六年级奥数100题.doc
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六年级奥数100题
1.很多科学家都喜欢用一些有趣的数学问题来考察别人的机敏和逻辑推理能力。
这里有一道著名物理学家爱因斯坦编的问题：
在你面前有一条长长的阶梯。
如果你每步跨2阶，那么最后剩下1阶；如果你每步跨3阶，那么最后剩2阶；如果你每步跨5阶，那么最后剩4阶；如果你每步跨6阶，那么最后剩5阶；只有当你每步跨7阶时，最后才正好走完，一阶也不剩。
请你算一算，这条阶梯到底有多少阶？
分析与解：
分析能力较强的同学可以看出，所求的阶梯数应比2、3、5、6的公倍数（即30的倍数）小1，并且是7的倍数。
因此只需从29、59、89、119、……中找7的倍数就可以了。
很快可以得到答案为119阶。
2.
明明和华华各有铅笔若干支，两个人的铅笔合起来共72支。
现在华华从自己所有的铅笔中，取出明明所有的支数送给明明，然后明明又从自己现在所有的铅笔中，取出华华现有的支数送给华华，接着华华又从自己现在所有的铅笔中，取出明明现在所有的支数送给明明。
这时，明明手中的铅笔支数正好是华华手中铅笔支数的8倍，那么明明和华华最初各有铅笔多少支？
分析与解：
有些数学题，如果顺着思考不易找到答案，往往从后往前想比较方便，即从已知条件倒推回去，找出答案来。
根据这道题的已知条件可知，无论明明取多少支铅笔给华华，还是华华取多少支铅笔给明明，两人所有的铅笔总支数（72支）是不变的；又知道最后明明手中铅笔的支数是华华手中铅笔支数的8倍。
这样我们可以求出最后两人手中铅笔的支数。
华华最后手中铅笔的支数是：
72÷（8＋1）=8（支）
明明最后手中铅笔的支数是：
8×8=64（支）
接着倒推回去，就可以求出两人最初各有铅笔多少支了。
答案是：
明明最初有铅笔26支，华华最初有铅笔46支。
3.
六年级举行中国象棋比赛，共有12人报名参加比赛。
根据比赛规则，每个人都要与其他人各赛一盘，那么这次象棋比赛一共要赛多少盘？
分析与解：
一共要赛66盘。
要想得出正确答案，我们可以从简单的想起，看看有什么规律。
假如2个人（A、B）参赛，那只赛1盘就可以了；假如3个人（A、B、C）
参赛，那么A—B、A—C、B—C要赛3盘；假如4个人参赛，要赛6盘，……
于是我们可以发现：
2人参赛，要赛1盘，即1；3人参赛，要赛3盘，即1+2；4个参赛，要赛6盘，即1+2+3；5人参赛，要赛10盘，即1+2+3+4；……
那么，12人参赛就要赛1+2+3+……+11=66盘。
我们还可以这样想：
这12个人，每个人都要与另外11个人各赛1盘，共11×12=132（盘），但计算这总盘数时把每人的参赛盘数都重复算了一次，（如A—B赛一盘，B—A又算了一盘），所以实际一共要赛132÷2=66（盘）。
4.
请你把1～8这八个数分别填入下图所示正方体顶点的圆圈里，使每个面的4个角上的数之和都相等。
分析与解：
做这种填数游戏，有两种方法，一种是“笨”方法，即凑数的方法。
分别用这8个数去试，这种方法可行，但很费事。
另一种方法是用分析、计算的方法。
这道题可以分析、计算如下：
在计算各个面上4个数的和时，顶点上的数总是分属3个不同的面，这样，每个顶点上的数都被重复计算了3次。
因此，各个面上4个数的和为1～8这8个数的和的3倍，即（1＋2+3+.+8）×3=108.又因为正方体有6个面，也就是每个面上的四个数的和应是108÷6=18.18应是我们填数的标准。
如果在前面上填入1、7、2、8（如图31），那么右侧面上已有2、8，其余两顶点只能填3、5.以此类推，答案如图31所示。
5.
晚饭后，爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。
打开装棋子的盒子前，爸爸忽然用大手捂着盒子对小红说：
“小红，爸爸给你出一道跳棋子的题，看你会不会做？
”小红毫不犹豫地说：
“行，您出吧？
”“好，你听着：
这盒跳棋有红、绿、蓝色棋子各15个，你闭着眼睛往外拿，每次只能拿1个棋子，问你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有3个是同一颜色的？
”
听完题后，小红陷入了沉思。
同学们，你们会做这道题吗？
分析与解：
至少拿7次，才能保证其中有3个棋子同一颜色。
我们可以这样想：
按最坏的情况，小红每次拿出的棋子颜色都不一样，但从第4次开始，将有2个棋子是同一颜色。
到第6次，三种颜色的棋子各有2个。
当第7次取出棋子时，不管是什么颜色，先取出的6个棋子中必有2个与它同色，即出现3个棋子同一颜色的现象。
同学们，你们能从这道题中发现这类问题的规律吗？
如果要求有4个棋子同一颜色，至少要拿几次？
如果要求5个棋子的颜色相同呢？
6. 5猴摘了一堆桃子。
决定睡后再分。
过了一段时间，来了一只猴，把桃平均分5份，结果多出了1个，就把多出的1个吃了，拿走其中的一份；又过了一会，来了第二只猴，将桃子重新堆起，平均分成5份，发现也多一个，同样吃了1个，拿走其中的1份，第3，4，5只都是这样，问5只猴至少摘了多少桃子？
第5只猴子走后还剩多少个桃子？
【解答】：
设桃子共有X个，借4个桃成为X+4个。
多一个桃就相当于少4个桃。
5个猴子分别拿了A,B,C,D,E个桃子。
因此有：
A=（X+4）/5
B=4（X+4）/25
C=16（X+4）/125
D=64（X+4）/625
E=256（X+4）/3125
E为整数，所以X+4=3125K
当K=1时，X=3121
因此最少摘了3121个桃子。
然后容易算出最后至少剩余1020个桃子。
7.
唐老鸭与米老鼠进行一万米赛跑，米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟100米。
唐老鸭手中掌握一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第n次指令，米老鼠就以原来速度的n×10%倒退一分钟，然后再按原来的速度继续前进。
如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少是_____次。
解答
8.
从1至25这25个自然数中，每次取出两个不同的数，使他们的和是4的倍数，共有多少种不同的取法
解答：
按除以4的余数分类：
（4，8，12，16，20，24）中任取2个：
共15
（2，6，10，14，18，22）中任取2个：
共15
（1，5，9，13，17，21，25）和（3，7，11，15，19，23）中各取1个：
7×6=42
共有15+15+42=72种。
9.
是否存在自然数n，使得n2＋n＋2能被3整除？
解答：
枚举法通常是对有限种情况进行枚举，但是本题讨论的对象是所有自然数，自然数有无限多个，那么能否用枚举法呢？
我们将自然数按照除以3的余数分类，有整除、余1和余2三类，这样只要按类一一枚举就可以了。
当n能被3整除时，因为n2，n都能被3整除，所以
（n2＋n＋2）÷3余2；
当n除以3余1时，因为n2，n除以3都余1，所以
（n2＋n＋2）÷3余1；
当n除以3余2时，因为n2÷3余1，n÷3余2，所以
（n2＋n＋2）÷3余2.
因为所有的自然数都在这三类之中，所以对所有的自然数n，（n2＋n＋2）都不能被3整除。
10.如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米，B点沿母线到桶口D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？
路程总长是多少？
解答：
我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不便于作图，设想将BD延长到F，使DF＝BD，即以直线CD为对称轴，作出点B的对称点F，用F代替B，即可找出最短路线了．
将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到F，使DF=BD，即作点B关于直线CD的对称点F，连结AF，交桶口沿线CD于O．
因为桶口沿线CD是B、F的对称轴，所以OB＝OF，而A、F之间的最短线路是直线段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B之间的最短距离就是AO＋OB，故蚂蚁应该在桶外爬到O点后，转向桶内B点爬去．
延长AC到E，使CE=DF，易知△AEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD，根据勾股定理， AF2=（AC+CE）2+EF2
＝（12＋8）2＋152＝625=252，解得AF=25．
即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米．
11.
甲仓有粮80吨，乙仓有粮120吨，如果把乙仓的一部分粮调入甲仓，使乙仓存粮是甲仓的60％，需要从乙仓调入甲仓多少吨粮食？
答案与解析：
①甲仓有粮：
（80＋120）÷（1＋60％）=125（吨）.②从乙仓调入甲仓粮食：
125-80=45（吨）.
出三个正方形的边长是成比例缩小的，即为一个等比数列，而这个比就要用到相似三角形的知识点。
这在以前讲沙漏原理或者三角形等积变形等专题的时候提到过。
可以说是一道难度比较大的题。
当然对于这种有特点
12.
如图，ABCG是的长方形，DEFG是的长方形。
那么，三角形BCM的面积与三角形DCM面积之差是多少？
答案与解析：
长方形ABCG的面积是28，长方形DEFG的面积是20，梯形ABEF的面积是51，从图中可以看出，三角形BCM的面积与三角形DCM面积之差就等于梯形ABEF的面积减去长方形ABCG的面积再减去长方形DEFG的面积，得到结果
13.
自然数1用了1个数字，自然数20用了2和02个数字，从自然数1到510共用了多少个数字？
答案与解析：
一位数1-9一共用了9个数字
二位数10-99中，有11-99共9个特殊的数，这样的数只用了1个数字，而其他的两位数每个都用了2个数字。
于是一共用了2x（90-9）+9=171
三位数中，先考虑100-199的情况。
其中，111用了1个数字；100,122…199一共有9个数，每一个都用到了2个数字；101,121,131…191一共9个数，每一个都用到了2个数字；其他的每一个都用到了3个数字。
所以一共用了3x（100-9-9-1）+2x9+2x9+1=280.
同理，200-299中也用了280个，300-399用了280个，400-499用了280个。
这时候，就已经用了280x4+171+9=1300。
从500-510中还能用到3x9+2+2=31所以一共1300+31=1331个
14.
已知甲车速度为每小时90千米，乙车速度为每小时60千米，甲乙两车分别从A,B两地同时出发相向而行，在途径C地时乙车比甲车早到10分钟；第二天甲乙分别从B,A两地出发同时返回原来出发地，在途径C地时甲车比乙车早到1个半小时，那么AB距离是多少?
答案与解析：
画图可知某一个人到C点时间内，第一次甲走的和第二次甲走的路程和为一个全程还差90×10/60=15千米，第一次乙走的和第二次乙走的路程和为一个全程还差60×1.5=90千米。
而速度比为3：
2；这样我们可以知道甲走的路程就是：
（90-15）÷（3-2）×3=215,所以全程就是215+15=230千米。
15.
甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园，甲班和乙班步行的速度都是每小时4千米。
学校有一辆汽车，它的速度是每小时68千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生，为了使两个班同时到达公园，已知公园相距学校100千米，求汽车行驶的总路程。
答案与解析：
为了使两个班同时到达公园，那么必须汽车来回接送一次，这是一个接送问题，接送问题关键就是画好路线图，
车先载着甲从A到C，然后放下甲，回去接乙，在D碰到乙，然后乙坐上车，跟甲同时到B，因为甲班和乙班的步行速度一样，又是同时到达，所以甲班和乙
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