可以使用排列组合直接计算4*3*2*1/2=6。也可以采用列举法,甲打乙丙丁,乙打丙丁,丙打丁,3+2+1=6。题目二:答:6场。任何一场比赛,一定有1个人胜。所有人胜的场数之和就是总的比赛场数。从题目一知道,总共比赛6场。所以,4人胜利的总场数是6场。题目三:答:丁胜0场。从题目二知道,4人胜利的总场数是6场。设甲乙丙3人胜利的场数都是a,丁胜利的场数是b。则3a+b=6,显然,a只能取值0、1或2。由于甲战胜了丁,而丁参加比赛的场数是3,故b1,则:a=2,b=0,所以,丁胜0场。
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