第08章重积分习题详解.docx
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第08章重积分习题详解
第八章重积分
习题8-1
1•设有一个面薄板(不计其厚度),占有xOy面上的闭区域D,薄板上分布有面密度为卩=艸x,y)的电荷,且Kx,y)在D上连续,试用二重积分表达该板上的全部电荷Q.
解用一组曲线将D分成n个小闭区域AcTi,其面积也记为icTiU=1,2,H|,n).任取一点
(D迂g,则心6上分布的电量如止4E,h)Abi.通过求和、取极限,便得到该板上的全部电荷为
n
Q=1也2円©,r)gi=JJ4(x,y)dcr,卅i=1D
其中A=max{Abi的直径}.
2.设l1=ff(x2+y2)3db其中Di={(X,y)—1D1D2
其中D2={(x,y)|o解由二重积分的几何意义知,li表示底为Di、顶为曲面z=(x2+y2)3的曲顶柱体Oi的体积;12表示底为D2、顶为曲面z=(x2+y2)3的曲顶柱体02的体积.由于位于Di上方的曲
面Z=(x2+y2)3关于yOz面和zOx面均对称,故yOz面和zOx面将Ci分成四个等积的部分,
其中位于第一卦限的部分即为02.由此可知I^4I2.
JJkf(x,y)db=kJJf(x,y)d(其中k为常数);
DD
JJf(x,y)db=JJf(x,y)db+JJf(X,y)db,其中=dAJD2,D1、D2为两个无公共
DD1D2
内点的闭区域.
证
(1)由于被积函数f(x,y)三1,故由二重积分定义得
nn
JJdb=|jm送f(q,ni)Ac7iHjmSAbi=iimb=b
DHizti=tH
n
⑵JJkf(X,y)db=1也SkfRlMa=kl也SfCiljS=kJJf(x,y)dcr.
D几0iAiD
(3)因为函数f(x,y)在闭区域D上可积,故不论把D怎样分割,积分和的极限总是不
变的,因此在分割D时,可以使Di和D2的公共边界永远是一条分割线。
这样f(x,y)在
UUD2上的积分和就等于Di上的积分和加02上的积分和,记为
送fCUMbi=Zf(q,q)gi+ZfCiEJA®.
D1JD2D1D2
令所有△5的直径的最大值AT0,上式两端同时取极限,即得
JJf(x,y)db=JJf(x,y)db+JJf(x,y)dcr.
4.
(1)
D1JD2DID2
根据二重积分的性质,比较下列积分的大小:
口(x+y)2dcr与JJ(x+y)3dcr,其中积分区域D是由x轴、y轴与直线x+y=1所
DD
围成;
J7(x+y)2db与JJ(x+y)3do',其中积分区域D是由圆周(x-2)2+(y-1)2=2所围
成;
⑶
DD
JJIn(x+yMb与J|[ln(x+y^db,其中D是三角形闭区域,三顶点分别为
DD
(1,0),(1,1),(2,0);
(4)JJIn(x+y)dD与JJ[ln(x+y)]2dc7,其中D={(x,y)|3DD
解
(1)在积分区域D上,0质4,可得ff(x+y)3dbDD
(2)由于积分区域D位于半平面{(x,y)|x+y>1}内,故在D上有(x+y)2<(x+y)3.从而JJ(x+y)2dbDD
(3)由于积分区域D位于条形区域{(X,y)戸x+y<2内,故知D上的点满足0DD
(4)由于积分区域D位于半平面{(X,y)|x+y>e}内,故在D上有ln(x+y)21,从而有[ln(x+y)]>ln(x+y).因此JJ[In(x+y)]db>JJ|n(x+y)dcr.
DD
5.利用二重积分的性质估计下列积分的值:
(1)I=JJxy(x+y)dcr其中D={(x,y)|0D
\=ffsin2xsin2ydcr其中D={(x,y)|0D
I=JJ(x+y+1)dcr其中D={(x,y)|0D
I=JJ(x2+4y2+9)db其中D={(x,y)x2+y2<4}.
(1)在积分区域D上,0解
于1,因此0D
在积分区域D上,0积等于
n2,因此0在积分区域D上,0D
在积分区域D上,0的面积等于4n,因此36nD
习题8-2
1.
(1)
计算下列二重积分:
口(x2+y2)db,其中D={(x,y)||x|M,|y|M};
D
JJ(3x+2y)dcr,其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域;
D
ff(x3+3x2y+y3)db,其中D={(x,y)|0D
ffxcos(x+y)dcy其中D是顶点分别为(0,0),(兀0)和(兀冗)的三角形闭区域.
D
1「x2y』
(1)JJ(x2+y2)db=f^dxL(x2+y2)dy=jJ|x2y匕dx=L(2x2^dx=弓.
DL3」433
D可用不等式表示为022a222x
JJ(3x+2y)db=[dxL(3x+2y)dy=[[3xy+y]0dx
D
220
=[(4+2x—2x2)dx=」.
3
JJ(X3+3x2y+y3)db二[dyJ;(x3+3x2y+y3)dx
D
1Ix33113
=£|—+xy+yXidy=0(-+y+y)dy=1.L4_o4
D可用不等式表示为0nxnx
JJxcos(x+y)db=10xdx0cos(x+y)dy=0x[sin(x+yj^dxD°°
n3
]x(sin2x-sinx)dx=—-n
2.
画出积分区域,并计算下列二重积分:
JJX阿,其中D是由两条抛物线y=jx,y=x2所围成的闭区域;
d
JJxy2dcr,其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域;
d
[@十此,其中D={(x,y)||x|+|y|M};
d
ff(x2+y2—xjdcy,其中D是由直线y=2,y=x及y=2x所围成的闭区域.
d
D可用不等式表示为0222*4上122264
JJxydb=「ydyLxdx=-「y(4—y)dy-—
D215
D=DiUD2,其中Di={(x,y)|—x-1Di={(x,y)|x—1JJex%UeF+JJex+dD
DD1D2
[ebJ二eydy+『exdxeydyL(e2x十一e^jdx+0(e—e2xJ)dx=e-e』.
(4)D可用不等式表示为乂222y22ff(x+y—x)db=[dy|y(x+y-x)dxD‘^2
b[32y
3.化二重积分
,其中积分区域D是:
I=JJf(x,y)dcr
为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分)
由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域;
由x轴及半圆周X2+y2=r2(y>0)所围成的闭区域;
由直线y=x,x=2及双曲线y=」(x>0)所围成的闭区域;
x
环形闭区域{(X,y)|1(1)直线y=x及抛物线y2=4x的交点为(0,0)和(4,4),于是
4^4x、4y
I=.0dx[f(x,y)dy或I=[dypf(x,y)dx
将D用不等式表示为0r
I=Ldx0f(x,y)dy;
如将D用不等式表示为J2—y2rJ「2_y2
I=.0dyJyrf(x,y)dx.
、12x、
二个交点为(1,1)、(2,—)和(2,2),于是I=1dxJ1f(x,y)dy或
2X
1222
I=Jidy£f(x,y)dx中[dyff(x,y)dx.
2y
将D划分为4块,得
4db1”rb
qdyBf(x,y)dx+』dyJrf(x,y)dx
丨=J2dyr牙f(x,y)dx中J/yL有f(x,y)dx
Ah^tx*1*47^
'=Ldx—x,y)dy+Ldy"“曲
1.or2HjTzx2
4.
+Ldyf(X,y)dy+HdyL&f(X,y)dy.
改换下列二次积分的积分次序:
(1)所给二次积分等于二重积分JJf(x,y)dcr,其中
={(x,y)|011
原式=dxxf(x,y)dy.
(2)所给二次积分等于二重积分JJf(x,y)dCT,其中
D
={(x,y)|y2、4欢
原式=[dxjxf(x,y)dy.
2
(3)所给二次积分等于二重积分JJf(x,y)dCT,其中
D
氓(x,y)|—J—y2{(x,y)|01^f^x2"
原式=Ldx0f(x,y)dy.
(4)所给二次积分等于二重积分JJf(x,y)dCT,其中
D
D={(x,y)|2—x{(x,y)|2—y(5)所给二次积分等于二重积分fjf(x,y)db,其中
D
D={(x,y)|0J0
f(x,y)dx.
(6)所给二次积分等于二重积分
JJf(x,y)dcr,将D表示为D^lD2,其中
D
Dr={(x,y)|arcsinyD2={(x,y)|-2arcsiny、1n_arcsiny0n
原式=』dy[rcsinyf(X,y)dx+LdyLrcsinyf(X,y)dX.
5.计算由四个平面x=0,y=0,X=1,y=1所围成柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积.
解此立体为一曲顶柱体,它的底是xOy面上的闭区域D={(X,y)|0117V=口(6-2x-3y)dxdy=』dx0(6-2x-3y)dy=-.
D、2
6.求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所围成的立体的体积.
解所求立体在xOy面上的投影区域为
22
D={(x,y)|x+y<2}
所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差:
V=JJ(6-2x2-y2)db—JJ(x2+2y2)db
DD
=JJ(6-3x2-3y2)db=JJ(6-3俨川內£
DD
=[d叫(6-3PdP=6n
7.
画出积分区域,把积分JJf(x,y)dcr表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D
D
是:
(4){(x,y)|00<0<2n,故
2222
{(x,y)|a(1)在极坐标中,D={(P0)|0
2na
JJf(x,y)db=JJf(Pcos日,Psin£)Pdfld0=0d0J0f(Pcos日,Psin日)PdP.
DD°°°
⑵在极坐标中,d={(P,T)|0
22
n2cosfl
JJf(X,y)db=fff(PcosT,PsinT)PdPd0=f2,def0f(Pcos日,Psin日)PdP.
DD—°
(3)在极坐标中,D={(P,£)|a
2nb
fff(x,y)db=fff(PcosT,PsinT)PdPd0=fd9[f(Pcos日,Psin日)PdP.LLLL.0La
D
在极坐标中,直线x+y=1的方程为P=,故
sin9+cos6
—(叫0心齐而,0"弓,
于是
1
JJf(x,y)db=fff(PcosT,Psin£)Pdfd0=Pcos日,Psin£)PdP.
D1''
8.
化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:
(1)
11
[dxff(x,y)dy;
2护
idxJxf(x,y)dy;
f(x,y)dy;
(1)用直线y=x将积分区域D分成Di、
D2两部分:
Di={(P,日)|0
4
D2={(P,日)|042
于是
原式
=俞9『叫(Pcos日,Psin日)FdP+魚9『叫(Pcos日,Psin日)PdP.
4
在极坐标中,直线X=2,y=x和y=J3x的方程分别是P=2sec日,&=—和
4
日=—。
因此D={(P,日)|0
343
n2secA
原式=j3d牡^(TPdP.
(3)在极坐标中,直线y=1-x的方程为P=1,圆y的方程为
sin9+cos6
1n
P=1,因此D={(BT)|
sin9+cos92
n1
原式=『dHJ1f(pcos日,psin日)pdp.
sin涉OS日
⑷在极坐标中,直线X=1的方程为P=sec日,抛物线y=x2的方程为
Psin0=P2cos20,即P=tan日se闵;两者的交点与原点的连线的方程是0=-。
因此
4
D={(P,0)|tan9sec0
4
9.
-secQ
原式涉cJWcosyPsin切PdP・把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值:
2a72ax-x222
0dx』(x+y)dy;
ax2
0dxMF2dy;
a寸a2_y222
LdyL(x+y)dx-
(1)在极坐标中,
D={(2日)|0
原式
=Fd叮Fp2edP#na4.
在极坐标中,
D={(P0)I0
4
nQ3
原式=『dT_0P•內P=a[血+ln('/2+1)].
在极坐标中,抛物线y=x2的方程为Psin0=P2cos2Q,即P=tan£se止J;直线
y=x的方程是9=—,故D={(,t)|0空血,00}隹<
4
ntanAecQ!
原式=『dej0¥2dP=72-1.
(4)在极坐标中,积分区域
D={(P,0)|O
2
H笃dcT,其中D是由直线x=2,y=x及曲线xy=1所围成的闭区域;
Dy
ffT~x^y2^,其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的
DJ1+x+y
闭区域;
ff(x2+y2)db,其中D是由直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a(aA0)所围成
选用极坐标,
D={(P,日)|02屁•用Pd—f;吋儒.Pdp
=昭耳•丹P=n(-2).
的闭区域;
2
xx
JJ-ydxJdxLdy=;•Dy、'
(3)选用直角坐标,
V=JJJr2—X2—y2db=JJJr2-P2,pdpd日
DD
R3
PdP=—arctank.
3
复习题A
、填空题
1.设D是正方形区域{(X,y)|0=
D
2.已知D是长方形区域{(x,y)a兰b,0匠1}又已知Jfyf(x)dxdy1则
D
b
2;
f(x)dx=
3.若D是由X+y=1和两坐标轴围城的三角形区域,则二重积分JJf(x)dxdy可以表示
D
为定积分JJf(x)dxdy=0®(x)dx,那么®(x)=
D
1x1x2(y)
4.若〔dx】f(x,y)dy=.0dy[(y)f(x,y)dx,那么区间[x^y),X2(y)]=[y,i];
5.若
0寸a工Ba
fadx0—f(x,y)dy=fdQ0rf(rcos日,rsin9)dr,
f\
则区间(8P)=.
n
2,
I2
二、选择题
则Il,I2,I3的大小顺序为(
I33.将极坐标系下的二次积分:
n2sinQ
I=0d810rf(rcos8,rsin8)dr
化为直角坐标系下的二次积分,则I=(
114;戸
A.丨=.Ldyf(x,y)dx;
1j2y3
C.丨=帥匚2^fZdx;
4.设D是第二象限内的一个有界闭区域,
I1=JJyxdcT,
D
I2=JJy2xdcr,
D
B.
D.
而且
I3
则ll,l2,I3的大小顺序为(
C;
A.Il兰12兰<3;
B.
12兰ll兰<3;
2・■
l"f(x,y)dy;
■“2x_x2
Jo
11如丄
l=34口f(x,y)dy.
0cy<1.记
1
JJy^xdcT,
D
C.13兰ll兰>2;
D.13兰>2兰ll.
5.计算旋转抛物面Z=1+
B.JJJ-X2-y2dcr;
x2y兰
C.JJJ1+x+ydcT;
X2出2<
D.ffJ—X2—y2db.
x2-y2<
三、计算题
计算重积分
1.
ffexdxdy,其中D是由x=0,y=ex和y=2所围成的区域.
D
21
JJexdxdy=1dy0exdx=[(y-1)dy=-.
D
2lnyx
edx
2.
x2
计算重积分ff—dxdy,其中D是由
Dy
x=-2,y=x和xy=1所围成的区域.
lAdxd^J:
x2dxXy勺y=J:
(
—X3+x)dx=9.
4
3.
计算重积分JJ(x+y)dxdy,其中D是由x2+y2<2和x2+y2>2x所围成的区域.
D
n722?
粗
JJ(x+y)dxdy=J2d92(rcos日+rsin9),rdr+Jn2d9J(rcosT+rsinQ)
D>'cos日\'0
+13nd日Leos』cos日+rsin9)rdr=
-cos廿2
4.将二重积分JJf(x,y)dcr化为两种顺序的二次积分,积分区域D给定如下:
D
(1)
D是以(0,0),(1,0),(0,2)为顶点的三角形区域;
22
D是区域{(X,y)I笃+每<1,y>0}(a>■0,b:
>0);ab
22
D是区域{(x,y)|y>x,y<1—x};
D是由y=x和y=x3所围成的区域;
D是由y=0,y=1,y=x和y=x-2所围成的区域.
y
12(1丄)21M
(1)JJf(x,y)db=[dx1f(x,y)dy=.0dy.02f(X,y)dx.
D
_x
D给定如下:
fff(x,y)^^fadxf(x,y)dy=fdy忙二f(x,y)dx.
D—FV』
JJf(X,y)db=qdxf(x,y)dy=『dyJ;f(x,y)dx+pdy「乜f(x,y)dx.
1x13J7
JJf(x,y)db=0dx[3f(x,y)dy=0dy[f(x,y)dx.
D
⑸
JJf(x,y)db=0dx0