八级数学下册..平方根教学设计(新版)北师大版-精.doc
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平方根
（一）创设情境，引入新知
活动一：
复习旧知
问题1：
老师手中有一正方形图片，若已知边长是3时，同学们说其面积是多少呢？
生：
32=9并在黑板上写出.
问题2：
以上算式属于我们学过的什么运算？
在此算式中存在几个量？
分别是什么？
生：
乘方运算；存在三个量；底数、指数和幂.
问题3：
乘方运算是知道了哪些量求哪个量的运算？
生：
底数、指数求幂的运算.
活动二：
探究新知
问题4：
若正方形的面积是9时，同学们说其边长是多少呢？
师：
同学们我们比较这两种运算，有什么区别？
生：
第一种运算,是知道了底数、指数求幂的运算即乘方运算；第二种运算，是知道了幂、指数求底数的运算.
师：
很好，第二种运算就是今天我们要学习的一种新运算---求一个正数的算术平方根的运算.
（板书1）§2.2算术平方根
设计意图：
通过利用旧知，引入新知.学生乐于去做，敢于发言，同时，让学生感受到，通过自己的探究，“玩”出了很多意想不到的收获，使数学课不再枯燥.注重了用数学的方法去研究问题，从数学的角度去思考问题，使数学课更具有数学味，同时，也揭示了本节课的教学重点.
问题5：
若正方形的面积是3时，同学们说其边长m又是多少呢？
3
m
师：
通过上节课的学习我们知道它的范围是多少？
它具体是多少，你知道吗？
生：
1.7＜m＜1.8，1.73＜m＜1.74，…；是无限不循环小数.
师：
同学们，这是我们在小学遇到过“π”的基础上，又一次遇到不能准确的去表示一个数，为了能精确的表示它，我们引进一个新的记号“”，读作“根号”.我们就用来表示m，这就好比小学中我们学过的圆周率3.1415926…，它就是一个无限不循环小数，为了能表示它，就用一个符号“π”来表示一样的道理.
设计意图：
通过自主探索，让学生亲身体验概念的形成过程,感受到概念引入的必要性，充分体现了学生的主体作用.
结论：
像以上算式m2=3中，我们就把正数m叫做3的算术平方根.记作：
“”，即m=
问题6：
请仿照上面表示“若m2=3，则m=”的办法，试着分别表示出下列正数x.
（1）x2=3
（2）x2=5（3）x2=7（4）x2=a（a＞0）
设计意图：
算术平方根的概念是由具体到抽象、由特殊到一般而形成的．通过问题6的尝试，培养学生抽象概括的能力.
（二）多方联动、理解新知
师：
现在我们一起来概括算术平方根的定义：
（板书2）：
一般的，一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根.记为“”读作“根号a”.
（板书3）：
0的算术平方根是0，即=0.
问题1：
用含根号的式子表示下列各数的算术平方根.（多媒体出示）
（1）16
（2）25（3）7（4）14
（学生独立完成后交流，并不失时机地追问）
师：
通过此问题，你会有什么新的发现？
生：
象=4，=5一样，这些正数可以写成有理数平方的形式，其算术平方根就可以用一个非负有理数表示，而有些正数写不成有理数平方的形式，其算术平方根只能用根号表示，如上面的7和14，它们的算术平方根只能分别写成、.
设计意图：
强化对算术平方根概念的认识，当细则细，为求出数的算术平方根搭建引桥，目的在于慢中求进，扎实有效.
师：
根据同学们的认识，我们一起来完成例题1.
例题1:
求下列各数的算术平方根：
（多媒体出示）
（1）1
（2）900
解：
（2）（老师板演第2题的解题过程）
∵302=900
∴900的算术平方根是30
即=30
设计意图：
规范学生解题的格式，让学生明确解题的思路.
（3）106（4）
解：
（4）（老师板演第4题）
∵
∴的算术平方根是
即
（5）10
设计意图：
体验求一个正数的算术平方根的过程，摸索利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如：
10的算术平方根是．同时，突出了本节课的教学重点.
思考：
通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？
（多媒体出示）
设计意图：
让学生感知平方运算和求正数的算术平方根是互逆的关系．
问题2：
仿照“例题1”，请同学们自己编写两道类似的题目，供其他同学解答.
设计意图：
要把所学的新知识，融入到自己已有的知识结构中来，通过编题，增进学生对概念的理解，力求做到学以致用，举一反三.
师：
同学们，我们都能编题了，真了不得！
看来下面的实际问题已不在话下.（出示例题2）
例题2：
自由下落的物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为h=4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
（多媒体出示）
（多媒体演示解题过程）
解：
将h=19.6代入公式h=4.9t2得t2=4，所以t==2（秒），即铁球到达地面需要2秒.
设计意图：
用算术平方根的知识解决实际问题，把数学与生活实施了链接，以增进学生对数学价值的体悟．
问题3：
有意义吗?
为什么?
（多媒体出示）
分析：
无意义,因为任何数的平方都是非负数,即a2≥0，故无意义.
（板书4）：
性质
算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.用式子表示为（a≥0）为非负数，这是算术平方根的一条很重要的性质.
设计意图：
让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：
中的a是一个非负数，a的算术平方根也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．
师：
现在，同学们对算术平方根的认识可以说已经较为全面，事实到底如何呢？
小试牛刀，看看自己的身手吧！
（三）自主运用、强化新知
1.填空：
（多媒体出示）
（1）的算术平方根是_________.
（2）的算术平方根为_________.
（3）的算术平方根为_________.
设计意图：
通过三个递进式的填空题，检测学生对算术平方根概念的把握情况，并通过（3）小题突出审题意识、优化学生的思维习惯.
2.若一个正方形的边长为3时，当面积扩大原来的4倍后，其大正方形的边长b变为原来的多少倍？
（多媒体出示）
解：
∵b2=4×32=36
即：
大正方形的边长是原来边长的2倍.
3．请同学们写出一些数的算术平方根，使它分别是整数、分数、无限不循环小数.（多媒体出示）
设计意图：
通过这样的开放式训练，使学生对算术平方根概念的认识和理解得到升华，让学生再一次品尝到成功的喜悦.在师生互动的过程中，将课堂推向了高潮，把难以理解的知识，像剥竹笋一样一层一层的剥开，使学生眼前豁然一亮.同时，也突破了本节课的教学难点.
师：
同学们说的都很好，看来我们通过今天的学习，有了很多的收获.
（四）合作交流、归纳总结
同学们，通过本节课的共同学习，请你从知识、方法与情感等方面谈一谈自己的认识.
师：
这节课主要就平方根中的算术平方根进行讨论,求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方正好是互逆的过程，因此，求正数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的平方运算.只不过，只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根.
设计意图：
通过回顾、梳理、反思，使学生对所学知识得到充分的消化和吸收，理顺了各知识点间的关系.老师重点从以下几个方面进行强调：
1.算术平方根概念引入的重要性，尤其是让学生经历概念的形成过程以及里面所蕴含的数学思想；
2.算术平方根概念应用的广泛性；
3.倡导学生善于发现、勇于探索、敢于创新.
（五）布置作业，自我巩固
1.必做题：
P40习题1、2、3.
2.选做题：
（1）一个正方形的面积为原来的100倍时，它的边长变为原来的多少倍？
（2）一个正方形的面积变为原来的n倍时，它的边长变为原来的多少倍？
设计意图：
设置分层作业，兼顾不同水平的学生，关注差异，使学生获得各自的发展，加深学生对“公式”的进一步理解的同时，扩展学生的思维，让优秀生有舒展的舞台.
附
课外阅读材料:
“根号的由来”
现在，我们都习以为常地使用根号（如等等），并感到它使用起来既简明又方便，那么，根号是怎样产生和演变成现在这种样子的呢？
古时候，埃及人用记号“┌”表示平方根；印度人在开平方时，在被开方数的前面写上ka；阿拉伯人用表示；1840年前后，德国人用一个点“.”来表示平方根，两点“..”表示4次方根，三个点“...”表示立方根，比如,.3、..3、...3就分别表示3的平方根、4次方根、立方根。
到十六世纪初，可能是书写快的缘故，小点上带了一条细长的尾巴，变成“”。
1525年，路多尔夫在他的代数著作中，首先采用了根号，比如他写4是2，9是3，并用8，8表示，。
但是这种写法未得到普遍的认可与采纳.
与此同时，有人采用“根”字的拉丁文radix中第一个字母的大写R来表示开方运算，并且后面跟着拉丁文“平方”一字的第一个字母q，或“立方”的第一个字母c，来表示开的是多少次方。
例如，现在的，当时有人写成R.q.4352.现在的，用数学家邦别利（1526—1572年）的符号可以写成R.c.�7p.R.q.14,其中“�”相当于今天用的括号，P相当于今天用的加号（那时候，连加减号“+”“-”还没有通用）.
直到十七世纪，法国数学家笛卡尔（1596—1650年）第一个使用了现今用的根号“”。
在一本书中，笛卡尔写道：
“如果想求的平方根，就写作，如果想求的立方根，则写作。
”
这是出于什么考虑呢？
有时候被开方数的项数较多，为了避免混淆，笛卡尔就用一条横线把这几项连起来，前面放上根号√（不过，它比路多尔夫的根号多了一个小钩）就为现在的根号形式。
现在的立方根符号出现得很晚，一直到十八世纪，才在一书中看到符号的使用，比如25的立方根用表示。
以后，诸如等等形式的根号渐渐使用开来。
由此可见，一种符号的普遍采用是多么地艰难，它是人们在悠久的岁月中，经过不断改良、选择和淘汰的结果，它是数家们集体智慧的结晶，而不是某一个人凭空臆造出来的，不是从天上掉下来的.
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