第08章重积分习题详解.docx

1、第08章重积分习题详解第八章重积分习题 8-11设有一个面薄板（不计其厚度） ，占有xOy面上的闭区域 D，薄板上分布有面密度 为卩=艸x,y）的电荷，且 Kx,y）在D上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷 Q .解用一组曲线将 D分成n个小闭区域 AcTi，其面积也记为icTiU =1,2，H|, n）.任取一点（D 迂g ,则心6上分布的电量 如止4E,h）Abi .通过求和、取极限，便得到该板上的全 部电荷为nQ =1也2 円,r)gi = JJ4(x, y)dcr, 卅 i =1 D其中A=maxAbi的直径.2.设 l1 = ff(x2 +y2)3db其中 Di =( X,y)

2、1 x 1,-2 y 2；又 b = ff(x2 + yjdbD1 D2其中D2 =（x,y）|o x1,0y 2 试利用二重积分的几何意义说明 b与I2之间的关系.解 由二重积分的几何意义知，li表示底为Di、顶为曲面z=（x2+y2）3的曲顶柱体Oi的 体积；12表示底为D2、顶为曲面z=（x2+y2）3的曲顶柱体02的体积.由于位于 Di上方的曲面Z =（x2 +y2）3关于yOz面和zOx面均对称，故yOz面和zOx面将Ci分成四个等积的部分,其中位于第一卦限的部分即为 02 .由此可知I4I2 .JJkf (x, y)d b =k JJ f (x, y)d (其中 k为常数)；D D

3、JJf （x,y）db = JJf（x,y）db + JJf（X, y）db,其中 =dAJ D2 , D1、D2 为两个无公共D D1 D2内点的闭区域.证（1）由于被积函数f（x, y）三1，故由二重积分定义得n nJJdb=|jm 送 f(q,ni)Ac7i HjmS Abi =iim b =bD H i zt i =t Hn JJkf(X, y)db =1也S kfRlMa =kl也S f CiljS =k JJf (x,y)dcr.D 几 0 i A i D(3)因为函数f(x,y)在闭区域D上可积，故不论把 D怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割 D时，可以使Di和D2的公

4、共边界永远是一条分割线。这样 f(x,y)在UUD2上的积分和就等于 Di上的积分和加 02上的积分和，记为送 fCUMbi =Z f(q,q)gi +Z fCiEJA.D1JD2 D1 D2令所有5的直径的最大值 AT 0，上式两端同时取极限，即得JJ f(x, y)db = JJf(x, y)db + JJf(x, y)dcr.4.(1)D1JD2 DI D2根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：口(x + y)2dcr与JJ(x+y)3dcr，其中积分区域 D是由x轴、y轴与直线x+y=1所D D围成;J7(x+y)2db与JJ(x +y)3do，其中积分区域 D是由圆周(x-2)2

5、+(y -1)2 =2所围成；D DJJIn (x + yMb与J|ln (x+ydb ,其中D是三角形闭区域，三顶点分别为D D(1,0), (1,1),(2,0)；(4) JJIn(x+y)dD 与 JJln(x+y)2dc7，其中 D =( x, y)|3 x 5,0 y 1.D D解 (1) 在积分区域 D上，0x+y1，故有(X+y)3 (x + y)2，根据二重积分的性质4,可得 ff(x + y)3db1内，故在D上有(x+y)2(x + y)3 .从 而 JJ(x+y)2db JJ(x+y)3do.D D(3)由于积分区域D位于条形区域(X ,y )戸x+ y 2内 ,故知D上

6、的点满足 0ln x+y ) 1 从而有In (x+y)2l n(x + y).因此 JJI n( x + y)2db e内，故在D上有ln(x+y)21，从而有 ln(x+y) ln(x+y).因此 JJIn(x +y)dbJJ|n(x + y)dcr.D D5.利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1) I =JJxy(x +y)dcr其中 D =(x,y)|0 x 1,0 y 1;D = ffsin2 xsin2 ydcr其中 D =( x,y)|0 x 兀,0 y 兀;DI = JJ(x+y+1)dcr 其中 D =( x, y)|0 x 1,0 y 2;DI = JJ(x2 +4y2

7、 +9)d b 其中 D =(x, y) x2 +y2 4.(1)在积分区域D上，0x1 , 0y1，从而0xy(x +y) 2，又D的面积等解于 1，因此 0 JJxy(x + y)d b 2.D在积分区域 D 上，0 si nx1 , 0si n y 1，从而 0si n2xsi n2y1,又 D 的面积等于n2，因此 0 JJsin2 xsin2ydb n. d在积分区域D上，0x+y+14 , D的面积等于2，因此2 JJ(x + y+ 1)db 8.D在积分区域 D上，0 x2 +y2 4，从而 9 x2+4y2 +94(x2 + y2) +9 25,，又 D的面积等于 4n,因此

8、36 nJJ(x2 +4y2 + 9)db100 nD习题8-21.(1)计算下列二重积分：口(x2+y2)db,其中 D =(x,y)|x|M,|y|M;DJJ(3x+2y)dcr,其中D是由两坐标轴及直线 x + y=2所围成的闭区域;Dff(x3 +3x2y+y3)db，其中 D =( x, y) | 0 x 1, 0 y 兰1;Dffxcos(x +y)dcy其中D是顶点分别为(0,0),(兀0)和(兀冗)的三角形闭区域.D1 x2y (1) JJ(x2 +y2)db = fdx L(x2 +y2)dy = jJ|x2y 匕 dx = L(2x2 dx =弓.D L 3 4 3 3D可

9、用不等式表示为 0y3X, 0x2，于是2 2a 2 2 2 xJJ(3x+2y)db = dx L (3x+2y)dy = 3xy + y 0 dxD2 20=(4 +2x2x2)dx=.3JJ(X3 +3x2y+y3)db 二dyJ；(x3 +3x2y + y3)dxD1 I x 3 3 1 1 3= | +x y +y X i dy = 0(- +y +y )dy =1. L4 _o 4D可用不等式表示为 0yx, 0x n,于是n x n xJJxcos(x +y)db = 10 xdx 0 cos(x + y)dy = 0 xsin(x + yjdx D n 3x(sin 2x -s

10、inx)dx = - n2.画出积分区域，并计算下列二重积分：JJX阿， 其中D是由两条抛物线 y=jx , y=x2所围成的闭区域;dJJxy2dcr，其中D是由圆周x2+y2 =4及y轴所围成的右半闭区域;d十此，其中 D =(x,y)|x| +|y|M；dff(x2 +y2 xjdcy，其中D是由直线y =2， y =x及y =2x所围成的闭区域.dD可用不等式表示为0 x J4 y2, 2y2，于是2 2 2 *4上 1 2 2 2 64JJxy db =y dy L xdx =-y (4y )dy -D 2 15D=DiUD2，其中 Di =(x,y)|x-1y x+l, -1x0,

11、Di =(x,y)|x1 yx+1, 0x1，于是JJex%UeF + JJex+dDD D1 D2eb J二eydy +exdxeydy L(e2x十一 ejdx + 0(e e2xJ)dx =e -e.(4) D可用不等式表示为 乂 xy, 0y0）所围成的闭区域;由直线y=x, x=2及双曲线y=（x0）所围成的闭区域;x环形闭区域( X, y) |1 x2 + y2 4.（1） 直线y=x及抛物线y2 =4x的交点为（0,0）和（4,4），于是4 4x 、 4 yI =.0dx f (x, y)dy 或 I =dyp f(x, y)dx将D用不等式表示为0 y Jr2 -X2, -rx

12、r，于是可将I化为rI = Ldx 0 f (x,y)dy ;如将D用不等式表示为 J2 y2 xJr2 -y2, 0yr，于是可将I化为r J2 _y2I = .0 dy Jyr f (x, y)dx.、 1 2 x 、二个交点为(1,1)、(2,)和(2,2)，于是 I = 1 dx J1 f (x, y)dy或2 X1 2 2 2I = Ji dy f (x, y)dx 中dy f f (x, y)dx.2 y将D划分为4块，得4 db 1 ” rbqdy B f(x, y)dx +dy Jr f(x, y)dx丨=J2dy r 牙 f (x，y)dx 中 J/y L有 f(x, y)d

13、xA htx* 1 *47=Ldxx,y)dy + Ldy “曲1 . or 2 HjTzx24.+ Ldy f(X, y)dy + H dy L& f(X, y)dy.改换下列二次积分的积分次序：(1) 所给二次积分等于二重积分 JJf(x,y)dcr，其中=( x,y) |0 x y, 0y1 , D 可改写为( x,y) | x y 1, 0x1，于是1 1原式=dx x f (x, y)dy.(2) 所给二次积分等于二重积分 JJ f (x, y)dCT，其中D=( x,y) |y2 x 2y, 0 y 2 , D 可改写为( x,y) | /x, 0x4，于是、 4 欢原式=dx j

14、x f (x,y)dy.2(3) 所给二次积分等于二重积分 JJ f (x, y)dCT，其中D氓(x,y)|J y2 xJl y2, 0y1 , D可改写为( x,y)|0y JlX2, 1x1，于是1 fx2原式=Ldx 0 f(x, y)dy.(4) 所给二次积分等于二重积分 JJ f (x, y)dCT，其中DD =( x,y)|2 xy j2xX2, 1 x 2 , D 可改写为(x,y)|2y xE1 +Jl-y2, 0 y 1，于是(5) 所给二次积分等于二重积分 fj f (x, y)db，其中DD =( x,y) |0 y ln x, 1 x e, D 可改写为( x, y)

15、 |ey xe, 0 y 1,于是J0f (x,y)dx.(6) 所给二次积分等于二重积分JJf(x,y)dcr，将 D 表示为 Dl D2，其中DDr =( x, y) | arcsin y x 冗一arcsin y, 0 y 1,D2 =( x, y) | -2arcsin yx n -1y 0，于是、 1 n_arcsi ny 0 n原式=dyrcsiny f(X,y)dx + LdyLrcsinyf(X,y)dX.5.计算由四个平面 x=0, y=0, X =1 , y =1所围成柱体被平面 z=0及2x + 3y + z=6 截得的立体的体积.解 此立体为一曲顶柱体，它的底是xOy面

16、上的闭区域D =( X, y) |0 y 1, 0x1, 顶是曲面Z =6 -2x -3y，因此所求立体的体积为1 1 7 V = 口(6 -2x -3y)dxdy =dx 0(6 -2x -3y)dy =-.D 、 26.求由曲面z =x2 +2y2及z=6-2x2-y2所围成的立体的体积.解 所求立体在xOy面上的投影区域为2 2D =(x,y)|x +y 2所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差:V = JJ(6 -2x2 -y2)db JJ(x2 +2y2)dbD D=JJ(6 -3x2 -3y2)db = JJ(6 -3俨川內D D=d 叫(6-3 Pd P =6 n7.画出积分区域

17、，把积分JJf(x,y)dcr表示为极坐标形式的二次积分， 其中积分区域 DD是:(4) (x,y)|0y1 x,0x1.002n，故2 2 2 2( x, y) |a x +y b ，其中 0ab ;(1)在极坐标中，D =( P0)|0Pa,2 n aJJf (x,y)db = JJf (Pcos日，Psin)Pdfld0= 0 d0 J0 f(Pcos日，Psin日)PdP.D D 在极坐标中，d=(P,T)|0 P兰2cosa -n，故2 2n 2cosflJJf(X, y)db = fff (PcosT, PsinT)PdPd0 = f2,de f0 f (Pcos日，Psin日)P

18、dP.D D (3) 在极坐标中， D=(P,)|a Pb, 002n，故2 n bfff (x,y)db = fff (PcosT, PsinT)PdPd0=f d9 f(Pcos日,Psin日)PdP. L L L L .0 L aD在极坐标中，直线 x+y=1的方程为P= ，故sin 9 +cos6(叫0心齐而，0弓，于是1JJf(x,y)db = fff (PcosT, Psin)Pdfd0 = Pcos日，Psin)PdP.D 1 8.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:(1)1 1dx f f (x,y)dy ;2 护i dx Jx f (x, y)dy ；f(x,y)dy ；(

19、1)用直线y=x将积分区域D分成Di、D2两部分:Di =( P,日)|0 Pse出，00 上,4D2 =( P,日)|0PWcsc日，n 兰日 n.,4 2于是原式=俞9叫(Pcos日,Psin 日)FdP+ 魚9叫(Pcos日,Psin 日)PdP.4在极坐标中，直线 X =2, y =x和y=J3x的方程分别是 P = 2sec日，& =和4日=。因此 D =( P,日)|0 P兰2sec日，n 兰日 ，又 f(Jx2 +y2) = f(P)，于是3 4 3n 2secA原式=j3d 牡 (TPdP.(3) 在极坐标中，直线 y=1-x的方程为 P= 1 ，圆y 的方程为sin 9 +c

20、os61 nP=1，因此 D=(BT)| P1, 09)，故si n 9 +cos9 2n 1原式=dHJ 1 f(pcos日，psin 日)pdp.sin涉OS日 在极坐标中，直线 X =1的方程为P =sec日，抛物线y=x2的方程为Psin0 = P2cos20，即P = tan日se闵；两者的交点与原点的连线的方程是 0 =-。因此4D=(P,0)|tan9sec0 P seC, 0 9 上，故49.- secQ原式涉cJWcosyPsin切PdP 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：2a 72ax-x2 2 20 dx (x +y )dy ;a x 20dx MF2dy ;a 寸

21、a2 _y2 2 2LdyL (x +y)dx -(1)在极坐标中,D =( 2日)|0 P2acosa 0 0 4 ,故原式=Fd叮Fp2 edP# na4.在极坐标中,D =( P0) I 0 P asecq 0 8 -，故4n Q 3原式=dT_0 P內 P=a血 +ln (/2+1).在极坐标中， 抛物线y =x2的方程为Psin 0 = P2 cos2 Q，即P =tanse止J ;直线y =x的方程是9 =，故D =( ,t)|0 空血，0 0 隹4n tan AecQ!原式=dej0 2dP=72-1.(4)在极坐标中，积分区域D =( P,0)|O Pa, 00 2H笃dcT，

22、其中D是由直线x=2 , y=x及曲线xy =1所围成的闭区域;DyffTxy2，其中D是由圆周x2+y2 =1及坐标轴所围成的在第一象限内的DJ1+x +y闭区域;ff(x2 +y2)db，其中 D是由直线 y=x, y=x+a , y=a , y=3a(aA0)所围成选用极坐标,D =( P,日)|0 P2, 0兰日吕，故2 屁用Pdf;吋儒.Pdp=昭耳丹P=n( -2).的闭区域;2x xJJ-ydx J dxLdy =； D y 、 (3)选用直角坐标,V = JJJr2 X2 y2db = JJJr2-P2，pdpd日D DR3PdP =arctank.3复习题A、填空题1.设 D

23、 是正方形区域( X, y) |0 x 1, 0 y 1，则 JJxydxdy ：=D2.已知D是长方形区域 (x ,y ) a兰b, 0 匠1又已知Jfyf( x)dxdy 1则Db2；f ( x) dx=3.若D是由X +y =1和两坐标轴围城的三角形区域，则二重积分 JJ f(x)dxdy可以表示D为定积分 JJf (x)dxdy = 0 (x)dx，那么 (x)=D1 x 1 x2(y)4.若dx】 f(x,y)dy = .0dy (y) f(x,y)dx，那么区间xy), X2(y)= y,i;5.若0 寸a工 B afadx 0 f (x,y)dy = fdQ 0 rf (rcos

24、 日,r s in 9)dr ,f 则区间（8 P）=.n2,I2二、选择题则Il, I2, I3的大小顺序为（I3 l2 l1.3.将极坐标系下的二次积分：n 2sin QI = 0 d8 10 rf (r cos8,rsin8)dr化为直角坐标系下的二次积分，则 I =（1 14;戸A.丨=.Ldy f （x, y）dx ;1 j2y 3C.丨=帥匚2 fZdx；4.设D是第二象限内的一个有界闭区域,I1 = JJyxdcT,DI2 = JJy2xdcr,DB.D.而且I3则ll, l2, I3的大小顺序为（C；A. Il 兰 12 兰 3；B.12 兰 ll 兰 3；2 l f (x,

25、y)dy ;“2x_x2Jo1 1如丄l = 34口 f(x,y)dy.0 cy 2；D. 13 兰 2 兰 ll.5.计算旋转抛物面Z =1 +B.JJ J -X2 -y2dcr ；x2 y兰C.JJ J1 +x +y dcT；X2 出2 D.ff J X2 y2db .x2 -y2三、计算题计算重积分1.ffexdxdy，其中D是由x=0,y=ex和y =2所围成的区域.D2 1JJexdxdy = 1 dy 0 exdx = (y -1)dy =-.D2 lny xe dx2.x2计算重积分ffdxdy，其中D是由Dyx = -2, y=x和xy =1所围成的区域.lAdxd J：x2d

26、x X y勺y = J：(X3 +x)dx =9.43.计算重积分JJ(x +y)dxdy，其中D是由x2 +y2 2x所围成的区域.Dn 72 2? 粗JJ(x+y)dxdy = J2 d9 2 (rcos日 +rsin9)，rdr + Jn2 d9 J (rcosT+rsinQ)D cos 日 0+ 13n d 日 Leoscos日 +rsin9) rdr =- cos 廿 24.将二重积分JJf(x,y)dcr化为两种顺序的二次积分， 积分区域D给定如下：D(1)D是以(0,0), (1,0), (0,2)为顶点的三角形区域；2 2D 是区域( X, y) I 笃 + 每 0 (a 0,

27、 b :0); a b2 2D是区域(x,y)|yx , y 1 x ；D是由y=x和y=x3所围成的区域；D是由y=0, y=1,y=x和y=x-2所围成的区域.y1 2(1 丄) 2 1M(1)JJ f (x, y)d b = dx 1 f(x, y)dy = .0 dy .0 2 f(X, y)dx.D_xD给定如下：fff(x,y) fadx f (x,y)dy = fdy 忙二 f(x, y)dx.D FV JJf(X, y)d b = q dx f (x, y)dy =dy J； f (x, y)dx + pdy乜 f (x, y)dx.1 x 1 3J7JJ f (x, y)d b = 0 dx 3 f (x, y)dy = 0 dy f (x, y)dx.DJJf (x,y)d b = 0 dx 0