第08章重积分习题详解.docx

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第08章重积分习题详解

第八章重积分

习题8-1

1•设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy面上的闭区域D，薄板上分布有面密度为卩=艸x,y）的电荷，且Kx,y）在D上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q.

解用一组曲线将D分成n个小闭区域AcTi，其面积也记为icTiU=1,2，H|,n）.任取一点

（D迂g,则心6上分布的电量如止4E,h）Abi.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为

n

Q=1也2円©,r）gi=JJ4（x,y）dcr,卅i=1D

其中A=max{Abi的直径}.

2.设l1=ff（x2+y2）3db其中Di={（X,y）—1

D1D2

其中D2={（x,y）|o

解由二重积分的几何意义知，li表示底为Di、顶为曲面z=（x2+y2）3的曲顶柱体Oi的体积；12表示底为D2、顶为曲面z=（x2+y2）3的曲顶柱体02的体积.由于位于Di上方的曲

面Z=（x2+y2）3关于yOz面和zOx面均对称，故yOz面和zOx面将Ci分成四个等积的部分,

其中位于第一卦限的部分即为02.由此可知I^4I2.

JJkf（x,y）db=kJJf（x,y）d（其中k为常数）；

DD

JJf（x,y）db=JJf（x,y）db+JJf（X,y）db,其中=dAJD2,D1、D2为两个无公共

DD1D2

内点的闭区域.

证

（1）由于被积函数f（x,y）三1，故由二重积分定义得

nn

JJdb=|jm送f（q,ni）Ac7iHjmSAbi=iimb=b

DHizti=tH

n

⑵JJkf（X,y）db=1也SkfRlMa=kl也SfCiljS=kJJf（x,y）dcr.

D几0iAiD

（3）因为函数f（x,y）在闭区域D上可积，故不论把D怎样分割，积分和的极限总是不

变的，因此在分割D时，可以使Di和D2的公共边界永远是一条分割线。

这样f（x,y）在

UUD2上的积分和就等于Di上的积分和加02上的积分和，记为

送fCUMbi=Zf（q,q）gi+ZfCiEJA®.

D1JD2D1D2

令所有△5的直径的最大值AT0，上式两端同时取极限，即得

JJf（x,y）db=JJf（x,y）db+JJf（x,y）dcr.

4.

（1）

D1JD2DID2

根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：

口（x+y）2dcr与JJ（x+y）3dcr，其中积分区域D是由x轴、y轴与直线x+y=1所

DD

围成;

J7（x+y）2db与JJ（x+y）3do'，其中积分区域D是由圆周（x-2）2+（y-1）2=2所围

成；

⑶

DD

JJIn（x+yMb与J|[ln（x+y^db,其中D是三角形闭区域，三顶点分别为

DD

（1,0）,（1,1）,（2,0）；

（4）JJIn（x+y）dD与JJ[ln（x+y）]2dc7，其中D={（x,y）|3

DD

解

（1）在积分区域D上，0

质4,可得ff（x+y）3db

DD

（2）由于积分区域D位于半平面｛（x,y）|x+y>1｝内，故在D上有（x+y）2<（x+y）3.从而JJ（x+y）2db

DD

（3）由于积分区域D位于条形区域{（X,y）戸x+y<2内,故知D上的点满足0

DD

（4）由于积分区域D位于半平面{（X,y）|x+y>e}内，故在D上有ln（x+y）21，从而有[ln（x+y）]>ln（x+y）.因此JJ[In（x+y）]db>JJ|n（x+y）dcr.

DD

5.利用二重积分的性质估计下列积分的值：

（1）I=JJxy（x+y）dcr其中D={（x,y）|0

D

\=ffsin2xsin2ydcr其中D={（x,y）|0

D

I=JJ（x+y+1）dcr其中D={（x,y）|0

D

I=JJ（x2+4y2+9）db其中D={（x,y）x2+y2<4}.

（1）在积分区域D上，0

解

于1，因此0

D

在积分区域D上，0

积等于

n2，因此0

在积分区域D上，0

D

在积分区域D上，0

的面积等于4n,因此36n

D

习题8-2

1.

（1）

计算下列二重积分：

口（x2+y2）db,其中D={（x,y）||x|M,|y|M};

D

JJ（3x+2y）dcr,其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域;

D

ff（x3+3x2y+y3）db，其中D={（x,y）|0

D

ffxcos（x+y）dcy其中D是顶点分别为（0,0）,（兀0）和（兀冗）的三角形闭区域.

D

1「x2y』

（1）JJ（x2+y2）db=f^dxL（x2+y2）dy=jJ|x2y匕dx=L（2x2^dx=弓.

DL3」433

D可用不等式表示为0

22a222x

JJ（3x+2y）db=[dxL（3x+2y）dy=[[3xy+y]0dx

D

220

=[（4+2x—2x2）dx=」.

3

JJ（X3+3x2y+y3）db二[dyJ；（x3+3x2y+y3）dx

D

1Ix33113

=£|—+xy+yXidy=0（-+y+y）dy=1.L4_o4

D可用不等式表示为0

nxnx

JJxcos（x+y）db=10xdx0cos（x+y）dy=0x[sin（x+yj^dxD°°

n3

]x（sin2x-sinx）dx=—-n

2.

画出积分区域，并计算下列二重积分：

JJX阿，其中D是由两条抛物线y=jx,y=x2所围成的闭区域;

d

JJxy2dcr，其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域;

d

[@十此，其中D={（x,y）||x|+|y|M}；

d

ff（x2+y2—xjdcy，其中D是由直线y=2，y=x及y=2x所围成的闭区域.

d

D可用不等式表示为0

222*4上122264

JJxydb=「ydyLxdx=-「y（4—y）dy-—

D215

D=DiUD2，其中Di={（x,y）|—x-1

Di={（x,y）|x—1

JJex%UeF+JJex+dD

DD1D2

[ebJ二eydy+『exdxeydyL（e2x十一e^jdx+0（e—e2xJ）dx=e-e』.

（4）D可用不等式表示为乂

222y22ff（x+y—x）db=[dy|y（x+y-x）dxD‘^2

b[32y

3.化二重积分

，其中积分区域D是:

I=JJf（x,y）dcr

为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分）

由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域;

由x轴及半圆周X2+y2=r2（y>0）所围成的闭区域;

由直线y=x,x=2及双曲线y=」（x>0）所围成的闭区域;

x

环形闭区域{（X,y）|1

（1）直线y=x及抛物线y2=4x的交点为（0,0）和（4,4），于是

4^4x、4y

I=.0dx[f（x,y）dy或I=[dypf（x,y）dx

将D用不等式表示为0

r

I=Ldx0f（x,y）dy;

如将D用不等式表示为J2—y2

rJ「2_y2

I=.0dyJyrf（x,y）dx.

、12x、

二个交点为（1,1）、（2,—）和（2,2），于是I=1dxJ1f（x,y）dy或

2X

1222

I=Jidy£f（x,y）dx中[dyff（x,y）dx.

2y

将D划分为4块，得

4db1”rb

qdyBf（x,y）dx+』dyJrf（x,y）dx

丨=J2dyr牙f（x，y）dx中J/yL有f（x,y）dx

Ah^tx*1*47^

'=Ldx—x,y）dy+Ldy"“曲

1.or2HjTzx2

4.

+Ldyf（X,y）dy+HdyL&f（X,y）dy.

改换下列二次积分的积分次序：

（1）所给二次积分等于二重积分JJf（x,y）dcr，其中

={（x,y）|0

11

原式=dxxf（x,y）dy.

（2）所给二次积分等于二重积分JJf（x,y）dCT，其中

D

={（x,y）|y2

、4欢

原式=[dxjxf（x,y）dy.

2

（3）所给二次积分等于二重积分JJf（x,y）dCT，其中

D

氓（x,y）|—J—y2

{（x,y）|0

1^f^x2"

原式=Ldx0f（x,y）dy.

（4）所给二次积分等于二重积分JJf（x,y）dCT，其中

D

D={（x,y）|2—x

{（x,y）|2—y

（5）所给二次积分等于二重积分fjf（x,y）db，其中

D

D={（x,y）|0

J0

f（x,y）dx.

（6）所给二次积分等于二重积分

JJf（x,y）dcr，将D表示为D^lD2，其中

D

Dr={（x,y）|arcsiny

D2={（x,y）|-2arcsiny

、1n_arcsiny0n

原式=』dy[rcsinyf（X,y）dx+LdyLrcsinyf（X,y）dX.

5.计算由四个平面x=0,y=0,X=1,y=1所围成柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积.

解此立体为一曲顶柱体，它的底是xOy面上的闭区域D={（X,y）|0

117V=口（6-2x-3y）dxdy=』dx0（6-2x-3y）dy=-.

D、2

6.求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所围成的立体的体积.

解所求立体在xOy面上的投影区域为

22

D={（x,y）|x+y<2}

所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差:

V=JJ（6-2x2-y2）db—JJ（x2+2y2）db

DD

=JJ（6-3x2-3y2）db=JJ（6-3俨川內£

DD

=[d叫（6-3PdP=6n

7.

画出积分区域，把积分JJf（x,y）dcr表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D

D

是:

（4）{（x,y）|0

0<0<2n，故

2222

{（x,y）|a

（1）在极坐标中，D={（P0）|0

2na

JJf（x,y）db=JJf（Pcos日，Psin£）Pdfld0=0d0J0f（Pcos日，Psin日）PdP.

DD°°°

⑵在极坐标中，d={（P,T）|0

22

n2cosfl

JJf（X,y）db=fff（PcosT,PsinT）PdPd0=f2,def0f（Pcos日，Psin日）PdP.

DD—°

（3）在极坐标中，D={（P,£）|a

2nb

fff（x,y）db=fff（PcosT,PsinT）PdPd0=fd9[f（Pcos日,Psin日）PdP.LLLL.0La

D

在极坐标中，直线x+y=1的方程为P=，故

sin9+cos6

—（叫0心齐而，0"弓，

于是

1

JJf（x,y）db=fff（PcosT,Psin£）Pdfd0=Pcos日，Psin£）PdP.

D1''

8.

化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:

（1）

11

[dxff（x,y）dy;

2护

idxJxf（x,y）dy；

f（x,y）dy；

（1）用直线y=x将积分区域D分成Di、

D2两部分:

Di={（P,日）|0

4

D2={（P,日）|0

42

于是

原式

=俞9『叫（Pcos日,Psin日）FdP+魚9『叫（Pcos日,Psin日）PdP.

4

在极坐标中，直线X=2,y=x和y=J3x的方程分别是P=2sec日，&=—和

4

日=—。

因此D={（P,日）|0

343

n2secA

原式=j3d牡^（TPdP.

（3）在极坐标中，直线y=1-x的方程为P=1，圆y的方程为

sin9+cos6

1n

P=1，因此D={（BT）|

sin9+cos92

n1

原式=『dHJ1f（pcos日，psin日）pdp.

sin涉OS日

⑷在极坐标中，直线X=1的方程为P=sec日，抛物线y=x2的方程为

Psin0=P2cos20，即P=tan日se闵；两者的交点与原点的连线的方程是0=-。

因此

4

D={（P,0）|tan9sec0

4

9.

-secQ

原式涉cJWcosyPsin切PdP・把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：

2a72ax-x222

0dx』（x+y）dy;

ax2

0dxMF2dy;

a寸a2_y222

LdyL（x+y）dx-

（1）在极坐标中,

D={（2日）|0

原式

=Fd叮Fp2edP#na4.

在极坐标中,

D={（P0）I0

4

nQ3

原式=『dT_0P•內P=a[血+ln（'/2+1）].

在极坐标中，抛物线y=x2的方程为Psin0=P2cos2Q，即P=tan£se止J;直线

y=x的方程是9=—，故D={（,t）|0空血，00}隹＜

4

ntanAecQ!

原式=『dej0¥2dP=72-1.

（4）在极坐标中，积分区域

D={（P,0）|O

2

H笃dcT，其中D是由直线x=2,y=x及曲线xy=1所围成的闭区域;

Dy

ffT~x^y2^，其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的

DJ1+x+y

闭区域;

ff（x2+y2）db，其中D是由直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a（aA0）所围成

选用极坐标,

D={（P,日）|0

2屁•用Pd—f;吋儒.Pdp

=昭耳•丹P=n（-2）.

的闭区域;

2

xx

JJ-ydxJdxLdy=；•Dy、'

（3）选用直角坐标,

V=JJJr2—X2—y2db=JJJr2-P2，pdpd日

DD

R3

PdP=—arctank.

3

复习题A

、填空题

1.设D是正方形区域｛（X,y）|0

=

D

2.已知D是长方形区域｛（x,y）a兰b,0匠1｝又已知Jfyf（x）dxdy1则

D

b

2；

f（x）dx=

3.若D是由X+y=1和两坐标轴围城的三角形区域，则二重积分JJf（x）dxdy可以表示

D

为定积分JJf（x）dxdy=0®（x）dx，那么®（x）=

D

1x1x2（y）

4.若〔dx】f（x,y）dy=.0dy[（y）f（x,y）dx，那么区间[x^y）,X2（y）]=[y,i];

5.若

0寸a工Ba

fadx0—f（x,y）dy=fdQ0rf（rcos日,rsin9）dr,

f\

则区间（8P）=.

n

2,

I2

二、选择题

则Il,I2,I3的大小顺序为（

I3

3.将极坐标系下的二次积分：

n2sinQ

I=0d810rf（rcos8,rsin8）dr

化为直角坐标系下的二次积分，则I=（

114;戸

A.丨=.Ldyf（x,y）dx;

1j2y3

C.丨=帥匚2^fZdx；

4.设D是第二象限内的一个有界闭区域,

I1=JJyxdcT,

D

I2=JJy2xdcr,

D

B.

D.

而且

I3

则ll,l2,I3的大小顺序为（

C；

A.Il兰12兰<3；

B.

12兰ll兰<3；

2・■

l"f（x,y）dy;

■“2x_x2

Jo

11如丄

l=34口f（x,y）dy.

0cy<1.记

1

JJy^xdcT,

D

C.13兰ll兰>2；

D.13兰>2兰ll.

5.计算旋转抛物面Z=1+

B.JJJ-X2-y2dcr；

x2y兰

C.JJJ1+x+ydcT；

X2出2<

D.ffJ—X2—y2db.

x2-y2<

三、计算题

计算重积分

1.

ffexdxdy，其中D是由x=0,y=ex和y=2所围成的区域.

D

21

JJexdxdy=1dy0exdx=[（y-1）dy=-.

D

2lnyx

edx

2.

x2

计算重积分ff—dxdy，其中D是由

Dy

x=-2,y=x和xy=1所围成的区域.

lAdxd^J：

x2dxXy勺y=J：

（

—X3+x）dx=9.

4

3.

计算重积分JJ（x+y）dxdy，其中D是由x2+y2<2和x2+y2>2x所围成的区域.

D

n722?

粗

JJ（x+y）dxdy=J2d92（rcos日+rsin9），rdr+Jn2d9J（rcosT+rsinQ）

D>'cos日\'0

+13nd日Leos』cos日+rsin9）rdr=

-cos廿2

4.将二重积分JJf（x,y）dcr化为两种顺序的二次积分，积分区域D给定如下：

D

（1）

D是以（0,0）,（1,0）,（0,2）为顶点的三角形区域；

22

D是区域｛（X,y）I笃+每<1,y>0｝（a>■0,b:

>0）;ab

22

D是区域｛（x,y）|y>x,y<1—x｝；

D是由y=x和y=x3所围成的区域；

D是由y=0,y=1,y=x和y=x-2所围成的区域.

y

12（1丄）21M

（1）JJf（x,y）db=[dx1f（x,y）dy=.0dy.02f（X,y）dx.

D

_x

D给定如下：

fff（x,y）^^fadxf（x,y）dy=fdy忙二f（x,y）dx.

D—FV』

JJf（X,y）db=qdxf（x,y）dy=『dyJ；f（x,y）dx+pdy「乜f（x,y）dx.

1x13J7

JJf（x,y）db=0dx[3f（x,y）dy=0dy[f（x,y）dx.

D

⑸

JJf（x,y）db=0dx0